Funcția de pas Heaviside

Funcția de pas a lui Heaviside, folosind convenția de jumătate din maxim

În matematică și fizică , funcția de pas Heaviside sau funcția de pas de unitate , numită după Oliver Heaviside , este o funcție discontinuă care are valoare zero pentru argumentele negative și una pentru argumentele pozitive. Poate fi definit fie ca o funcție continuă bucată, fie ca o distribuție .

Derivata distributivă a funcției Heaviside $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este delta Dirac $\delta (x)$ ${\ displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(x)=\delta (x)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} H (x) = \ delta (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} H (x) = \ delta (x)}

în timp ce funcția rampă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este primitivul :

R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathop {} \!\mathrm {d} \xi =xH(x)

{\ displaystyle R (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \ mathop {} \! \ mathrm {d} \ xi = xH (x)}

{\ displaystyle R (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \ mathop {} \! \ mathrm {d} \ xi = xH (x)}

Funcția pas este utilizată în matematica teoriei controlului și procesarea semnalului pentru a reprezenta un semnal care se aprinde după un timp specificat și rămâne activ pe termen nelimitat.

În plus, această funcție este utilizată în dinamica fluidelor pentru studiul fluxurilor multifazice cu interfață ascuțită.

Definiție

Este indicat cu:

\Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ 1, & x \ geqslant 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ 1, & x \ geqslant 0 \ end {cases}}}

Adesea, în locul $\Theta (x)$ ${\ displaystyle \ Theta (x)}$ $\ Taxa)$ , se folosesc notații $\delta ^{(-1)}(x)$ ${\ displaystyle \ delta ^ {(- 1)} (x)}$ $\ delta ^ {{(- 1)}} (x)$ , $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ sau $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ , sau din nou, cu abuz de notație, $1(x)$ ${\ displaystyle 1 (x)}$ $1 (x)$ .

Dacă este definită ca distribuție , este funcția $\Theta (x)$ ${\ displaystyle \ Theta (x)}$ $\ Taxa)$ astfel încât:

\int \Theta (x)f'(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=-f(0)

{\ displaystyle \ int \ Theta (x) f '(x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = -f (0)}

{\ displaystyle \ int \ Theta (x) f '(x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = -f (0)}

unde este $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ este derivatul unei funcții suficient de netede care scade la infinit cu un curs suficient de rapid .

O reprezentare integrală a funcției pas este după cum urmează:

\Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\varepsilon }e^{-ix\tau }\mathop {} \!\mathrm {d} \tau \right)

{\ displaystyle \ Theta (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (- {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over \ tau + i \ varepsilon} e ^ {- ix \ tau} \ mathop {} \! \ mathrm {d} \ tau \ right)}

{\ displaystyle \ Theta (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (- {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over \ tau + i \ varepsilon} e ^ {- ix \ tau} \ mathop {} \! \ mathrm {d} \ tau \ right)}

Aceasta este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0 (vezi variabila aleatoare degenerată ).

Funcția Heaviside este integrala deltei Dirac :

\Theta (x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathop {} \!\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ Theta (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ delta (t)} \ mathop {} \! \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ Theta (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ delta (t)} \ mathop {} \! \ mathrm {d} t}

Valoarea a $\Theta (0)$ ${\ displaystyle \ Theta (0)}$ $\ Theta (0)$ este ocazional o valoare discutată. Unii scriitori presupun $\Theta (0)=0$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 0}$ , alții $\Theta (0)=1.$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 1.}$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 1.}$ $\Theta (0)=1/2$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 1/2}$ ${\ displaystyle \ Theta (0) = 1/2}$ cu toate acestea, rămâne cea mai utilizată alegere, deoarece vă permite să redefiniți funcția Heaviside prin funcția de semn . Aceasta oferă o definiție mai generală:

\Theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ operatorname {sgn} (x) \ right) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ {\ frac {1} {2}}, & x = 0 \\ 1, & x> 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ operatorname {sgn} (x) \ right) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ {\ frac {1} {2}}, & x = 0 \\ 1, & x> 0 \ end {cases}}}

Pentru a elimina ambiguitatea despre valoarea lui $\Theta (0)$ ${\ displaystyle \ Theta (0)}$ $\ Theta (0)$ de utilizat, puteți scrie un indice care îl specifică:

\Theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\n,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}

{\ displaystyle \ Theta _ {n} (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ n, & x = 0 \\ 1, & x> 0 \ end {cases}}}

\ Theta _ {n} (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ n, & x = 0 \\ 1, & x> 0 \ end {cases}}

Cu toate acestea, aceeași notație este utilizată pentru a indica un pas întârziat:

\Theta _{T}(t)=\Theta (t-T)

{\ displaystyle \ Theta _ {T} (t) = \ Theta (tT)}

\ Theta _ {T} (t) = \ Theta (t-T)

Formă discretă

O formă alternativă a etapei unității poate fi, de asemenea, definită ca o funcție a unei variabile discrete n :

\Theta [n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}

{\ displaystyle \ Theta [n] = {\ begin {cases} 0, & n <0 \\ 1, & n \ geq 0 \ end {cases}}}

\ Theta [n] = {\ begin {cases} 0, & n <0 \\ 1, & n \ geq 0 \ end {cases}}

unde n este întreg. Această funcție este suma până la n a deltei Kronecker :

\Theta [n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]

{\ displaystyle \ Theta [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n} \ delta [k]}

\ Theta [n] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{n}} \ delta [k]

unde este

\delta [k]=\delta _{k,0}

{\ displaystyle \ delta [k] = \ delta _ {k, 0}}

\ delta [k] = \ delta _ {{k, 0}}

este delta Dirac .

Transformată Fourier

O altă modalitate de a scrie pasul Heaviside este:

\Theta (t)=\lim _{\alpha \to 0}\exp(-t\alpha ^{|t|/t})

{\ displaystyle \ Theta (t) = \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ exp (-t \ alpha ^ {| t | / t})}

{\ displaystyle \ Theta (t) = \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ exp (-t \ alpha ^ {| t | / t})}

a cărei transformată Fourier este:

{\tilde {\Theta }}(t)={\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )

{\ displaystyle {\ tilde {\ Theta}} (t) = {\ frac {1} {i \ omega}} + \ pi \ delta (\ omega)}

{\ tilde \ Theta} (t) = {\ frac {1} {i \ omega}} + \ pi \ delta (\ omega)

unde este ${\textstyle \delta (\omega )}$ ${\ textstyle \ delta (\ omega)}$ ${\ textstyle \ delta (\ omega)}$ este delta Dirac . Adică, spectrul de frecvență al pasului Heaviside este ${\textstyle 1/(i\omega )}$ ${\ textstyle 1 / (i \ omega)}$ ${\ textstyle 1 / (i \ omega)}$ cu excepția în ${\textstyle \omega =0}$ ${\ textstyle \ omega = 0}$ ${\ textstyle \ omega = 0}$ , unde există o singularitate în care spectrul este concentrat.

Bibliografie

(EN) Abramowitz, M. și Stegun, IA (Eds.). Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice, a 9-a tipărire. New York: Dover, 1972.
( EN ) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H (x) ." Transformata Fourier și aplicațiile sale, ed. A III-a. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
( EN ) Kanwal, RP Funcții generalizate: teorie și tehnică , ediția a II-a. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.
( EN ) Spanier, J. și Oldham, KB "Unitatea-Pas u (xa) și funcții conexe." Cap. 8 în Un atlas al funcțiilor . Washington, DC: emisfera, pp. 63-69, 1987.