Raport incremental

Raportul incremental al unei funcții reale la o variabilă reală $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un număr care măsoară intuitiv „cât de repede” funcția crește sau scade pe măsură ce variază coordonata independentă în jurul unui anumit punct. Din punct de vedere geometric, oferă valoarea coeficientului unghiular al unei linii secante care trece prin punctul dat și un alt punct pe graficul funcției. Conceptul de raport incremental este strâns legat de noțiunea de derivată și poate fi definit pentru funcții mai generale, cum ar fi funcțiile multi-variabile .

Definiție

Este $E\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}$ $E \ subset {\ mathbb {R}}$ un interval ne-gol e $f:E\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$ $f: E \ to {\ mathbb {R}}$ o funcție reală în variabila reală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; definim creșterea funcției (sau a variabilei dependente ) în jurul punctului de abscisă $x_{0}\in E$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în E}$ $x_ {0} \ în E$ cantitatea $\Delta f(x_{0}):=f(x_{0}+h)-f(x_{0})$ ${\ displaystyle \ Delta f (x_ {0}): = f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})}$ $\ Delta f (x_ {0}): = f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})$ , pentru o sumă fixă $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ non-zero (și astfel încât $(x_{0}+h)\in E$ ${\ displaystyle (x_ {0} + h) \ în E}$ $(x_ {0} + h) \ în E$ ); cantitatea corespunzătoare este definită ca creșterea variabilei independente $\Delta x:=(x_{0}+h)-x_{0}=h$ ${\ displaystyle \ Delta x: = (x_ {0} + h) -x_ {0} = h}$ $\ Delta x: = (x_ {0} + h) -x_ {0} = h$ . Prin urmare, definim raportul incremental al funcției din jur $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și în ceea ce privește creșterea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ numărul real:

R_{f}(x_{0},h):={\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

{\ displaystyle R_ {f} (x_ {0}, h): = {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} = {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ { 0})} {h}}}

R_ {f} (x_ {0}, h): = {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} = {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) } {h}}

,

adică raportul creșterilor.

Vorbim despre raportul incremental „dreapta” sau „stânga” atunci când doriți să evidențiați că aveți în vedere o creștere (respectiv) pozitivă sau negativă.

Interpretarea geometrică

Figura 1.
Raportul incremental

R_{f}(x,h)

{\ displaystyle R_ {f} (x, h)}

R_ {f} (x, h)

măsoară coeficientul unghiular al liniei secante care trece prin punctele de abscisă

X

{\ displaystyle x}

X

Și

x+h

{\ displaystyle x + h}

x + h

; a tinde spre

h

{\ displaystyle h}

h

la 0, sub ipoteze adecvate de regularitate pentru

f

{\ displaystyle f}

f

, secanta aproximează exact tangenta la graficul funcției în

(x,f(x))

{\ displaystyle (x, f (x))}

(x, f (x))

, Și

R_{f}(x,h)

{\ displaystyle R_ {f} (x, h)}

R_ {f} (x, h)

își asumă semnificația derivatului de

f

{\ displaystyle f}

f

la punctul de tangență.

După cum se poate vedea în Figura 1, $R_{f}(x_{0},h)$ ${\ displaystyle R_ {f} (x_ {0}, h)}$ $R_ {f} (x_ {0}, h)$ este echivalent cu coeficientul unghiular al liniei secante care intersectează graficul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la punctele de abscisă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $x_{0}+h$ ${\ displaystyle x_ {0} + h}$ $x_ {0} + h$ ; ecuația acestei linii este de fapt:

y=y(x)=f(x_{0})+R_{f}(x_{0},h)(x-x_{0})

{\ displaystyle y = y (x) = f (x_ {0}) + R_ {f} (x_ {0}, h) (x-x_ {0})}

y = y (x) = f (x_ {0}) + R_ {f} (x_ {0}, h) (x-x_ {0})

.

Un mod echivalent de interpretare a raportului incremental este ca o tangentă trigonometrică a unghiului format de linia secantă cu axa abscisei (măsurată într-un mod standard, adică în sens invers acelor de ceasornic); având în vedere triunghiul dreptunghiular al picioarelor $\Delta f$ ${\ displaystyle \ Delta f}$ $\ Delta f$ Și $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ , de fapt, se poate observa că mita în cauză este valabilă ${\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x_{0})$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})}$ ${\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})$ .

Legătură cu noțiunea de derivat

Când creșterea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ tinde spre, linia secantă tinde să coincidă cu tangenta la graficul funcției la punct $(x_{0},f(x_{0}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$ $(x_ {0}, f (x_ {0}))$ , cu condiția ca acest lucru să fie suficient de regulat acolo (există probleme în definirea tangentei la graficul funcției dacă aceasta prezintă puncte de nederivabilitate ). Raportul incremental tinde contextual către derivatul anterior $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ :

f^{\prime }(x_{0}):=\lim _{h\to 0}{{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x_{0})}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}): = \ lim _ {h \ to 0} {{\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}}}

f ^ {{\ prime}} (x_ {0}): = \ lim _ {{h \ to 0}} {{\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})} = \ lim _ {{h \ to 0}} {{\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}}}

.

Din acest motiv, definim linia tangentă în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la graficul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (derivabilă în aceasta) linia de ecuație:

y=y(x):=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})

{\ displaystyle y = y (x): = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0})}

y = y (x): = f (x_ {0}) + f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) (x-x_ {0})

.

Deosebit de iluminantă este analogia dintre notație ${\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x_{0})$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})}$ ${\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x_ {0})$ pentru raportul incremental și notația Leibniz pentru derivată:

{\frac {df}{dx}}(x_{0})

{\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} (x_ {0})}

{\ frac {df} {dx}} (x_ {0})

,

unde $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ poate fi interpretat ca „creșteri infinitezimale” ale variabilelor dependente și independente ^[1] , sau ca „limită” pentru $h\to 0$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ $h \ la 0$ din $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , destinate operatorilor . Această analogie este dezvoltată în continuare în calculul diferențelor , care are ca scop generalizarea calculului diferențial în cazul incrementelor finite , mai degrabă decât infinitezimale ^[2] .

Generalizări

Generalizarea conceptului de relație incrementală se realizează în anticiparea generalizării noțiunii de derivată ; prin urmare, luând în mod adecvat limita pentru creșterea care tinde la 0 din următoarele definiții generalizate, obținem, respectiv, derivata vectorială , derivata holomorfă , derivata direcțională .

Funcții vectoriale

Este $\mathbf {f} :E\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: E \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ mathbf {f}}: E \ subset {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} ^ {m}$ o funcție vectorială în variabila reală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Se numește un raport incremental în jur $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ comparativ cu creșterea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ transportatorul :

\mathbf {R} _{\mathbf {f} }(x_{0},h):={\frac {\mathbf {f} (x_{0}+h)-\mathbf {f} (x_{0})}{h}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} _ {\ mathbf {f}} (x_ {0}, h): = {\ frac {\ mathbf {f} (x_ {0} + h) - \ mathbf {f} ( x_ {0})} {h}}}

{\ mathbf {R}} _ {{{\ mathbf {f}}}} (x_ {0}, h): = {\ frac {{\ mathbf {f}} (x_ {0} + h) - { \ mathbf {f}} (x_ {0})} {h}}

;

cu alte cuvinte, este vectorul $\mathbf {R} _{\mathbf {f} }=\left(R_{1},R_{2},\cdots ,R_{m}\right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {\ mathbf {f}} = \ left (R_ {1}, R_ {2}, \ cdots, R_ {m} \ right)}$ ${\ mathbf {R}} _ {{\ mathbf {f}}} = \ left (R_ {1}, R_ {2}, \ cdots, R_ {m} \ right)$ a caror $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a componentă este $R_{f_{i}}(x_{0},h)$ ${\ displaystyle R_ {f_ {i}} (x_ {0}, h)}$ $R _ {{f_ {i}}} (x_ {0}, h)$ , adică raportul incremental în raport cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a componentă a $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ .

Funcții complexe

Același subiect în detaliu: funcția holomorfă .

Este $f:\Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subset \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ $f: \ Omega \ subset {\ mathbb {C}} \ to {\ mathbb {C}}$ o funcție complexă în variabila complexă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Puteți defini raportul incremental în jur $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ și în ceea ce privește creșterea $h\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ $h \ in {\ mathbb {C}} \ setminus \ {0 \}$ numărul (complex):

R_{f}(z_{0},h):={\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}

{\ displaystyle R_ {f} (z_ {0}, h): = {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}}}

{\ displaystyle R_ {f} (z_ {0}, h): = {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}}}

.

Având în vedere izomorfismul dintre spațiu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ Și $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ , acest caz poate fi interpretat ca un caz special al paragrafului următor; cu toate acestea, pentru a defini în mod satisfăcător derivatul, este esențial să adăugați anumite condiții menite să specifice structura complexă a spațiului în cauză, care altfel s-ar pierde; acest lucru se face prin ecuații de coordonate particulare .

Funcțiile mai multor variabile

Este $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ Omega \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}$ o funcție (reală, pentru simplitate) în variabila vectorială $\mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n} \ right)}$ ${\ mathbf {x}} = \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n} \ right)$ . Un raport incremental poate fi definit în jur $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ de-a lungul oricărei direcții identificate de o unitate vectorială $\mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ cdots, v_ {n} \ right)}$ ${\ mathbf {v}} = \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ cdots, v_ {n} \ right)$ (cu $\infty ^{n-1}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {n-1}}$ $\ infty ^ {{n-1}}$ grade de libertate în alegerea direcției ^[3] ). Indicați cu $\mathbf {h} :=t\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}: = t \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf {h}}: = t {\ mathbf {v}}$ creșterea variabilei independente de-a lungul acestei direcții (pentru un fix $t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ $t \ in {\ mathbb {R}} \ setminus \ {0 \}$ ). Apoi definim raportul incremental în jur $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ de-a lungul direcției $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ și relativ la creștere $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ cantitatea (reală):

R_{f}(\mathbf {x_{0}} ,\mathbf {h} )=R_{f}(\mathbf {x_{0}} ,\mathbf {v} ,t):={\frac {f(\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {x_{0}} )}{\|\mathbf {h} \|}}={\frac {f(\mathbf {x_{0}} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x_{0}} )}{t}}

{\ displaystyle R_ {f} (\ mathbf {x_ {0}}, \ mathbf {h}) = R_ {f} (\ mathbf {x_ {0}}, \ mathbf {v}, t): = {\ frac {f (\ mathbf {x_ {0}} + \ mathbf {h}) -f (\ mathbf {x_ {0}})} {\ | \ mathbf {h} \ |}} = {\ frac {f (\ mathbf {x_ {0}} + t \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {x_ {0}})} {t}}}

R_ {f} ({\ mathbf {x_ {0}}}, {\ mathbf {h}}) = R_ {f} ({\ mathbf {x_ {0}}}, {\ mathbf {v}}, t ): = {\ frac {f ({\ mathbf {x_ {0}}} + {\ mathbf {h}}) - f ({\ mathbf {x_ {0}}})} {\ | {\ mathbf { h}} \ |}} = {\ frac {f ({\ mathbf {x_ {0}}} + t {\ mathbf {v}}) - f ({\ mathbf {x_ {0}}})} { t}}

.

Pentru ca acest număr să existe, definiția set de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ conține segmentul $[\mathbf {x_{0}} ,\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} ]$ ${\ displaystyle [\ mathbf {x_ {0}}, \ mathbf {x_ {0}} + \ mathbf {h}]}$ $[{\ mathbf {x_ {0}}}, {\ mathbf {x_ {0}}} + {\ mathbf {h}}]$ . De exemplu, puteți solicita ca colecția $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ a definiției este convexă .

Notă

^ Această interpretare nu este valabilă într-un sens riguros și, în orice caz, există doar pentru derivatele de ordinul întâi; Notarea lui Leibniz pentru derivatele de ordin superior este pur formală. În plus, teoria formelor diferențiale oferă o perspectivă oarecum diferită, mult mai puternică, asupra interpretării „ $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ „de Leibniz.
^ M. Spiegel, Diferențe finite și ecuații de diferență , Schaum, Milano, Etas Libri, 1981.
^ Prin definiția versor, există (numai) constrângerea $\sum v_{i}^{2}=1$ ${\ displaystyle \ sum v_ {i} ^ {2} = 1}$ $\ sum v_ {i} ^ {2} = 1$ .

Elemente conexe

linkuri externe

Raport incremental , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.
Simulator interactiv al raportului incremental în calculul derivatei

Controlul autorității	GND ( DE ) 4149799-5

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Această interpretare nu este valabilă într-un sens riguros și, în orice caz, există doar pentru derivatele de ordinul întâi; Notarea lui Leibniz pentru derivatele de ordin superior este pur formală. În plus, teoria formelor diferențiale oferă o perspectivă oarecum diferită, mult mai puternică, asupra interpretării „ $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ „de Leibniz.

[2] M. Spiegel, Diferențe finite și ecuații de diferență , Schaum, Milano, Etas Libri, 1981.

[3] Prin definiția versor, există (numai) constrângerea $\sum v_{i}^{2}=1$ ${\ displaystyle \ sum v_ {i} ^ {2} = 1}$ $\ sum v_ {i} ^ {2} = 1$ .

[1]

[2]

[3]