Derivarea funcțiilor hiperbolice

Articol principal: Funcții hiperbolice .

Ecuația hiperbolei echilaterale din figură este:

x^{2}-y^{2}=a^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = a ^ {2}}

{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = a ^ {2}}

asa de:

\ \ \ {\overline {OC}}=x\qquad {\overline {PC}}={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\qquad {\overline {OA}}=a

{\ displaystyle \ \ \ {\ overline {OC}} = x \ qquad {\ overline {PC}} = {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \ qquad {\ overline {OA} } = a}

{\ displaystyle \ \ \ {\ overline {OC}} = x \ qquad {\ overline {PC}} = {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \ qquad {\ overline {OA} } = a}

Zona sectorului hiperbolic $SAU LA P.$ ${\ displaystyle OAP}$ ${\ displaystyle OAP}$ este egală cu aria triunghiului $SAU P. C.$ ${\ displaystyle OPC}$ ${\ displaystyle OPC}$ minus aria regiunii planului delimitată de arcul hiperbolei $LA P.$ ${\ displaystyle AP}$ ${\ displaystyle AP}$ , de pe axa x și din segmentul PC.

S\ =\ {\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx\ =\ {\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]\ =

{\ displaystyle S \ = \ {\ frac {1} {2}} x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - \ int _ {a} ^ {x} {\ sqrt { x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx \ = \ {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left [\ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ { 2} -a ^ {2}}} \ right) - \ ln a \ right] \ =}

{\ displaystyle S \ = \ {\ frac {1} {2}} x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - \ int _ {a} ^ {x} {\ sqrt { x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx \ = \ {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left [\ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ { 2} -a ^ {2}}} \ right) - \ ln a \ right] \ =}

={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right]

{\ displaystyle = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) \ right]}

{\ displaystyle = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) \ right]}

loc: ${\frac {2S}{a^{2}}}=t$ ${\ displaystyle {\ frac {2S} {a ^ {2}}} = t}$ ${\ displaystyle {\ frac {2S} {a ^ {2}}} = t}$ , avem:

\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\ =\ t

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) \ = \ t}

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) \ = \ t}

{\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\ =\ e^{t}

{\ displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ = \ e ^ {t} }

{\ displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1}} \ = \ e ^ {t} }

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1\ =\ \left(e^{t}-{\frac {x}{a}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1 \ = \ \ left (e ^ {t} - {\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} -1 \ = \ \ left (e ^ {t} - {\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2}}

2{\frac {x}{a}}e^{t}\ =\ e^{2t}+1

{\ displaystyle 2 {\ frac {x} {a}} e ^ {t} \ = \ e ^ {2t} +1}

{\ displaystyle 2 {\ frac {x} {a}} e ^ {t} \ = \ e ^ {2t} +1}

{\frac {x}{a}}\ =\ {\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {x} {a}} \ = \ {\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {x} {a}} \ = \ {\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}}

Această ultimă relație definește cosinusul hiperbolic al lui t, $\cosh t$ ${\ displaystyle \ cosh t}$ ${\ displaystyle \ cosh t}$ . Sinusul hiperbolic este, de asemenea, definit:

\sinh t\ =\ {\frac {y}{a}}\ =\ {\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\ =\ {\sqrt {\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-1}}\ =\ {\sqrt {\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}}}\ =\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}

{\ displaystyle \ sinh t \ = \ {\ frac {y} {a}} \ = \ {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} {a}} \ = \ { \ sqrt {\ left ({\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}} \ right) ^ {2} -1}} \ = \ {\ sqrt {\ left ({\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2}} \ right) ^ {2}}} \ = \ {\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2 }}}

{\ displaystyle \ sinh t \ = \ {\ frac {y} {a}} \ = \ {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} {a}} \ = \ { \ sqrt {\ left ({\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}} \ right) ^ {2} -1}} \ = \ {\ sqrt {\ left ({\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2}} \ right) ^ {2}}} \ = \ {\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2 }}}

Argumentul funcțiilor hiperbolice este similar cu cel al funcțiilor goniometrice dacă avem în vedere că, în cazul circumferinței, unghiul, în radiani, este egal cu dublul ariei sectorului circular împărțit la raza pătrată:

\theta \ =\ {\frac {2S}{a^{2}}}

{\ displaystyle \ theta \ = \ {\ frac {2S} {a ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ theta \ = \ {\ frac {2S} {a ^ {2}}}}

Și

\cos \theta \ =\ {\frac {x}{a}}\ \ ,\ \ \sin \theta \ =\ {\frac {y}{a}}

{\ displaystyle \ cos \ theta \ = \ {\ frac {x} {a}} \ \, \ \ \ sin \ theta \ = \ {\ frac {y} {a}}}

{\ displaystyle \ cos \ theta \ = \ {\ frac {x} {a}} \ \, \ \ \ sin \ theta \ = \ {\ frac {y} {a}}}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică