Funcția de eroare

Graficul funcției de eroare

Funcția de eroare (numită și funcția de eroare Gauss ), în matematică , este o funcție specială întâlnită în probabilitate , statistici și ecuații diferențiale parțiale . Este definit ca:

\operatorname {erf} (x):={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x): = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}

\ operatorname {erf} (x): = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ x e ^ {- t ^ 2} \, \ mathrm dt

.

valabil pentru orice număr real x ; este deci o funcție întreagă .

Graficul funcției de eroare complementare

Strâns legate de funcția de eroare sunt funcția de eroare complementară ,

{\mbox{erfc}}(x):=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\;

{\ displaystyle {\ mbox {erfc}} (x): = 1 - {\ mbox {erf}} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t \;}

\ mbox {erfc} (x): = 1- \ mbox {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_x ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} \ , \ mathrm dt \;

,

și funcția de eroare complexă ,

w(x):=e^{-x^{2}}{\textrm {erfc}}(-ix)

{\ displaystyle w (x): = e ^ {- x ^ {2}} {\ textrm {erfc}} (- ix)}

w (x): = e ^ {- x ^ 2} {\ textrm {erfc}} (- ix)

.

Tabelul valorilor

Tabelul următor prezintă câteva valori asumate de funcția de eroare (erf) și de funcția de eroare complementară (erfc), deoarece parametrul x variază:

X	erf (x)	erfc (x)	X	erf (x)	erfc (x)
0,00	0,0000000	1.0000000	1.30	0,9340079	0,0659921
0,05	0,0563720	0,9436280	1,40	0,9522851	0,0477149
0,10	0.1124629	0,8875371	1,50	0,9661051	0,0338949
0,15	0.1679960	0,8320040	1,60	0,9763484	0,0236516
0,20	0,2227026	0,7772974	1,70	0,9837905	0,0162095
0,25	0,2763264	0,7236736	1,80	0,9890905	0,0109095
0,30	0,3286268	0,6713732	1,90	0,9927904	0,0072096
0,35	0,3793821	0,6206179	2.00	0,9953223	0,0046777
0,40	0,4283924	0,5716076	2.10	0,9970205	0,0029795
0,45	0,4754817	0,5245183	2.20	0,9981372	0,0018628
0,50	0,5204999	0,4795001	2.30	0,9988568	0,0011432
0,55	0,5633234	0,4366766	2.40	0,9993115	0,0006885
0,60	0,6038561	0,3961439	2,50	0,9995930	0,0004070
0,65	0,6420293	0,3579707	2,60	0,9997640	0,0002360
0,70	0.6778012	0,3221988	2,70	0,9998657	0,0001343
0,75	0,7111556	0,2888444	2,80	0,9999250	0,0000750
0,80	0,7421010	0,2578990	2,90	0,9999589	0,0000411
0,85	0,7706681	0,2293319	3.0	0,9999779	0,0000221
0,90	0,7969082	0,2030918	3.10	0,9999884	0,0000116
0,95	0,8208908	0,1791092	3.20	0,9999940	0,0000060
1,00	0,8427008	0,1572992	3.30	0,9999969	0,0000031
1.10	0,8802051	0.1197949	3.40	0,9999985	0,0000015
1.20	0,9103140	0,0896860	3,50	0,9999993	0,0000007

Valorile de mai sus pot fi obținute prin dezvoltarea funcției de eroare a seriei Taylor și integrarea, din care se obține expresia:

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) n!}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (x - {\ frac {x ^ {3} } {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {10}} - {\ frac {x ^ {7}} {42}} + {\ frac {x ^ {9}} {216}} - \ \ cdots \ right)}

\ operatorname {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ sum_ {n = 0} ^ \ infin \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {( 2n + 1) n!} = \ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left (x- \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {10} - \ frac {x ^ 7} {42} + \ frac {x ^ 9} {216} - \ \ cdots \ right)

Numărul de termeni care trebuie luați în considerare depinde de precizia valorii care trebuie obținută (în tabelul anterior, de exemplu, a fost atinsă o precizie până la a șasea zecimală ^[1] ).

Considerent general

Funcția de eroare diferă numai prin traducere și omotitate de distribuția normală , adică de funcția standard de distribuție cumulativă normală , pe care o denotăm prin Φ:

\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,.

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {2}} \ left [1 + {\ mbox {erf}} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right ) \ dreapta] \ ,.}

\ Phi (x) = \ frac {1} {2} \ left [1+ \ mbox {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) \ right] \,.

În probabilitate și statistici, distribuția normală standard este utilizată mai frecvent, în timp ce în alte ramuri ale matematicii funcția de eroare este utilizată mai des.

Când rezultatele unei serii de măsurători sunt descrise printr-o distribuție normală cu deviație standard σ, atunci ${\mbox{erf}}\left({a \over \sigma {\sqrt {2}}}\right)$ ${\ displaystyle {\ mbox {erf}} \ left ({a \ over \ sigma {\ sqrt {2}}} \ right)}$ $\ mbox {erf} \ left ({a \ over \ sigma \ sqrt 2} \ right)$ exprimă probabilitatea ca eroarea unei singure măsurători să se afle între - a și + a .

Prin continuarea analitică, funcția de eroare poate fi definită și ca o funcție a unei variabile complexe . Se întâlnește, de exemplu, în soluțiile ecuației căldurii cu condițiile limită date de funcția de pas Heaviside .

Integrala care definește funcția erorilor nu poate fi exprimată în formă închisă prin intermediul funcțiilor elementare , dar integrandul poate fi dezvoltat într-o serie de puteri care pot fi integrate termen cu termen. Valorile integralei pe măsură ce x variază au fost tabelate pe larg.

Generalizare

Este studiată și o familie de funcții care include funcția erorilor:

E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t\;={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}

{\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} \, \ mathrm {d} t \; = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}}

E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {{\ Sqrt {\ pi}}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {{- t ^ {n}}} \, {\ mathrm d} t \; = {\ frac {n!} {{\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {{p = 0}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {{np + 1}}} {(np + 1) p!}}

.

Funcția erorilor este recunoscută în E ₂ ( x ).

Graficul funcțiilor de eroare generalizate E _n ( x ). Curba gri: E ₁ ( x ) = 1-e ^{- x} , curba roșie: erf ( x ) = E ₂ ( x ), curba verde: E ₃ ( x ), curba albastră: E ₄ ( x ) și curba galbenă: Și ₅ ( x ). (Curba galbenă este foarte apropiată de axa y și practic nu este vizibilă.) Dacă împărțiți la n !, Toate E _n pentru ciudate n apar foarte asemănătoare (dar nu identice). Chiar și E _n relativ la parul pare similar (dar nu identic) după ce a fost împărțit la n ! E _{n care se} referă la impar și n pare similare doar din partea graficului referitoare la x pozitiv.

Dezvoltare asimptotică

Pentru valori mari ale lui x , o dezvoltare asimptotică utilă a funcției de eroare complementare, care poate fi, prin urmare, utilizată și pentru funcția de eroare, este:

\mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}\right]

{\ displaystyle \ mathrm {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} \ right ] = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {n} {\ frac {(2n)!} {n! (2x) ^ {2n}}} \ right]}

\ mathrm {erfc} (x) = \ frac {e ^ {- x ^ 2}} {x \ sqrt {\ pi}} \ left [1+ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots (2n-1)} {(2x ^ 2) ^ n} \ right] = \ frac {e ^ {- x ^ 2}} {x \ sqrt {\ pi} } \ left [1+ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {(2n)!} {n! (2x) ^ {2n}} \ right]

.

Această serie diferă pentru fiecare x finit. Cu toate acestea, în practică, doar câțiva primi termeni ai acestei dezvoltări permit să se obțină o bună aproximare a erfc ( x ), în timp ce seria sa Taylor dată anterior converge foarte lent.

Funcții conexe

Funcția de eroare este un caz special al funcției Mittag-Leffler și poate fi exprimată ca o funcție hipergeometrică confluentă . De asemenea, are o expresie simplă în ceea ce privește integrala Fresnel .

Notă

^ De fapt, a șaptea zecimală, chiar dacă este afișată în tabel, poate fi rotunjită în sus sau în jos.

Bibliografie

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun (eds), capitolul 7 , în Manualul funcțiilor matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover, 1972.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Funcția erorilor

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Error Function , în MathWorld Wolfram Research.
Erf , pe functions.wolfram.com .
Erfc , pe functions.wolfram.com .
Erfi , pe functions.wolfram.com .
libcerf Arhivat 30 octombrie 2013 la Internet Archive ., implementarea funcțiilor complexe erf (z), cerf (z), printre altele

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00562553

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] De fapt, a șaptea zecimală, chiar dacă este afișată în tabel, poate fi rotunjită în sus sau în jos.

[1]