Regula cotientului

În analiza matematică , regula coeficientului este o regulă de derivare care vă permite să calculați derivata coeficientului a două funcții diferențiate.

Definiție

Derivata raportului dintre două funcții este un raport având ca numărător derivata numărătorului pentru numitor minus derivata numitorului pentru numărător și ca numitor pătratul numitorului original.

D{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}

{\ displaystyle D {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {[g (x )] ^ {2}}}}

{\ displaystyle D {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {[g (x )] ^ {2}}}}

D [ f ( x )] și f '( x ) sunt notații care indică același sens derivat.

Este necesar ca g ( x ), fiind în numitor, să nu dispară niciodată în intervalul sau punctul implicat în calcul pentru a nu face rezultatul nedefinit.

Cu toate acestea, regula coeficientului poate fi considerată și un caz particular al regulii produsului - utilizată și pentru derivare - cu un al doilea factor 1 / g (x) , doar că devine adesea mai ușoară în scopul calculului datorită o complicație mai mare a derivatei inversului .

Demonstrație folosind raportul incremental

Aplicarea definiției derivatului , ca limită a raportului incremental :

F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\qquad \qquad (1)

{\ displaystyle F '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}} \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle F '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}} \ qquad \ qquad (1)}

Obținem, presupunând atât funcțiile f ( x ), cât și g ( x ) diferențiate în x și g ( x ) nu zero, că:

\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}=\left[{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]\cdot {\frac {1}{h}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {{\ frac {f (x + h)} {g (x + h)}} - {\ frac {f (x)} {g (x )}}} {h}} = \ left [{\ frac {f (x + h)} {g (x + h)}} - {\ frac {f (x)} {g (x)}} \ dreapta] \ cdot {\ frac {1} {h}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {{\ frac {f (x + h)} {g (x + h)}} - {\ frac {f (x)} {g (x )}}} {h}} = \ left [{\ frac {f (x + h)} {g (x + h)}} - {\ frac {f (x)} {g (x)}} \ dreapta] \ cdot {\ frac {1} {h}}}

Totul se reduce la cel mai mic multiplu comun :

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x) -f (x) g (x + h)} {g (x) g (x + h)} } \ cdot {\ frac {1} {h}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x) -f (x) g (x + h)} {g (x) g (x + h)} } \ cdot {\ frac {1} {h}}}

Acum să adăugăm și să eliminăm f ( x ) g ( x ):

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x) -f (x) g (x) + f (x) g (x) -f (x) g (x + h)} {g (x) g (x + h)}} \ cdot {\ frac {1} {h}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) g (x) -f (x) g (x) + f (x) g (x) -f (x) g (x + h)} {g (x) g (x + h)}} \ cdot {\ frac {1} {h}}}

Colectând f ( x ) și g ( x ) și aranjând numeratorii ajungem la a

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\;-\;f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)g(x+h)}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x) {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \; - \; f (x) { \ frac {g (x + h) -g (x)} {h}}} {g (x) g (x + h)}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x) {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \; - \; f (x) { \ frac {g (x + h) -g (x)} {h}}} {g (x) g (x + h)}}}

Deoarece g ( x ) este, prin ipoteză, diferit de zero și diferențiat în x , deci este și aici continuu :

\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} g (x + h) = g (x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} g (x + h) = g (x)}

.

Pentru (1), concluzionăm că:

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x)}

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x)}

prin urmare ${\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {[g (x)] ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {[g (x)] ^ {2}}}}$ cvd .

Demonstrație folosind regula produsului

Aplicând regula produsului și regula funcției reciproce , avem:

$D{\frac {f(x)}{g(x)}}\;=\;D\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\;=\;f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {-g'(x)}{g^{2}(x)}}\;=\;{\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$ ${\ displaystyle D {\ frac {f (x)} {g (x)}} \; = \; D \ left [f (x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} \ right ] \; = \; f '(x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} + f (x) \ cdot {\ frac {-g' (x)} {g ^ {2} (x)}} \; = \; {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {g ^ {2} (x)}}}$ ${\ displaystyle D {\ frac {f (x)} {g (x)}} \; = \; D \ left [f (x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} \ right ] \; = \; f '(x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} + f (x) \ cdot {\ frac {-g' (x)} {g ^ {2} (x)}} \; = \; {\ frac {f '(x) g (x) -f (x) g' (x)} {g ^ {2} (x)}}}$

și se termină.

De exemplu: $\;\;\;D\tan x=D{\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$ ${\ displaystyle \; \; \; D \ tan x = D {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = {\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x}$ ${\ displaystyle \; \; \; D \ tan x = D {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = {\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x}$

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Regula coeficientului , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică