Spațiul Schwartz

În matematică , spațiul Schwartz sau spațiul funcțiilor care scad rapid este spațiul funcțional al funcțiilor netede ale căror derivate (și funcțiile în sine) scad mai repede decât orice putere de 1 / x. Acesta poartă numele matematicianului Laurent Schwartz .

Indicat cu ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , se caracterizează prin faptul că transformarea Fourier este un automorfism și, datorită acestei proprietăți, este posibilă definirea transformatei Fourier pe elementele din spațiul dual al ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ , care este spațiul distribuțiilor temperate .

Definiție

Având o funcție $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ , defini:

\|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ sup _ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n}} | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f (x ) |}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ sup _ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n}} | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f (x ) |}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt multi-indici și:

D^{\beta }={\frac {\partial ^{|\beta |}}{\partial x_{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\beta _{n}}}}

{\ displaystyle D ^ {\ beta} = {\ frac {\ partial ^ {| \ beta |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ { \ beta _ {n}}}}}

{\ displaystyle D ^ {\ beta} = {\ frac {\ partial ^ {| \ beta |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ { \ beta _ {n}}}}}

Spațiul lui Schwartz ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este spațiul funcțional: ^[1]

{\mathcal {S}}\left(\Omega \right)=\{f\in C^{\infty }(\Omega )\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \quad \forall \,\alpha ,\beta \}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ Omega \ right) = \ {f \ în C ^ {\ infty} (\ Omega) \ mid \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} < \ infty \ quad \ forall \, \ alpha, \ beta \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ Omega \ right) = \ {f \ în C ^ {\ infty} (\ Omega) \ mid \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} < \ infty \ quad \ forall \, \ alpha, \ beta \}}

unde este $C^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ Omega)}$ este spațiul funcțiilor cu toate derivatele continue din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ la $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . Pe ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ considerăm topologia spațiului convex local generat de seminorme $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$ .

De exemplu, dacă i este un e cu mai mulți indici $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr real pozitiv, atunci $x^{i}e^{-ax^{2}}$ ${\ displaystyle x ^ {i} e ^ {- ax ^ {2}}}$ ${\ displaystyle x ^ {i} e ^ {- ax ^ {2}}}$ aparține spațiului Schwartz. Și fiecare funcție $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ cu suport compact aparține ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ . Acest lucru este evident pentru continuitatea fiecărei derivate, prin urmare $(x^{\alpha }D^{\beta })f$ ${\ displaystyle (x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta}) f}$ ${\ displaystyle (x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta}) f}$ are un maxim în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Spațiul dual ${\mathcal {S}}'$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}$ din ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este spațiul distribuțiilor temperate .

Proprietate

${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este un spațiu vectorial complex , adică închis cu privire la sumă și multiplicare pentru scalari complexi.

Folosind regula lui Leibniz , rezultă că ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ de asemenea, este închis sub multiplicare; de sine $f,g\in {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle f, g \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle f, g \ in {\ mathcal {S}}}$ , asa de $f,g:x\mapsto f(x)g(x)$ ${\ displaystyle f, g: x \ mapsto f (x) g (x)}$ ${\ displaystyle f, g: x \ mapsto f (x) g (x)}$ încă aparține ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ .

Pentru fiecare $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ , avem asta ${\mathcal {S}}\subset L^{p},$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ subset L ^ {p},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ subset L ^ {p},}$ unde este $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ reprezintă spațiul Lp pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Funcțiile din ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ sunt, de asemenea, funcții limitate .

Transformata Fourier este un izomorfism liniar ${\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ to {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ to {\ mathcal {S}}}$ . ^[2]

Spațiul lui Schwartz este complet .

${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ Este dens în $L^{2},$ ${\ displaystyle L ^ {2},}$ ${\ displaystyle L ^ {2},}$ deoarece de exemplu baza Hilbert a $L^{2},$ ${\ displaystyle L ^ {2},}$ ${\ displaystyle L ^ {2},}$ $H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}$ ${\ displaystyle H_ {n} (x) e ^ {- x ^ {2} / 2}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (x) e ^ {- x ^ {2} / 2}}$ cu $H_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ polinoamele Hermitei aparțin ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ .
Spațiul funcției de testare este conținut în ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ .

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 133
^ Reed, Simon , Pagina 319

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) spațiu cu funcții în scădere rapidă , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 133

[2] Reed, Simon , Pagina 319

[1]

[2]