Funcție variabilă complexă

Grafic al valorii absolute a funcției complexe Gamma definită pe jumătatea planului Re (z) > 0

În matematică , o funcție variabilă complexă este definită ca o funcție definită pe un subset de numere complexe cu valori în același set. În general, variabila complexă este notată cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , partea sa reală cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și partea sa imaginară cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , astfel încât să puteți scrie $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ .

Descriere

O funcție variabilă complexă $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ corespunde unei legi care se asociază în mod unic la un punct $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a unui subset al planului complex, domeniul funcției, un punct care poate fi considerat a aparține unui subset al unui al doilea plan complex care constituie domeniul funcției. Explicând variabila $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ în cadrul expresiei funcției complexe $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este posibil să se scrie expresia funcției complexe în formă

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

{\ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}

{\ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}

unde funcțiile a două variabile reale $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ele sunt, respectiv, partea reală și partea imaginară a funcției complexe $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ .

Este interesant de observat că în câmpul complex funcțiile trigonometrice pot fi exprimate în funcție de funcția exponențială și funcția logaritmică .

În câmpul fizic , o funcție variabilă complexă poate fi considerată funcția de undă $\Psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ Psi (x, t)}$ $\ Psi (x, t)$ , util în mecanica cuantică și prezent, printre altele, în ecuația Schrödinger . Încă în mecanica cuantică , funcția complexă nu este atât de relevantă $\Psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ Psi (x, t)}$ $\ Psi (x, t)$ , (deoarece, producând numere imaginare, nu poate reprezenta mărimi fizice), dar valoarea sa absolută este relevantă, pătrată $|\Psi (x,t)|^{2}$ ${\ displaystyle | \ Psi (x, t) | ^ {2}}$ $| \ Psi (x, t) | ^ {2}$

Cele mai utile și interesante dintre funcțiile variabile complexe sunt funcțiile holomorfe , adică, conform definiției lui Cauchy , funcțiile dotate cu o primă funcție derivată și cu o primă derivată continuă. Condițiile care garantează diferențialitatea unei funcții a unei variabile complexe se numesc condiții Cauchy-Riemann sau condiții de monogenitate , evident este necesară diferențialitate pentru existența derivatelor parțiale. Dintr-o funcție holomorfă, o funcție analitică este obținută prin intermediul operațiilor de extensie analitică , o entitate care trebuie considerată o funcție multivocă ; în consecință, condițiile de monogenitate sunt numite și condiții de analiticitate .

Printre resursele gratuite de pe Internet , există designeri de funcții complexe și programe gratuite care funcționează off-line.

Pentru studiul funcțiilor complexe, desenarea graficelor tridimensionale poate fi un instrument valid pentru interpretarea vizuală a funcțiilor mai puțin frecvente.

Exemple

Mai jos este o listă a principalelor funcții ale unei variabile complexe , care, de fapt, cu excepția primelor 5, sunt funcții holomorfe.

partea reală : $\Re \ z=x$ ${\ displaystyle \ Re \ z = x}$ $\ Re \ z = x$
parte imaginară : $\Im \ z=y$ ${\ displaystyle \ Im \ z = y}$ $\ Im \ z = y$
complex conjugat : ${\bar {z}}=x-iy$ ${\ displaystyle {\ bar {z}} = x-iy}$ ${\ bar {z}} = x-iy$
argument : ${\mbox{arg}}\ z={\mbox{atan}}{\frac {y}{x}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arg}} \ z = {\ mbox {atan}} {\ frac {y} {x}}}$ ${\ mbox {arg}} \ z = {\ mbox {atan}} {\ frac {y} {x}}$
modul : $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ $| z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}$ $={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}$ ${\ displaystyle = {\ sqrt {z \ cdot {\ bar {z}}}}}$ $= {\ sqrt {z \ cdot {\ bar {z}}}}$
exponențială : $e^{iy}=\cos y+i\sin y{\frac {}{}}$ ${\ displaystyle e ^ {iy} = \ cos y + i \ sin y {\ frac {} {}}}$ $e ^ {{iy}} = \ cos y + i \ sin y {\ frac {} {}}$
logaritmul principal : $\ln z=\ln |z|+i\arg z+i2k\pi \ ~~\forall k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ ln z = \ ln | z | + i \ arg z + i2k \ pi \ ~~ \ forall k \ in \ mathbb {Z}}$ $\ ln z = \ ln | z | + i \ arg z + i2k \ pi \ ~~ \ forall k \ in {\ mathbb {Z}}$
rădăcină : ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left(\cos {\frac {z}{n}}+i\sin {\frac {z}{n}}\right){\frac {}{}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} \ cdot \ left (\ cos {\ frac {z} {n}} + i \ sin {\ frac {z} {n}} \ right) {\ frac {} {}}}$ ${\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} \ cdot \ left (\ cos {\ frac {z} {n}} + i \ sin {\ frac {z} {n}} \ right) {\ frac {} {}}$
san : $\sin z={\frac {1}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})$ ${\ displaystyle \ sin z = {\ frac {1} {2i}} (e ^ {iz} -e ^ {- iz})}$ $\ sin z = {\ frac {1} {2i}} (e ^ {{iz}} - e ^ {{- iz}})$
cosinus : $\cos z={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})$ ${\ displaystyle \ cos z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {iz} + e ^ {- iz})}$ $\ cos z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {{iz}} + e ^ {{- iz}})$
tangentă : $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}$ ${\ displaystyle \ tan z = {\ frac {\ sin z} {\ cos z}}}$ $\ tan z = {\ frac {\ sin z} {\ cos z}}$
cotangent : $\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}$ ${\ displaystyle \ cot z = {\ frac {\ cos z} {\ sin z}}}$ $\ cot z = {\ frac {\ cos z} {\ sin z}}$
secant : $\sec z={\frac {1}{\cos z}}$ ${\ displaystyle \ sec z = {\ frac {1} {\ cos z}}}$ $\ sec z = {\ frac {1} {\ cos z}}$
cosecant : $\csc z={\frac {1}{\sin z}}$ ${\ displaystyle \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}}$ $\ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}$
axila : ${\mbox{arcsin}}z=i\cdot \ln \left(-iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arcsin}} z = i \ cdot \ ln \ left (-iz \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) + 2k \ pi \ k \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ mbox {arcsin}} z = i \ cdot \ ln \ left (-iz \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) + 2k \ pi \ k \ in {\ mathbb {Z }}$
arccosine : ${\mbox{arccos}}z=\mp \ i\cdot \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arccos}} z = \ mp \ i \ cdot \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ right) + 2k \ pi \ k \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ mbox {arccos}} z = \ mp \ i \ cdot \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ right) + 2k \ pi \ k \ in {\ mathbb { Z}}$
arctangent : ${\mbox{arctan}}z={\frac {i}{2}}\ln {\frac {i+z}{i-z}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arctan}} z = {\ frac {i} {2}} \ ln {\ frac {i + z} {iz}}}$ ${\ mbox {arctan}} z = {\ frac {i} {2}} \ ln {\ frac {i + z} {i-z}}$
sinus hiperbolic : $\sinh z={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$ ${\ displaystyle \ sinh z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {z} -e ^ {- z})}$ $\ sinh z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {{z}} - e ^ {{- z}})$
cosinus hiperbolic : $\cosh z={\frac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})$ ${\ displaystyle \ cosh z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {z} + e ^ {- z})}$ $\ cosh z = {\ frac {1} {2}} (e ^ {{z}} + e ^ {{- z}})$
tangenta hiperbolica : $\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}$ ${\ displaystyle \ tanh z = {\ frac {\ sinh z} {\ cosh z}}}$ $\ tanh z = {\ frac {\ sinh z} {\ cosh z}}$
cotangentă hiperbolică : $\coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}$ ${\ displaystyle \ coth z = {\ frac {\ cosh z} {\ sinh z}}}$ $\ coth z = {\ frac {\ cosh z} {\ sinh z}}$
secantă hiperbolică : ${\mbox{sech}}z={\frac {1}{\cosh z}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {sech}} z = {\ frac {1} {\ cosh z}}}$ ${\ mbox {sech}} z = {\ frac {1} {\ cosh z}}$
cosecant hiperbolic : ${\mbox{csch}}z={\frac {1}{\sinh z}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {csch}} z = {\ frac {1} {\ sinh z}}}$ ${\ mbox {csch}} z = {\ frac {1} {\ sinh z}}$
sectorul sinusului hiperbolic : ${\mbox{settsinh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)$ ${\ displaystyle {\ mbox {settsinh}} z = \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} +1}} \ right)}$ ${\ mbox {settsinh}} z = \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} +1}} \ right)$
sectorul cosinusului hiperbolic : ${\mbox{settcosh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$ ${\ displaystyle {\ mbox {settcosh}} z = \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ right)}$ ${\ mbox {settcosh}} z = \ ln \ left (z + {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ right)$
sectorul tangentei hiperbolice : ${\mbox{setttanh}}z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {setttanh}} z = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1 + z} {1-z}}}$ ${\ mbox {setttanh}} z = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1 + z} {1-z}}$

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 26596

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică