Regula produsului

În analiza matematică , regula produsului sau regula lui Leibniz este o regulă de derivare care, în forma sa generală, permite calcularea oricărei derivate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea din produsul $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ toate derivabile:

{\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {k } \ left ({\ frac {d} {dx}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ right) = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {f '_ {i} (x)} {f_ {i} (x)}} \ dreapta).}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {k } \ left ({\ frac {d} {dx}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ right) = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {f '_ {i} (x)} {f_ {i} (x)}} \ dreapta).}

Afirmație simplă

Prima derivată a produsului a două funcții diferențiate în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este egal cu produsul primei prin derivata celei de-a doua plus produsul celei de-a doua funcții prin derivata primei, care în notația Lagrange este exprimată:

\left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

{\ displaystyle \ left [g (x) f (x) \ right] '= f' (x) g (x) + f (x) g '(x).}

{\ displaystyle \ left [g (x) f (x) \ right] '= f' (x) g (x) + f (x) g '(x).}

Demonstrație

Aplicarea definiției derivatului și asumarea funcțiilor $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ derivabil în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

[f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.

{\ displaystyle [f (x) g (x)] '= \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x)} {h}}.}

{\ displaystyle [f (x) g (x)] '= \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x)} {h}}.}

Acum să scădem și să adăugăm cantitatea $f(x+h)g(x)$ ${\ displaystyle f (x + h) g (x)}$ ${\ displaystyle f (x + h) g (x)}$ :

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) -f (x) g (x)} {h}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) -f (x) g (x)} {h}}}

Adunare $f(x+h)$ ${\ displaystyle f (x + h)}$ ${\ displaystyle f (x + h)}$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ primesti

\lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} f (x + h) \ left [{\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} \ right] + \ lim _ {h \ to 0} g (x) \ left [{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right]}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} f (x + h) \ left [{\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} \ right] + \ lim _ {h \ to 0} g (x) \ left [{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right]}

Ca funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ sunt, prin ipoteză, derivabile în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , deci este aici, de asemenea, continuă $\lim _{h\to 0}f(x+h)=f(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} f (x + h) = f (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} f (x + h) = f (x)}$ acea $\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} g (x + h) = g (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} g (x + h) = g (x)}$ . Se concluzionează că:

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x),}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x),}

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x),}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x),}

prin urmare:

f(x)g'(x)+f'(x)g(x),

{\ displaystyle f (x) g '(x) + f' (x) g (x),}

{\ displaystyle f (x) g '(x) + f' (x) g (x),}

așa cum era menit să demonstreze.

Descoperirea lui Leibniz

Descoperirea acestei reguli a fost atribuită matematicianului Gottfried Leibniz - de unde și numele - care a dovedit-o folosind diferențialul , folosind o notație particulară , așa cum se arată mai jos, în care $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ sunt două funcții ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Apoi diferențialul de $f g$ ${\ displaystyle fg}$ $fg$ Și

{\begin{aligned}d(fg)&=(f+df)(g+dg)-fg\\&=f(dg)+g(df)+(df)(dg)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d (fg) & = (f + df) (g + dg) -fg \\ & = f (dg) + g (df) + (df) (dg) \ end { aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d (fg) & = (f + df) (g + dg) -fg \\ & = f (dg) + g (df) + (df) (dg) \ end { aliniat}}}

Ca termen $(df)(dg)$ ${\ displaystyle (df) (dg)}$ ${\ displaystyle (df) (dg)}$ este „neglijabil” ca diferențial de ordinul doi, Leibniz a concluzionat că

d(fg)=f(dg)+g(df).

{\ displaystyle d (fg) = f (dg) + g (df).}

{\ displaystyle d (fg) = f (dg) + g (df).}

Aceasta este identică cu forma diferențială a regulii produsului. Dacă împărțiți ambele la diferențial $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ , primesti

{\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (fg) = f \ left ({\ frac {dg} {dx}} \ right) + g \ left ({\ frac {df} {dx}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (fg) = f \ left ({\ frac {dg} {dx}} \ right) + g \ left ({\ frac {df} {dx}} \ dreapta)}

care corespunde în notația lui Lagrange la:

(fg)'=fg'+f'g.

{\ displaystyle (fg) '= fg' + f'g.}

{\ displaystyle (fg) '= fg' + f'g.}

Funcții constante

Un caz special notabil este derivatul unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru o constantă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x),

{\ displaystyle D \ left [kf (x) \ right] = k \ cdot f '(x) + k' \ cdot f (x),}

{\ displaystyle D \ left [kf (x) \ right] = k \ cdot f '(x) + k' \ cdot f (x),}

dar $k'=0$ ${\ displaystyle k '= 0}$ ${\ displaystyle k '= 0}$ fiind derivatul unei constante atunci, pentru anularea produsului , rămâne doar primul termen; asa de

D\left[kf(x)\right]=kf'(x).

{\ displaystyle D \ left [kf (x) \ right] = kf '(x).}

{\ displaystyle D \ left [kf (x) \ right] = kf '(x).}

Generalizări

Produs multiplu

Regula poate fi generalizată și pentru o colecție de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ funcții diferențiate, $f_{1},\ldots ,f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}}$ , și demonstrabil cu un proces similar cu cel deja văzut prin obținerea regulii generale:

Derivata produsului de n funcții este egală cu suma de n adunări, fiecare dintre acestea conținând derivata funcției n-a și restul de nederivate.

(f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x))'=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),

{\ displaystyle (f_ {1} (x) f_ {2} (x) \ cdots f_ {n} (x)) '= f_ {1}' (x) f_ {2} (x) \ cdots f_ {n } (x) + f_ {1} (x) f_ {2} ^ {\ prime} (x) \ cdots f_ {n} (x) + \ cdots + f_ {1} (x) f_ {2} (x ) \ cdots f_ {n} ^ {\ prime} (x),}

{\ displaystyle (f_ {1} (x) f_ {2} (x) \ cdots f_ {n} (x)) '= f_ {1}' (x) f_ {2} (x) \ cdots f_ {n } (x) + f_ {1} (x) f_ {2} ^ {\ prime} (x) \ cdots f_ {n} (x) + \ cdots + f_ {1} (x) f_ {2} (x ) \ cdots f_ {n} ^ {\ prime} (x),}

introducând mai succint producția și luând în considerare funcțiile ${f_{j}(x)}$ ${\ displaystyle {f_ {j} (x)}}$ ${\ displaystyle {f_ {j} (x)}}$ fără zerouri:

{\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {f '_ {j} (x)} {f_ {j} (x)}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x).}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {f '_ {j} (x)} {f_ {j} (x)}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x).}

Aplicație polinomială

Din aplicarea celei anterioare se poate dovedi prin inducție că

{d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1},

{\ displaystyle {d \ over dx} ax ^ {n} = nax ^ {n-1},}

{\ displaystyle {d \ over dx} ax ^ {n} = nax ^ {n-1},}

pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg pozitiv : ^[1] $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n}$ la urma urmei este un producător de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ funcții egale toate egale a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , deci pentru generalizare, obținem o însumare de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente la fel:

=nx^{n-1}\cdot x',

{\ displaystyle = nx ^ {n-1} \ cdot x ',}

{\ displaystyle = nx ^ {n-1} \ cdot x ',}

aplicând acum ipoteza inductivă a principiului inducției pentru $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ și amintindu-mi că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Este egal cu $x^{1}$ ${\ displaystyle x ^ {1}}$ ${\ displaystyle x ^ {1}}$ , putem rescrie:

=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0},

{\ displaystyle = nx ^ {n-1} \ cdot (1 \ cdot x ^ {1-1}) = nx ^ {n-1} \ cdot x ^ {0},}

{\ displaystyle = nx ^ {n-1} \ cdot (1 \ cdot x ^ {1-1}) = nx ^ {n-1} \ cdot x ^ {0},}

din moment ce x ⁰ = 1 ecuația este dovedită.

Derivate ulterioare

Derivate ulterioare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -imaginea produsului a două funcții este:

{\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {{dx} ^ {n}}} f (x) g (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} f ^ {(nk)} (x) g ^ {(k)} (x).}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {{dx} ^ {n}}} f (x) g (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} f ^ {(nk)} (x) g ^ {(k)} (x).}

^[2]

Primul element este coeficientul binomial .

Aplicație polinomială

Să încercăm să derivăm funcția de două ori $x^{3}e^{x}$ ${\ displaystyle x ^ {3} e ^ {x}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} e ^ {x}}$ , folosind faptul că derivatul lui $e^{x}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ $și ^ x$ este întotdeauna la fel ca el însuși.

{\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D ^ {(2)} [x ^ {3} e ^ {x}] & = {2 \ alege 0} 6xe ^ {x} + {2 \ alege 1} 3x ^ {2} e ^ {x} + {2 \ alege 2} x ^ {3} e ^ {x} \\ & = 1 \ cdot 6xe ^ {x} +2 \ cdot 3x ^ {2} e ^ {x } +1 \ cdot x ^ {3} e ^ {x} \\ & = 6xe ^ {x} + 6x ^ {2} e ^ {x} + x ^ {3} e ^ {x} \ end {aliniat }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D ^ {(2)} [x ^ {3} e ^ {x}] & = {2 \ alege 0} 6xe ^ {x} + {2 \ alege 1} 3x ^ {2} e ^ {x} + {2 \ alege 2} x ^ {3} e ^ {x} \\ & = 1 \ cdot 6xe ^ {x} +2 \ cdot 3x ^ {2} e ^ {x } +1 \ cdot x ^ {3} e ^ {x} \\ & = 6xe ^ {x} + 6x ^ {2} e ^ {x} + x ^ {3} e ^ {x} \ end {aliniat }}}

ca și înainte, în ceea ce privește derivarea unei funcții de exponent natural:

{d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}.

{\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} x ^ {a} = {\ frac {a!} {(an)!}} x ^ {an}.}

{\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} x ^ {a} = {\ frac {a!} {(a-n)!}} x ^ {a-n}.}

Notă

^ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu întreg și pozitiv este necesar să recurgeți la alte dovezi
^ Referința apicală dintre paranteze nu indică un exponent, ci ordinea de derivare conform notației Lagrange

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere bazate pe regula lui Leibnitz

linkuri externe

( EN ) Regula produsului , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] tru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu întreg și pozitiv este necesar să recurgeți la alte dovezi

[2] Referința apicală dintre paranteze nu indică un exponent, ci ordinea de derivare conform notației Lagrange

[1]

[2]