spațiu vectorial

În matematică , un spațiu vectorial, de asemenea , numit spațiu liniar, este o structură algebrică constând din:

un câmp , ale cărui elemente sunt numite scalar ;
un set , ale cărui elemente sunt numite vectori ;
două operații binare, numite sumă și înmulțirea cu scalar, caracterizate prin anumite proprietăți. ^[1]

Este o structură algebrică de mare importanță, și este o generalizare a întregului format de vectorii din planul cartezian obișnuit (sau spațiul tridimensional ) , dotate cu suma operațiunilor vectorilor și multiplicarea unui vector cu un număr real . Cele mai multe spații vectoriale utilizate sunt cele pe domenii reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , Respectiv, numite „spații vectoriale reale“ și „spații vectoriale complexe“.

Întâlnești spații vectoriale în mai multe capitole ale matematicii moderne și aplicațiile sale: acestea servesc în primul rând pentru a studia soluțiile de sisteme de ecuații liniare și neliniare ecuații diferențiale . Cu aceste ecuații trata multe situații: prin urmare , spațiile vectoriale se întâlnesc în statistici , în știința construcției , în mecanica cuantică , în teoria semnalului , în biologie moleculară , etc. În spațiile vectoriale suntem , de asemenea , studiate sisteme de ecuații și inegalități, în special cele care deservesc programarea matematică și , în general , la cercetarea operațională .

Structuri algebrice anteproiectului spații vectoriale sunt cele ale grupului , inel și câmp . Există, de asemenea, numeroase structuri matematice care generalizează și îmbogățesc cel al spațiului vectorial; unele sunt menționate în ultima parte a acestui articol.

Un spațiu vectorial este o colecție de obiecte, numite „vectori“, care pot fi adăugate și rescalate.

Definiție

Un spațiu vectorial peste un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Este un set $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ echipat cu două operațiuni care satisfac o anumită listă de axiome. Elementele $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt vectori menționate și cele ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ scalari. Operațiunile sunt:

o sumă (sau legea compoziției interne) , care ia doi vectori $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v}}$ $u \ mathbf, \ mathbf v$ aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și returnează un alt vector de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ indicat cu $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$ $\ Mathbf u + \ mathbf v$ ;
un produs la scară (sau drept compoziție externă) care ia un vector $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf u$ aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și o urcare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ aparținând $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și se întoarce un alt vector aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ indicat cu $a\mathbf {u}$ ${\ Displaystyle a \ mathbf {u}}$ $o \ u mathbf$ .

Axiomele că aceste două operații trebuie să le îndeplinească sunt următoarele ^[2] ^[3] :

$(V,+)$ ${\ Displaystyle (V, +)}$ $(V, +)$ este un grup abelian : Prin urmare, există un element de neutru 0, suma este comutativă și asociativă , și fiecare vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ Acesta are un opus , care este în mod normal , indicată cu $-\mathbf {v} ;$ ${\ Displaystyle - \ mathbf {v};}$ ${\ Displaystyle - \ mathbf {v};}$
distributivitatea produsului din trei termeni pentru un scalar în ceea ce privește adăugarea de vectori:

a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} ,\qquad \forall a\in K,\quad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V;

{\ Displaystyle a (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = o \ mathbf {u} + a \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall o \ K, \ quad \ forall \ mathbf {u} , \ mathbf {v} \ în V;}

{\ Displaystyle a (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = o \ mathbf {u} + a \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall o \ K, \ quad \ forall \ mathbf {u} , \ mathbf {v} \ în V;}

pseudo-distributivitatea ^[4] a produsului la scară în ceea ce privește adăugarea de scalari:

(a+b)\mathbf {v} =a\mathbf {v} +b\mathbf {v} ,\qquad \forall a,b\in K,\quad \forall \mathbf {v} \in V;

{\ Displaystyle (a + b) \ mathbf {v} = o \ mathbf {v} + b \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall a, b \ K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în V;}

{\ Displaystyle (a + b) \ mathbf {v} = o \ mathbf {v} + b \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall a, b \ K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în V;}

Compatibilitatea dintre produs și produsul scalar pentru scalar (pseudo-asociativitate ^[5] ):

(ab)\mathbf {v} =a(b\mathbf {v} ),\qquad \forall a,b\in K,\quad \forall \mathbf {v} \in V;

{\ Displaystyle (ab) \ mathbf {v} = a (b \ mathbf {v}), \ prototipurilor \ forall a, b \ K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în V;}

{\ Displaystyle (ab) \ mathbf {v} = a (b \ mathbf {v}), \ prototipurilor \ forall a, b \ K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în V;}

neutralitatea 1 în ceea ce privește produsul la scară:

1\mathbf {v} =\mathbf {v} ,\qquad \forall \mathbf {v} \in V.

{\ Displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall \ mathbf {v} \ în V.}

{\ Displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}, \ prototipurilor \ forall \ mathbf {v} \ în V.}

Alfabetele diferite sunt utilizate în general pentru vectori și scalari: de exemplu, vectorii sunt simbolizate cu caractere bold, subliniat sau surmontată de o săgeată. Din aceste proprietăți, următoarele formule, valabile pentru fiecare, poate fi dovedit imediat $a\in K$ ${\ Displaystyle o \ în K}$ $o \ în K$ și fiecare $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ :

a\mathbf {0} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,\qquad -a\mathbf {v} =(-a)\mathbf {v} =a(-\mathbf {v} ),

{\ Displaystyle a \ mathbf {0} = 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \ prototipurilor -a \ mathbf {v} = (- a) \ mathbf {v} = a (- \ mathbf {v })}

{\ Displaystyle a \ mathbf {0} = 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \ prototipurilor -a \ mathbf {v} = (- a) \ mathbf {v} = a (- \ mathbf {v })}

unde este elementul neutru al adăugării în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ este elementul neutru al adăugării în $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$

Un spațiu vectorial real sau complex este un spațiu vectorial , în care $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul respectiv $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ a numerelor reale sau domeniul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ de numere complexe .

O noțiune conexă este cea de formă .

Primele exemple

Iată câteva exemple importante de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spații vectoriale unde $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp. Lasa-i sa fie $m, n$ ${\ Displaystyle m, n}$ $m, n$ două numere întregi pozitive.

Spații K ⁿ

Întregul:

K^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1},\dots ,x_{n}\in K\},

{\ Displaystyle K ^ {n} = \ {(ldots X_ {1}, \, X_ {n}) \ | dots \ X_ {1}, \, X_ {n} \ K \}}

{\ Displaystyle K ^ {n} = \ {(ldots X_ {1}, \, X_ {n}) \ | dots \ X_ {1}, \, X_ {n} \ K \}}

formate prin toate finite și ordonate secvențe de elemente de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , Cu operațiile de sumă și produs printr - un termen scalar definit prin termenul (punct), se spune l ' $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numeric-spațiu, spațiul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -uple sau spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate -dimensionale și poate fi considerat prototipul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Se observă că spațiile $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ posedă o infinitate continuă de elemente, în timp ce $\mathbb {Q} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n}}$ $\ Mathbb {Q} ^ {n}$ Ea are cardinalitatea numărabil și pentru fiecare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ primul spațiu $\mathbb {F} _{p}^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ^ {n}}$ ${\ Mathbb {F}} _ {p} ^ {n}$ este alcătuit dintr-un număr finit de vectori, pentru a fi precis $p^{n}.$ ${\ Displaystyle p ^ {n}.}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}.}$

Polinomiale

Întregul $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ de polinoame cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și cu variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , Cu operațiile obișnuite de suma dintre polinoame și produsul unui polinom cu un scalar, formează $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Matrici

Setul de matrici $K^{m\times n},$ ${\ Displaystyle K ^ {m \ ori n},}$ ${\ Displaystyle K ^ {m \ ori n},}$ cu operațiunile sumă între matrice și produsul unui scalar pentru o matrice, este o $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Funcții

Întregul $K^{X}$ ${\ Displaystyle K ^ {X}}$ $K ^ X$ (Notat de asemenea $\mathrm {Fun} (X,K)$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Fun} (X, K)}$ ${\ Mathrm {Fun}} (X, K)$ ) Dintre toate funcțiile dintr - un set împreună $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , unde este:

Suma a două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este definit ca funcție $(f+g)$ ${\ Displaystyle (f + g)}$ $(F + g)$ care trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $f(x)+g(x)$ ${\ F displaystyle (x) + g (x)}$ $f (x) + g (x)$ ;
Produsul $(\lambda f)$ ${\ Displaystyle (\ lambda f)}$ $(\ Lambda f)$ a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pentru o urcare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este funcția care trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $\lambda f(x)$ ${\ Displaystyle \ lambda f (x)}$ $\ Lambda f (x)$ .

Rețineți că $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ , $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ $K ^ {m \ ori n}$ sunt cazuri speciale ale acesteia din urmă, respectiv, cu $X=\{1,\ldots ,n\},\mathbb {N} ,\{1,\ldots ,n\}\times \{1,\ldots ,m\}.$ ${\ Displaystyle X = \ {1, \ ldots, n \} \ mathbb {N}, \ {1, \ ldots, n \} \ ori \ {1, \ ldots, m \}.}$ ${\ Displaystyle X = \ {1, \ ldots, n \} \ mathbb {N}, \ {1, \ ldots, n \} \ ori \ {1, \ ldots, m \}.}$

Un alt exemplu, întregul $\mathbb {R} ^{X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ $\ R ^ X$ a tuturor funcțiilor de la un deschis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , e o $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ - spațiu vectorial.

Noțiuni de bază

Studiul structurii spațiului vectorial are loc prin dezvoltarea noțiunilor de subspațiu , de transformare liniară (în acest caz , vorbim despre spații omomorfismelor vettorali ), bază și dimensiunea .

Subspatii

Trei subspatii distincte ale dimensiunii 2 in

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

: Acestea sunt planuri care trec prin origine. Două dintre acestea se intersectează într-un subspațiu de dimensiune 1, care este o linie dreaptă care trece prin origine (una dintre acestea este desenată în albastru).

Același subiect în detaliu: subspațiu .

Un subspațiu al unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Este un subansamblu $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ care moștenește de la $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o structură de spațiu vectorial. Pentru a moșteni această structură, este suficient ca $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ nu este gol și este închis în raport cu cele două operațiuni de sumă și produs la scară. În special, $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ trebuie să conțină zero $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Exemple

O linie dreaptă care trece prin origine este un subspatiu vectorial al planului cartezian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ ; în spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ toate planurile și toate liniile care trec prin origine sunt subspatii.

Spatiile formate de matricile simetrice sau antisimetrică sunt subspatii ale setului de matrici $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Alte subspații importante vectoriale sunt cele de $\mathrm {Fun} (X,\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Fun} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ Mathrm {Fun}} (X, \ mathbb {R})$ , cand $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ : Complex format prin functii continue , prin funcțiile derivabile și funcțiile măsurabile .

Generatoare și baze

Același subiect în detaliu: combinație liniară și de bază (algebra liniară) .

O combinație liniară a unor vectori $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ este un script ca:

\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n}.}

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n}.}

O combinație liniară este cea mai generală operație care poate fi realizată cu acești vectori folosind cele două operațiuni de sumă și produs la scară. Folosind combinații liniare este posibil să se descrie un subspațiul (care este constituită în general dintr-un set infinit de vectori) cu un număr finit de date. Este , de fapt , definește subspațiul generat de acești vectori ca mulțimea tuturor combinațiilor lor liniare.

Un subspatiu poate fi generat din diferite seturi de vectori. Printre posibilele seturi de unele generatoare sunt mai ieftine decât altele: acestea sunt seturi de vectori cu proprietatea de a fi liniar independente . O astfel de set de vectori un se spune baza de subspatiului.

Se arată că fiecare spațiu vectorial nontrivial are cel puțin o bază; unele spații au baze constituite dintr-un număr finit de vectori, alții au baze care constituie seturi infinite. Pentru acest din urmă să demonstreze existența unei baze trebuie să recurgă la Ierna Zorn .

La conceptul de bază al unui spațiu vectorial este conectat la sistemul de referință al unui spațiu afin .

Dimensiune

Același subiect în detaliu: Dimensiune (spațiu vectorial) .

Acesta arată că toate bazele unui spațiu vectorial sunt de aceeași cardinalitatea (acest rezultat se datorează Felix Hausdorff ). Acest cardinality se numește dimensiunea Hamel a spațiului; această entitate , de obicei , numit pur și simplu dimensiunea spațiului. Cea mai importantă distincție între spații vectoriale vede pe de o parte spațiile de dimensiune finită și pe de altă parte cele de dimensiuni infinite.

Pentru fiecare ansamblu naturale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ spaţiu $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ are dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : De fapt, una din bazele sale este constituită $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -uples având toate componentele nule, cu excepția unei singure egal cu unitatea câmpului. În special, setul format din singur domeniu poate fi considerat un spațiu dimensional, linia dreaptă, cu o origine este un spațiu unidimensional pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ The planul cartezian este o dimensiune a spațiului $2,$ ${\ displaystyle 2,}$ ${\ displaystyle 2,}$ spaţiu $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ are dimensiuni $3.$ ${\ Displaystyle 3.}$ ${\ Displaystyle 3.}$

polinoame Chiar și cu grad cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ formând un subspatiu vectorial de dimensiune $n+1,$ ${\ N displaystyle + 1}$ ${\ N displaystyle + 1}$ în timp ce mărimea setului de funcții $\mathrm {Fun} (X,K)$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Fun} (X, K)}$ ${\ Mathrm {Fun}} (X, K)$ Este egal cu cardinalitatea de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Printre spatiile infinit dimensionale sunt cele formate de setul de polinoame într - o singură variabilă sau mai multe variabile și cele formate din diferite colecții de funcții, de exemplu spațiile Lp .

Vectorii unui spațiu de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiuni, cu referire la o bază fixă a unui astfel de spațiu, poate fi reprezentat ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ scalar -uple: acestea sunt lor coordonate . Acest fapt ne permite să afirmăm că fiecare spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional despre $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este substanțial identificabilă cu $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .

Transformări liniare și morfisme

Același subiect în detaliu: transformare liniara si homomorfism .

O transformare liniară între două spații vectoriale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ pe același teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o aplicație care trimite vectori $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în vectori de $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ respectând combinațiile liniare . Dat fiind că transformările liniare sunt conforme cu operațiunile suma vectorilor și înmulțiri de scalari, acestea constituie morfisme pentru structurile speciilor de spații vectoriale. Pentru a indica setul de morfisme de la $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ tu o scrii $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ Mathrm {Hom}} (V, W)$ . Deosebit de importante sunt seturile de endomorfisms ; acestea au forma $\mathrm {End} (V,V)$ ${\ Displaystyle \ mathrm {End} (V, V)}$ $\ Mathrm {End} (V, V)$ .

Se observă că, pentru aplicații liniare de $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ Mathrm {Hom}} (V, W)$ puteți defini sumele și înmulțiri de elemente $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , La fel ca toate funcțiile care au valori într-un spațiu pe acest domeniu. Întregul $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ Mathrm {Hom}} (V, W)$ echipate cu aceste operațiuni acesta constituie, la rândul său un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , in marime $\dim(V)\times \dim(W)$ ${\ Displaystyle \ dim (V) \ ori \ dim (W)}$ $\ Dim (V) \ ori \ dim (W)$ . Un caz deosebit de important este dată de spațiul dublu $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , Care este de aceeași mărime ca și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Spațiu vectorial gratuit

Un exemplu particular folosit adesea în algebra (și o construcție destul de comună în acest domeniu) este de spațiu liber pe un vector împreună. Scopul este de a crea un spațiu care are elementele de ansamblu, ca bază. Reamintind că, având în vedere un spațiu vectorial generic, se spune că un subset de ea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o bază dacă elementele $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ sunt liniar independente și fiecare vector poate fi scris ca o combinație liniară a elementelor finite ale $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , Următoarea definiție apare în mod natural: un spațiu vectorial liber $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este mulțimea tuturor combinațiilor formale liniară a unui număr finit de elemente de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , Adică, vectorii $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt de tipul:

\sum _{b\in B}\alpha _{b}b\qquad \alpha _{b}\in K,

{\ Displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ prototipurilor \ alpha _ {b} \ K,}

{\ Displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ prototipurilor \ alpha _ {b} \ K,}

unde coeficienți nenuli sunt finite, iar suma si produs sunt definite după cum urmează:

\sum _{b\in B}\alpha _{b}b+\sum _{b\in B}\beta _{b}b:=\sum _{b\in B}(\alpha _{b}+\beta _{b})b\qquad \forall \alpha _{b}\beta _{b}\in K

{\ Displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b + \ sum _ {b \ în B} \ beta _ {b} b: = \ sum _ {b \ în B} (\ alpha _ {b} + \ beta _ {b}) b \ prototipurilor \ forall \ alpha _ {b} \ beta _ {b} \ K}

{\ Displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b + \ sum _ {b \ în B} \ beta _ {b} b: = \ sum _ {b \ în B} (\ alpha _ {b} + \ beta _ {b}) b \ prototipurilor \ forall \ alpha _ {b} \ beta _ {b} \ K}

\gamma \sum _{b\in B}\alpha _{b}b:=\sum _{b\in B}(\gamma \alpha _{b})b\qquad \forall \alpha _{b},\gamma \in K.

{\ Displaystyle \ gamma \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b: = \ sum _ {b \ în B} (\ gamma \ alpha _ {b}) b \ prototipurilor \ forall \ alpha _ {b}, \ gamma \ în K.}

{\ Displaystyle \ gamma \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b: = \ sum _ {b \ în B} (\ gamma \ alpha _ {b}) b \ prototipurilor \ forall \ alpha _ {b}, \ gamma \ în K.}

Trebuie avut în vedere faptul că aceste sume sunt numite formale, deoarece acestea trebuie să fie considerate ca simboluri pure. Practic elementele $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ele servesc doar ca un „substituent“ pentru coeficienții. În plus față de această definiție mai intuitiv, există una complet echivalent în ceea ce privește funcțiile de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu suport finit $\mathrm {supp} f:=\{b\in B:f(b)\}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {supp} f: = \ {b \ în B: f (b) \}}$ ${\ Mathrm {supp}} f: = \ {b \ în B: f (b) \}$ , acesta este:

V\simeq \{f\colon B\to K:\mathrm {supp} f\quad \mathrm {finito} \},

{\ V displaystyle \ simeq \ {f \ colon B \ la K: \ mathrm {supp} f \ quad \ mathrm {terminat} \}}

{\ V displaystyle \ simeq \ {f \ colon B \ la K: \ mathrm {supp} f \ quad \ mathrm {terminat} \}}

în cazul în care pentru al doilea set operațiunile de sumă și de produse sunt cele naturale și corespondența este:

V\ni \sum _{b\in B}\alpha _{b}b\mapsto f\qquad f:b\mapsto \alpha _{b}.

{\ Displaystyle V \ ni \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ mapsto f \ prototipurilor f: b \ mapsto \ alpha _ {b}.}

{\ Displaystyle V \ ni \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ mapsto f \ prototipurilor f: b \ mapsto \ alpha _ {b}.}

Spații vectoriale cu structuri suplimentare

Noțiunea de spațiu vectorial a servit în primul rând să se arate proprietăți algebrice în ceea ce privește mediile și a entităților geometrice; ea constituie baza algebrică pentru studiul problemelor analizei funcționale , care pot fi asociate cu o formă geometrică a studiului funcțiilor legate de ecuații liniare. Cu toate acestea, structura de spațiu vectorial singur este slabă atunci când problemele geometrice și probleme de analiză funcționale trebuie tratate mai eficient. De fapt, trebuie remarcat faptul că, odată cu structura de spațiu vectorial singur nu este posibil să se abordează probleme în ceea ce privește lungimile segmentelor, distanțele și unghiurile (chiar dacă viziunea intuitivă a 2 sau 3 spații vectoriale dimensionale pare să implice în mod necesar aceste noțiuni de geometrie elementară ).

Pentru a dezvolta „potențialul“ al spațiului vectorial structura este necesar să se îmbogățească în mai multe direcții, atât cu instrumente algebrice suplimentare ( de exemplu. Propunând produse ale vectorilor), cu ambele noțiuni topologice , cu ambele noțiuni diferențiale . De fapt, o activitate sistematică de îmbogățire a spațiilor vectoriale pot fi avute în vedere cu construcțiile care sunt adăugate la cea de combinație liniară pentru a obține structuri foarte eficiente împotriva multor probleme matematice, computaționale și aplicative. Pentru a fi util, aceste construcții trebuie să fie oarecum compatibile cu structura de spațiu vectorial, iar condițiile de compatibilitate variază de la caz la caz.

spatiu normat

Un spațiu vectorial este definit ca un standard de , adică o lungime de transportatori, se numește spațiu normat . Importanța spațiilor vectoriale normate depinde de faptul că pornind de la norma vectorilor individuali este definită ca distanța dintre doi vectori ca o normă a diferenței lor , iar acest concept vă permite să definiți construcții valori și apoi construcții topologice .

spatiu Banach

Un spațiu normat complet în ceea ce privește este metric induse spus spațiu Banach .

Spațiul Hilbert

Un spațiu complex vectorial (resp. Real) , în care este definit un produs scalar hermitian (resp. Biliniar ) pozitiv definită și , prin urmare , de asemenea , unghiul de concepte și perpendicularității vectorilor, este numit spațiu interior produs . Un spațiu echipat cu un produs scalar este , de asemenea , reglementată, în timp ce , în general , nu merită vice - versa.

Un spațiu echipat cu un produs scalar , care este completă în ceea ce privește este metric indusă a spus spațiu Hilbert .

Spațiu vectorial topologic

Un spațiu vectorial , de asemenea , echipat cu o topologie se numește un spațiu vectorial topologic .

Algebra de câmp

Un spațiu vectorial îmbogățit cu un operator de biliniară care definește o multiplicare între vectori constituie așa-numita algebra peste un câmp . De exemplu, afișarea matricelor pătrate de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ purtând produsul matrice formează o algebră. O altă algebră pe orice domeniu este asigurată de polinoame pe acest domeniu cu produsul obișnuit între polinoame.

Generalizări

O Möbius bandă este local homeomorf la

U\times \mathbb {R}

{\ Displaystyle U \ ori \ mathbb {R}}

mathbb U \ ori \ {R}

.

pachete Vector

Același subiect în detaliu: vectorul Fibrato și Fibrato mită .

Un pachet vector este o familie de spații vectoriale parametrizat în mod continuu printr - un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . In mod specific, un vector pachet pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu topologic $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ echipat cu o funcție continuă $\pi \colon E\to X$ ${\ Displaystyle \ pi \ colon E \ X}$ $\ Pi \ colon E \ X$ astfel încât pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ fibra $\pi ^{-1}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1}}$ $\ Pi ^ {{- 1}}$ este un spațiu vectorial.

Formulare

Același subiect în detaliu: module (matematică) .

Un modul este pentru un inel care este un spațiu vectorial pentru un câmp. Deși merită aceleași axiomele care se aplică domeniile, teoria modulelor este complicată de prezența unor elemente (inele) , care nu posedă reciprocă .

spații Affine

Același subiect în detaliu: un spațiu similar .

Intuitiv, un spațiu afin este un spațiu vectorial a cărui origine nu este fixă. Este un întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ echipat cu o funcție $f:A\times V\to A$ ${\ F displaystyle: A \ ori V \ la A}$ $f: A \ ori V \ la A$ , unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , indicat în general cu semnul $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ :

f(P,v)=P+v,

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

astfel încât: ^[6]

Pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ fixe, aplicarea care se leagă la vectorul $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ideea $P+v$ ${\ displaystyle P + v}$ $P + v$ este o bijecție din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fiecare pereche de vectori $v, w$ ${\ displaystyle v, w}$ $v, w$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ relația deține:

(P+v)+w=P+(v+w)

{\ Displaystyle (P + v) + w = P + (v + w)}

(P + v) + w = ​​P + (v + w)

Notă

^ Hoffman, Kunze , Pag. 28.
^ S. Lang , Pag. 37.
^ Hoffman, Kunze , Pag. 29.
^ Proprietatea distributivă se referă doar două operațiuni, în timp ce în acest caz sunt implicate trei etape: adăugarea de scalari ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ), Multiplicarea unui vector cu un scalar ( $*$ ${\ * Displaystyle}$ $*$ ) Și adăugare vector ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ )
^ Proprietatea asociativă se referă la o singură operațiune, în timp ce , în acest caz , sunt implicate două operații: multiplicarea scalar pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și înmulțirea cu un scalar
^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 102.

Bibliografie

Marco Abate, Chiara de Fabritiis, geometrie analitică cu algebra liniară, Milano, McGraw-Hill, 2006, ISBN 88-386-6289-4 .
Silvana Abeasis, Elemente de algebra liniara si geometrie, Bologna, Zanichelli 1993 ISBN 88-08-16538-8 .
Giulio Campanella, algebra clipboard, Roma, New Cultura, 2005, ISBN 88-89362-22-7 .
Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Luciano Lomonaco, O introducere în algebra liniară, Roma, Arachne, 2005, ISBN 88-548-0144-5 .
Edward Sernesi, Geometrie 1, 2 -a ed., Torino, Bollati Basic Books, 1989, ISBN 88-339-5447-1 .
(RO) Werner Greub, Algebra liniara, 4th ed., New York, Springer, 1995, ISBN 0-387-90110-8 .
(RO) Paul Halmos , spații vectoriale finit dimensionale, 2nd ed., New York, Springer, 1974, ISBN 0-387-90093-4 .
(RO) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniara , Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, Inc, 1971,. ISBN 0-13-536821-9 .
(EN) Serge Lang, Algebra liniara, 3rd ed., New York, Springer, 1987, ISBN 0-387-96412-6 .
(RO) Steven Roman, Advanced Algebra liniara, Springer, 1992, ISBN 0-387-97837-2 .
(RO) Georgi Evgen'evich Șilov , Algebra liniara, tradusă de Richard Silverman, New York, Dover, 1977, ISBN 0-486-63518-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitate conține resurse de spațiu vectorial
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în spațiu vectorial

linkuri externe

(EN) spațiu vectorial , al Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(RO) MI Kadets, spațiu vectorial , în Enciclopedia de Matematică , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
(RO) O prelegere despre conceptele fundamentale legate de spații vectoriale (date de la MIT )
(RO) Un simulator grafic pentru conceptele de durata, dependență liniară, și dimensiunea de bază

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 8099 · LCCN ( EN ) sh85142456 · GND ( DE ) 4130622-3 · BNF ( FR ) cb11947083w (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Hoffman, Kunze , Pag. 28.

[2] S. Lang , Pag. 37.

[3] Hoffman, Kunze , Pag. 29.

[4] Proprietatea distributivă se referă doar două operațiuni, în timp ce în acest caz sunt implicate trei etape: adăugarea de scalari ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ), Multiplicarea unui vector cu un scalar ( $*$ ${\ * Displaystyle}$ $*$ ) Și adăugare vector ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ )

[5] Proprietatea asociativă se referă la o singură operațiune, în timp ce , în acest caz , sunt implicate două operații: multiplicarea scalar pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și înmulțirea cu un scalar

[6] Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 102.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identità · Nulla · Quadrata · Invertibile · Simmetrica · Antisimmetrica · Trasposta · Diagonale · Triangolare · Di cambiamento di base · Ortogonale · Normale · Simplettica · Moltiplicazione di matrici · Rango · Teorema di Kronecker · Minore · Matrice dei cofattori · Determinante · Teorema di Binet · Teorema di Laplace · Radice quadrata di una matrice
Diagonalizzabilità	Autovettore e autovalore · Spettro · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Teorema di Hamilton-Cayley · Matrice a blocchi · Forma canonica di Jordan · Teorema di diagonalizzabilità
Prodotto scalare	Forma bilineare · Sottospazio ortogonale · Spazio euclideo · Base ortonormale · Algoritmo di Lagrange · Segnatura · Teorema di Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Forma hermitiana · Teorema spettrale