Funcția de semnare

În matematică și informatică , funcția de semn este o funcție matematică definită în bucăți, care extrage semnul unui număr real . Pentru a evita confuzia cu funcția sinusoidală , această funcție este deseori numită funcția signum .

Definiție

Funcția de semn este adesea reprezentată cu sgn și poate fi definită după cum urmează ^[1] :

\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1,&{\textrm {se}}\ x<0,\\0,&{\textrm {se}}\ x=0,\\1,&{\textrm {se}}\ x>0,\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = \ left \ {{\ begin {matrix} -1 și {\ textrm {se}} \ x <0, \\ 0 și {\ textrm {se}} \ x = 0, \\ 1, & {\ textrm {se}} \ x> 0, \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = \ left \ {{\ begin {matrix} -1 și {\ textrm {se}} \ x <0, \\ 0 și {\ textrm {se}} \ x = 0, \\ 1, & {\ textrm {se}} \ x> 0, \ end {matrix}} \ right.}

sau folosind notația Iverson :

\ \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0].

{\ displaystyle \ \ operatorname {sgn} x = - [x <0] + [x> 0].}

{\ displaystyle \ \ operatorname {sgn} x = - [x <0] + [x> 0].}

Fiecare număr real poate fi exprimat ca produs al valorii sale absolute și al funcției sale de semn:

x=(\operatorname {sgn} x)|x|.\qquad \qquad (1)

{\ displaystyle x = (\ operatorname {sgn} x) | x |. \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle x = (\ operatorname {sgn} x) | x |. \ qquad \ qquad (1)}

Din ecuația (1) rezultă că pentru $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ da ai

\operatorname {sgn} x={x \over |x|}.\qquad \qquad (2)

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {x \ over | x |}. \ qquad \ qquad (2)}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {x \ over | x |}. \ qquad \ qquad (2)}

Așadar, am putea da și o altă definiție alternativă funcției de semn cu următorul model:

\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}{x \over |x|},&{\textrm {se}}\ x\neq 0,\\0,&{\textrm {altrimenti.}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = \ left \ {{\ begin {matrix} {x \ over | x |}, & {\ textrm {se}} \ x \ neq 0, \\ 0, & {\ textrm {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = \ left \ {{\ begin {matrix} {x \ over | x |}, & {\ textrm {se}} \ x \ neq 0, \\ 0, & {\ textrm {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

Funcția semn este derivata funcției valoare absolută (minus singularitatea în 0):

{\frac {\mathrm {d} |x|}{\mathrm {d} x}}={\frac {|x|}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} | x |} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {| x |} {x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} | x |} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {| x |} {x}}.}

Funcția de semn este diferențiată cu derivată 0 peste tot cu excepția lui 0. Nu este diferențiată în 0 în sens obișnuit, dar sub o noțiune generalizată de diferențialitate (cf. distribuție ) putem spune că derivata funcției de semn este dublul Dirac delta :

{\frac {\mathrm {d} \operatorname {sgn} x}{\mathrm {d} x}}=2\delta (x).

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ operatorname {sgn} x} {\ mathrm {d} x}} = 2 \ delta (x).}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ operatorname {sgn} x} {\ mathrm {d} x}} = 2 \ delta (x).}

Funcția de semn poate fi exprimată cu funcția de pas Heaviside h _½ ( x ):

\operatorname {sgn} x=2h_{1/2}(x)-1,

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = 2h_ {1/2} (x) -1,}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = 2h_ {1/2} (x) -1,}

unde indicele ½ indică faptul că funcția pas în 0 este egală cu 1/2.

Funcția de semn, pentru fiecare $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ , poate fi generalizat la numere complexe:

\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}.

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} z = {\ frac {z} {| z |}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} z = {\ frac {z} {| z |}}.}

Notă

^ Giuseppe De Marco, Analiza zero. Prezentarea riguroasă a unor concepte de bază ale matematicii pentru cursurile universitare , Padova, Decibel editrice, 1997, p. 36, ISBN 978-88-08-09831-3 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția de semnare

[1] Giuseppe De Marco, Analiza zero. Prezentarea riguroasă a unor concepte de bază ale matematicii pentru cursurile universitare , Padova, Decibel editrice, 1997, p. 36, ISBN 978-88-08-09831-3 .

[1]