Regula funcției reciproce

În analiza matematică , regula funcției reciproce este o regulă de derivare care vă permite să calculați derivata reciprocă a unei funcții diferențiabile.

Definiție

Derivata reciprocă a unei funcții este un raport având ca numărător opusul derivatei funcției și ca numitor pătratul funcției.

D{\frac {1}{f(x)}}={\frac {-f'(x)}{[f(x)]^{2}}}

{\ displaystyle D {\ frac {1} {f (x)}} = {\ frac {-f '(x)} {[f (x)] ^ {2}}}}

{\ displaystyle D {\ frac {1} {f (x)}} = {\ frac {-f '(x)} {[f (x)] ^ {2}}}}

D [ f ( x )] și f '( x ) sunt notații care indică același sens derivat.

În punctul în care se calculează derivata, funcția nu trebuie să fie nulă.

Demonstrație folosind raportul incremental

Scrierea raportului incremental al funcției ${1 \over g(x)}$ ${\ displaystyle {1 \ peste g (x)}}$ ${\ displaystyle {1 \ peste g (x)}}$ noi obținem:

D\left({1 \over g(x)}\right)=\lim _{h\to 0}{{1 \over g(x+h)}-{1 \over g(x)} \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over g(x+h)g(x)}\cdot {1 \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}\cdot {1 \over g(x+h)g(x)}

{\ displaystyle D \ left ({1 \ over g (x)} \ right) = \ lim _ {h \ to 0} {{1 \ over g (x + h)} - {1 \ over g (x) } \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over g (x + h) g (x)} \ cdot {1 \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over h} \ cdot {1 \ over g (x + h) g (x)}}

{\ displaystyle D \ left ({1 \ over g (x)} \ right) = \ lim _ {h \ to 0} {{1 \ over g (x + h)} - {1 \ over g (x) } \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over g (x + h) g (x)} \ cdot {1 \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over h} \ cdot {1 \ over g (x + h) g (x)}}

Acum, argumentul primei limite este opusul raportului incremental al lui g ,

\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}=\lim _{h\to 0}-1\cdot {g(x+h)-g(x) \over h}=-\;g'(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} -1 \ cdot {g (x + h) - g (x) \ peste h} = - \; g '(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {g (x) -g (x + h) \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} -1 \ cdot {g (x + h) - g (x) \ peste h} = - \; g '(x)}

în timp ce al doilea factor pentru continuitatea g „navetează” cu operația de limită, de aceea avem:

D\left({1 \over g(x)}\right)=-g'(x)\cdot {1 \over g(x)g(x)}={-g'(x) \over g^{2}(x)}

{\ displaystyle D \ left ({1 \ over g (x)} \ right) = - g '(x) \ cdot {1 \ over g (x) g (x)} = {- g' (x) \ peste g ^ {2} (x)}}

{\ displaystyle D \ left ({1 \ over g (x)} \ right) = - g '(x) \ cdot {1 \ over g (x) g (x)} = {- g' (x) \ peste g ^ {2} (x)}}

cvd.

Alternativ, folosind regula lanțului , prin plasare $f(x)=x^{-1}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {- 1}}$ putem determina derivata ca: $D(f(g(x)))=f'(g(x))\cdot g'(x)=-(g(x))^{-2}\cdot g'(x)={-g'(x) \over (g(x))^{2}}$ ${\ displaystyle D (f (g (x))) = f '(g (x)) \ cdot g' (x) = - (g (x)) ^ {- 2} \ cdot g '(x) = {-g '(x) \ over (g (x)) ^ {2}}}$ ${\ displaystyle D (f (g (x))) = f '(g (x)) \ cdot g' (x) = - (g (x)) ^ {- 2} \ cdot g '(x) = {-g '(x) \ over (g (x)) ^ {2}}}$