Integrala Gauss

Integrala Gauss este o integrală definită, calculată mai întâi de Gauss . Este bazadistribuției normale (numită și Gaussian ), elementul fundamental al teoriei probabilităților . Funcția integrand, normalizată astfel încât aria integralei să dea $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ la $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , se mai numește și funcția gaussiană .

Forma utilizată de obicei pentru integralul Gauss este:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}},}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}},}

sau echivalentul

\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}.}

\ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {{\ sqrt {\ pi}}} 2}.

O generalizare pentru o funcție gaussiană generică este:

\int _{-\infty }^{+\infty }a\,e^{-bx^{2}+cx+d}\,dx=a\,{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}\,\exp \left({\frac {c^{2}}{4b}}+d\right),

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} a \, e ^ {- bx ^ {2} + cx + d} \, dx = a \, {\ sqrt {\ frac {\ pi } {b}}} \, \ exp \ left ({\ frac {c ^ {2}} {4b}} + d \ right),}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} a \, e ^ {- bx ^ {2} + cx + d} \, dx = a \, {\ sqrt {\ frac {\ pi } {b}}} \, \ exp \ left ({\ frac {c ^ {2}} {4b}} + d \ right),}

unde este $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ trebuie să fie pozitiv. Pentru o funcție multi-variabilă, unde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ simetric pozitiv definit (deci inversabil), avem:

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}},

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} A_ {ij } x_ {i} x_ {j} \ right) \, d ^ {n} x = {\ sqrt {\ frac {(2 \ pi) ^ {n}} {\ det A}}},}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} A_ {ij } x_ {i} x_ {j} \ right) \, d ^ {n} x = {\ sqrt {\ frac {(2 \ pi) ^ {n}} {\ det A}}},}

unde se realizează integrarea $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Calculul integralei

Integrala nedefinită $\int {e^{-x^{2}}}\,dx$ ${\ displaystyle \ int {e ^ {- x ^ {2}}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int {e ^ {- x ^ {2}}} \, dx}$ nu poate fi exprimat în termeni de funcții elementare; în consecință, chiar și în cazul unei integrale definite este imposibil să se utilizeze primitivul lui $f(x)=e^{-x^{2}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2}}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2}}}$ pentru a calcula diferența dintre cele două extreme și pentru a obține valoarea căutată. Cu toate acestea, există câteva metode care vă permit să ocoliți calculul explicit al primitivei.

Coordonatele polare în plan

Considerăm integralul:

I_{1}=\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx.

{\ displaystyle I_ {1} = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx.}

{\ displaystyle I_ {1} = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx.}

Să luăm acum în considerare integralul:

{\begin{aligned}I_{2}&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} & = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2 })} \, dx \, dy. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} & = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2 })} \, dx \, dy. \ end {align}}}

Observăm asta, loc $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$ ${\ displaystyle f (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})}}$ ${\ displaystyle f (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})}}$ , putem scrie: $f(x,y)=g(x)h(y)=(e^{-x^{2}})(e^{-y^{2}})$ ${\ displaystyle f (x, y) = g (x) h (y) = (e ^ {- x ^ {2}}) (e ^ {- y ^ {2}})}$ ${\ displaystyle f (x, y) = g (x) h (y) = (e ^ {- x ^ {2}}) (e ^ {- y ^ {2}})}$ , în virtutea acestui lucru, urmează:

{\begin{aligned}I_{2}&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)\\&=I_{1}^{2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy \\ & = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy \ right) \\ & = I_ {1} ^ {2} \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy \\ & = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy \ right) \\ & = I_ {1} ^ {2} \ sfârșit {aliniat}}}

Deoarece exponențialul este întotdeauna o funcție pozitivă, va fi suficient să se calculeze valoarea integralei duble extinse la $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ , care este o integrală generalizată, apoi extrageți rădăcina pătrată a rezultatului.

Deci, să calculăm:

\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy,

{\ displaystyle \ iint _ {C} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy,}

{\ displaystyle \ iint _ {C} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy,}

unde este ${\textstyle C=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}}$ ${\ textstyle C = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} \ leq R ^ {2} \}}$ ${\ textstyle C = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} \ leq R ^ {2} \}}$ cu $R>0.$ ${\ displaystyle R> 0.}$ ${\ displaystyle R> 0.}$