Funcția gaussiană

Funcții gaussiene pentru diferite valori medii (

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

) și diverse valori ale

\sigma ^{2}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

\ sigma ^ {2}

.

În matematică , o funcție gaussiană este o funcție de următoarea formă:

f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}},

{\ displaystyle f (x) = ae ^ {- {\ frac {(xb) ^ {2}} {c ^ {2}}}},}

{\ displaystyle f (x) = ae ^ {- {\ frac {(x-b) ^ {2}} {c ^ {2}}}},}

pentru orice constantă reală $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Numele acestor funcții amintește de marele matematician german Carl Friedrich Gauss .

Gaussian funcționează cu $c^{2}=2$ ${\ displaystyle c ^ {2} = 2}$ $c ^ {2} = 2$ sunt funcții proprii ale transformatei Fourier .

Funcțiile gaussiene se clasează printre funcțiile speciale „elementare” și pot fi introduse în primele cursuri de analiză; cu toate acestea, le lipsește „integrale elementare”, cu alte cuvinte, integralele lor nu pot fi exprimate prin compoziții simple (operații raționale și radicale) de funcții elementare. Cu toate acestea, integralele lor necorespunzătoare, unde integrarea se face pe întreaga linie reală, pot fi evaluate exact:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}~.

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}} ~.}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}} ~.

Această integrală, numită integrală gaussiană , poate fi obținută prin teorema reziduală a analizei complexe, dar poate fi calculată și printr-o procedură analitică simplă.

Demonstrație:

Prin plasare $I=\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx$ ${\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx}$ $I = \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx$ ,

avem asta:

I^{2}=\int _{0}^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{+\infty }e^{-\left(y^{2}+x^{2}\right)}\,dydx.

{\ displaystyle I ^ {2} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \ left (y ^ {2} + x ^ { 2} \ right)} \, dydx.}

I ^ {2} = \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- y ^ {2}}} \, dy \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx = \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty} } și ^ {{- \ left (y ^ {2} + x ^ {2} \ right)}} \, dydx.

Să mergem la coordonatele polare, adică să spunem:

x=r\cos {\theta }

{\ displaystyle x = r \ cos {\ theta}}

x = r \ cos {\ theta}

y=r\sin {\theta }

{\ displaystyle y = r \ sin {\ theta}}

y = r \ sin {\ theta}

ținând cont de primul cadran și cu valorile lui $r,\theta$ ${\ displaystyle r, \ theta}$ $r, \ theta$ (raza și respectiv unghiul) între:

0\;<r\;<+\infty

{\ displaystyle 0 \; <r \; <+ \ infty}

0 \; <r \; <+ \ infty

Și

0\;<\theta \;<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle 0 \; <\ theta \; <{\ frac {\ pi} {2}}}

0 \; <\ theta \; <{\ frac {\ pi} {2}}

Îndepărtând teorema lui Pitagora pentru care $y^{2}+x^{2}=r^{2}$ ${\ displaystyle y ^ {2} + x ^ {2} = r ^ {2}}$ $y ^ {2} + x ^ {2} = r ^ {2}$ , prin urmare, putem scrie:

I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{+\infty }re^{-r^{2}}\,dr\right)d\theta ,

{\ displaystyle I ^ {2} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} re ^ {- r ^ {2 }} \, dr \ right) d \ theta,}

I ^ {2} = \ int _ {{0}} ^ {{{\ frac {\ pi} {2}}}} \ left (\ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} re ^ {{- r ^ {2}}} \, dr \ right) d \ theta,

de la care:

I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{+\infty }\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta ={\frac {\pi }{4}}.

{\ displaystyle I ^ {2} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left (- {\ frac {1} {2}} e ^ {- r ^ {2} } | _ {0} ^ {+ \ infty} \ right) d \ theta = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ theta = {\ frac {\ pi} {4}}.}

I ^ {2} = \ int _ {{0}} ^ {{{\ frac {\ pi} {2}}}} \ left (- {\ frac {1} {2}} e ^ {{- r ^ {2}}} | _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} \ right) d \ theta = {\ frac {1} {2}} \ int _ {{0}} ^ {{{ \ frac {\ pi} {2}}}} d \ theta = {\ frac {\ pi} {4}}.

Observând atunci că funcția Gaussiană este o funcție uniformă, adică pe care o deține $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = 2 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2 }} dx}$ $\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} dx = 2 \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} e ^ { {-x ^ {2}}} dx$ , este dovedit că $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2{\sqrt {I^{2}}}={\sqrt {\pi }}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = 2 {\ sqrt {I ^ {2}}} = {\ sqrt {\ pi }}}$ $\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx = 2 {\ sqrt {I ^ {2}}} = {\ sqrt {\ pi}}$ .

Aplicații

Funcțiile gaussiene sunt întâlnite în numeroase capitole din matematică , fizică și alte discipline cantitative; să vedem câteva exemple.

Integrala funcției gaussiene este funcția erorilor .

În statistică și teoria probabilității , funcțiile Gaussiene apar ca funcții de densitate ale distribuției normale , care este distribuția limitată a probabilității sumelor suficient de complicate ale funcțiilor de distribuție, în conformitate cu teorema limitei centrale . Distribuția normală în raport cu valoarea așteptată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ iar la abaterea standard σ și normalizată are forma

{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~.

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} }}} ~.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} }}} ~.}

Rețineți că este imediat să urmăriți parametrii $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ la parametri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ de mai sus.

În studiul funcțiilor speciale, funcția Gaussian joacă rolul funcției de greutate în definirea polinoamelor hermite ca polinoame ortogonale .

O funcție gaussiană este funcția de undă a stării fundamentale a oscilatorului armonic cuantic . În consecință, funcțiile Gaussiene (și corespondenții lor funcționali ) sunt, de asemenea, asociate cu starea de vid în teoria câmpului cuantic .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică