Ilustrația definiției în termeni de hiperbolă echilaterală
Putem defini funcții hiperbolice astfel:
Având în vedere o hiperbolă unilaterală echilaterală , deci cu {\ displaystyle a = b = 1} , centrat cu axele pe axele de coordonate și dat un unghi {\ displaystyle \ alpha} , ia în considerare sectorul hiperbolic al deschiderii {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {2}}} și zona {\ displaystyle A} : aceasta determină un punct {\ displaystyle P} ca intersecție cu hiperbola; apoi definim ordonata punctului {\ displaystyle P} ca sinus hiperbolic ( {\ displaystyle \ sinh} ) din zona menționată mai sus {\ displaystyle A} , precum și abscisa relativăca cosinus hiperbolic ( {\ displaystyle \ cosh} ) întotdeauna în zona menționată mai sus {\ displaystyle A} , așa cum se arată în figură (adică {\ displaystyle \ sinh A} Și {\ displaystyle \ cosh A} ).
În consecință, celelalte funcții hiperbolice pot fi definite prin {\ displaystyle \ sinh} Și {\ displaystyle \ cosh} așa cum se face pentru cele trigonometrice. De asemenea, este posibil să le legați de funcția exponențială datorită definiției acesteia din urmă (a se vedea Derivarea funcțiilor hiperbolice ).
În aceste definiții {\ displaystyle x} poate fi considerată o variabilă reală sau complexă .
Grafice ale funcțiilor hiperbolice: sinh , cosh și tanh (argumente reale)
Grafice ale funcțiilor hiperbolice: csch , sech și coth (argumente reale)
Relația cu funcțiile trigonometrice
Pentru {\ displaystyle x} funcție reală {\ displaystyle \ cosh {x}} este o funcție uniformă, adică simetrică față de axă {\ displaystyle y} ; functia {\ displaystyle \ sinh {x}} în schimb, este o funcție ciudată , adică simetrică față de origine.
În consecință, acestea sunt și funcții ciudate {\ displaystyle \ tanh x} ,{\ displaystyle \ operatorname {coth} {x}} Și{\ displaystyle \ operatorname {csch} {x}} , in timp ce{\ displaystyle \ operatorname {sech} {x}} este chiar.
Precum și cu variația variabilei reale {\ displaystyle t} punctele {\ displaystyle \ left (\ cos {t}, \ sin {t} \ right)} definiți circumferința{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1} , la fel și punctele {\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)} ele definesc hiperbola echilaterală {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}
Aceasta este o consecință a identității:
{\ displaystyle \ left (\ cosh {t} \ right) ^ {2} - \ left (\ sinh {t} \ right) ^ {2} = 1,}
derivabil din definiții prin funcții exponențiale cu manipulări algebrice elementare.
Argumentul {\ displaystyle t} a funcțiilor sinus și cosinus care definesc circumferința pot fi interpretate în mod natural ca un unghi ; Acolo {\ displaystyle t} argumentul funcțiilor hiperbolice reprezintă de două ori aria sectorului hiperbolic dintre segmentul care leagă originea de punct {\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)} pe o ramură a hiperbolei echilaterale a ecuației{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1} , arcul acestei hiperbole care se termină în punctul din punct {\ displaystyle \ left (1,0 \ right)} pe axă {\ displaystyle x} iar segmentul de pe axă {\ displaystyle x} de la acest punct până la origine. Cu toate acestea, în realitate, {\ displaystyle t} argument al funcțiilor trigonometrice, dacă {\ displaystyle 0 \ leqslant t \ leqslant \ pi} , precum și ca un unghi exprimat în radiani , poate fi înțeles ca dublul zonei sectorului circular dintre segmentul care leagă originea de punctul {\ displaystyle \ left (\ cos t, \ sin t \ right)} pe circumferința unității ecuației{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1} , arcul acestei circumferințe care din punct se termină în punct {\ displaystyle \ left (1,0 \ right)} pe axă {\ displaystyle x} iar segmentul de pe axă {\ displaystyle x} de la acest punct până la origine.
De fapt, regula lui Osborn [1] specifică faptul că orice identitate trigonometrică poate fi convertită într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă în termeni de puteri întregi de sinusuri și cosinus, transformând fiecare {\ displaystyle \ sin} în {\ displaystyle \ sinh} și fiecare {\ displaystyle \ cos} în {\ displaystyle \ cosh} și în cele din urmă schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs de doi {\ displaystyle \ sinh} . Procedând astfel, de exemplu, găsim teoremele adunării:
{\ displaystyle \ sinh {(x + y)} = \ sinh {(x)} \ cosh {(y)} + \ cosh {(x)} \ sinh {(y)},}
Derivatul lui {\ displaystyle \ sinh {x}} este dat de {\ displaystyle \ cosh {x}} și derivatul lui {\ displaystyle \ cosh {x}} Și {\ displaystyle \ sinh {x}} ; acest link poate fi citit cu ușurință pe graficele funcționale.
Graficul funcției {\ displaystyle \ cosh {x}} este curba catenară , un profil asumat de un cablu de densitate uniformă cu cele două capete fixate și supuse gravitației.
Evoluțiile seriei Taylor
Este posibil să se exprime funcții hiperbolice în termeni de expansiuni Taylor :
Functia {\ displaystyle \ sinh x} are serie Taylor cu doar termeni impari și, prin urmare, sinusul hiperbolic este o funcție ciudată , adică {\ displaystyle - \ sinh (x) = \ sinh (-x)} , Și {\ displaystyle \ sinh 0 = 0.}
Functia {\ displaystyle \ cosh x} în schimb, prezintă doar termeni pari, așa cum se aștepta dintr-o funcție uniformă, simetrică față de axa lui {\ displaystyle y} . Suma sinusului hiperbolic și a cosinusului reprezintă dezvoltarea funcției exponențiale .
{\ displaystyle \ tanh x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}
{\ displaystyle \ coth x = x ^ {- 1} + {\ frac {x} {3}} - {\ frac {x ^ {3}} {45}} + {\ frac {2x ^ {5}} {945}} + \ cdots = x ^ {- 1} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} { (2n)!}}, 0 <\ left | x \ right | <\ pi} ( Seria Laurent )
{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1-x ^ {2}}} =}{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {setttanh} (x) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right | <1 \\\ operatorname {settcoth} (x ) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right |> 1 \ end {matrix}} \ right.}{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ ln \ left | {\ frac {1 + x} {1-x}} \ right | + c }
Funcțiile hiperbolice ale argumentului complex
Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex , putem extinde definiția funcțiilor hiperbolice și la argumentele complexe. Funcții {\ displaystyle \ sinh z} Și {\ displaystyle \ cosh z} sunt, prin urmare, holomorfe pentru orice argument complex și pot fi dezvoltate în seria Taylor .
Relațiile cu funcțiile trigonometrice sunt obținute din formula lui Euler pentru numerele complexe:
{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \; \ sin x}
Numele funcțiilor hiperbolice inverse menționate în acest articol sunt cele oficiale dictate de standardele ISO . [2] Numele lor derivă din abrevieri ale expresiilor latine. De exemplu arsinh derivă din zona sinusului hiperbolic , arcosh derivă din zona cosinus hyperbolicus etc.
Adesea se găsesc și cuvintele arcsinh, arccosh etc. care sunt împrumutate clar din numele funcțiilor trigonometrice inverse. Cu toate acestea, acești termeni sunt incorecți din punct de vedere conceptual, deoarece funcțiile hiperbolice și inversele lor nu au nimic de-a face cu arcurile.
În cele din urmă, în tradiția italiană este obișnuit să se găsească numele settsenh ( sectorul sinusului hiperbolic , cu referire la zona corespunzătoare), settcosh și așa mai departe. Deși corecte din punct de vedere conceptual, aceste nume nu respectă standardele ISO și convențiile internaționale.