Verso

Funcții trigonometrice. Inversul (în verde închis) este indicat pe axa absciselor, lângă cosinus (în roșu). Din figură putem vedea că versul sinusoidal este complementul 1 al cosinusului: de fapt versul sinusoidal împreună cu cosinusul corespund razei circumferinței trigonometrice, care este unitară.

Graficul invers.

În matematică , reversul (din latul sinus versus ), este o funcție goniometrică definită ca:

{\textrm {versin}}\,\theta :=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

{\ displaystyle {\ textrm {versin}} \, \ theta: = 1- \ cos \ theta = 2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}

{\ displaystyle {\ textrm {versin}} \, \ theta: = 1- \ cos \ theta = 2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}

Această funcție și cea a sânului se regăsesc pentru prima dată în tratatul indian „Surya Siddhanta” de astronomie și imediat după aceea în scrierile lui Aryabhata, un matematician indian, care a întocmit un tabel al acestor funcții. Funcția sinusoidală a fost numită „Jua”; când a fost rotit la 90 ° și încă limitat de arc, a devenit „utkramajya” sau „utramadjia” (versat sinus / sinus inversat).

Există și alte funcții conexe, inclusiv:

versul cosinus , definit ca versul unghiului complementar ${\pi \over 2}-\theta$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ theta}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ theta}$

{\textrm {coversin}}\,\theta :={\textrm {versin}}\left({\pi  \over 2}-\theta \right)=1-\sin \theta ;

{\ displaystyle {\ textrm {coversin}} \, \ theta: = {\ textrm {versin}} \ left ({\ pi \ over 2} - \ theta \ right) = 1- \ sin \ theta;}

{\ displaystyle {\ textrm {coversin}} \, \ theta: = {\ textrm {versin}} \ left ({\ pi \ over 2} - \ theta \ right) = 1- \ sin \ theta;}

jumătatea inversă sau jumătatea inversă, adică jumătatea reversului

{\textrm {haversin}}\,\theta :={{\textrm {versin}}\,\theta  \over 2}=\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}};

{\ displaystyle {\ textrm {haversin}} \, \ theta: = {{\ textrm {versin}} \, \ theta \ over 2} = \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} ;}

{\ displaystyle {\ textrm {haversin}} \, \ theta: = {{\ textrm {versin}} \, \ theta \ over 2} = \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} ;}

hemicosenoverso sau semicosenoverso , adică jumătatea inversă a unghiului complementar ${\pi \over 2}-\theta$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ theta}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ theta}$

{\textrm {hacoversin}}\,\theta :={\textrm {emisenoverso}}\left({\pi  \over 2}-\theta \right)={{\textrm {coversin}}\,\theta  \over 2};

{\ displaystyle {\ textrm {hacoversin}} \, \ theta: = {\ textrm {emisenoverso}} \ left ({\ pi \ over 2} - \ theta \ right) = {{\ textrm {coversin}} \, \ theta \ peste 2};}

{\ displaystyle {\ textrm {hacoversin}} \, \ theta: = {\ textrm {emisenoverso}} \ left ({\ pi \ over 2} - \ theta \ right) = {{\ textrm {coversin}} \, \ theta \ peste 2};}

secanta exterioară

\mathrm {exsec} \,\theta :=\sec \theta -1;

{\ displaystyle \ mathrm {exsec} \, \ theta: = \ sec \ theta -1;}

{\ displaystyle \ mathrm {exsec} \, \ theta: = \ sec \ theta -1;}

cosecantul extern

\mathrm {excsc} \,\theta :=\csc \theta -1.

{\ displaystyle \ mathrm {excsc} \, \ theta: = \ csc \ theta -1.}

{\ displaystyle \ mathrm {excsc} \, \ theta: = \ csc \ theta -1.}

Istorie și aplicații

Punct de vedere istoric, reversul a fost considerat unul dintre cele mai importante funcții goniometric , dar are popularitate pierdut în timpurile moderne , datorită disponibilității științifice calculatoare și calculatoare . Cand $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ tinde la zero, $\mathrm {versin} \,\theta$ ${\ displaystyle \ mathrm {versin} \, \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathrm {versin} \, \ theta}$ este diferența dintre două valori aproape egale, pentru care un utilizator al unei tabele trigonometrice care conține doar valorile cosinusului ar avea nevoie de o precizie foarte mare, ceea ce face convenabilă separarea tabelelor cu aceleași valori ale reversului. Chiar și în cazul utilizării computerului, eroarea de rotunjire îl recomandă pentru valori mici de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ utilizarea formulei $2\sin ^{2}{\theta \over 2}$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {2} {\ theta \ over 2}}$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {2} {\ theta \ over 2}}$ in loc de $1-\cos \theta$ ${\ displaystyle 1- \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle 1- \ cos \ theta}$ . Un alt avantaj istoric al inversului este că este întotdeauna non-negativ, astfel încât logaritmul său este definit peste tot, cu excepția valorilor unice unde este zero. Prin urmare, se pot folosi tabelele logaritmilor pentru multiplicările din formulele care implică unele versete.

senoverso (versin) în verde

De fapt, cea mai veche tabelă cu valori ale funcției goniometrice supraviețuitoare, din „siddhantas” din secolul IV-V din India, a fost doar un tabel de valori pentru sinus și invers (în trepte de 3,75 ° de la 0 ° la 90 ° ). Poate că acest lucru este mai puțin surprinzător având în vedere că inversul a apărut ca o etapă intermediară în aplicarea formulei de bisecție $\sin ^{2}{\theta \over 2}={{\textrm {versin}}\,\theta \over 2}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta \ over 2} = {{\ textrm {versin}} \, \ theta \ over 2}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta \ over 2} = {{\ textrm {versin}} \, \ theta \ over 2}}$ , derivat din Ptolemeu, și care a fost folosit pentru a produce astfel de tabele.

Jumătatea inversă a fost, de asemenea, importantă în navigație, așa cum apare în formula pe jumătate inversă, care este utilizată pentru a calcula cu exactitate distanțele pe o sferă dată de poziții unghiulare (de exemplu, longitudine și latitudine). Puteți utiliza partea din spate direct, dar aveți un tabel din partea din spate elimină dificultatea calculării rădăcinilor pătrate pe rădăcini pătrate ^{[ neclar ]} . Termenul emisenoverso a fost aparent inventat în textele de navigare tocmai pentru această aplicație (a se vedea referințele).

În ceea ce privește sânul, etimologia datează de la o traducere incorectă din secolul al XII-lea din sanscrită jiva prin arabă. Pentru a-l contrasta cu sinoverso (sinus versus), funcția sine goniometrică, obișnuită, a fost denumită istoric uneori sinus vertical (sinus rectus). Semnificația acestor termeni este evidentă dacă pentru definițiile lor se analizează funcțiile din contextul original, un cerc unitar, arătat în dreapta. Pentru o frânghie verticală $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ a cercului de rază unitară, sinusul unghiului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ (jumătate din unghiul subtins de arc $LA D. B.$ ${\ displaystyle ADB}$ $ADB$ ) este segmentul $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ (semicorda). Pe de altă parte, versetul din $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este segmentul $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ de la centrul șirului până la centrul arcului. (deci suma de $\cos \theta =OC$ ${\ displaystyle \ cos \ theta = OC}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta = OC}$ Și $\mathrm {versin} \,\theta =CD$ ${\ displaystyle \ mathrm {versin} \, \ theta = CD}$ ${\ displaystyle \ mathrm {versin} \, \ theta = CD}$ este raza $OD=1.$ ${\ displaystyle OD = 1.}$ ${\ displaystyle OD = 1.}$ Reprezentat în acest fel, sânul este vertical (rect), în timp ce partea inversă este inversată pe partea sa (versus); ambele sunt segmente din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ la cerc. Această figură ilustrează, de asemenea, motivul pentru care funcția păcatului-vers a fost uneori numită sagitta, latină pentru săgeată, din utilizarea arabă a „sahen” cu sens egal. Dacă arcul $LA D. B.$ ${\ displaystyle ADB}$ $ADB$ este văzut ca un arc și o coadă $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ la fel ca acordul său, atunci funcția este inversată $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ este clar arborele săgeții.

Mai mult, continuând în interpretarea sinusului ca „vertical” și a inversului ca „orizontal”, sagitta este, de asemenea, un sinonim învechit al absciselor.

O perioada $\left(0<\theta <{\pi \over 2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (0 <\ theta <{\ pi \ over 2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (0 <\ theta <{\ pi \ over 2} \ right)}$ forma de undă a reversului, sau mai frecvent a reversului, este frecvent utilizată în teoria procesării și controlului datelor ca formă de impuls sau fereastră, deoarece, având în vedere partea inversă, trece lin de la zero la unu (continuă în valori și panta) și revine la zero. Pentru aceste aplicații i se dă numele unui filtru de cosinus ridicat.

Senovers de curbe și acorduri arbitrare

Termenul sinovers este de asemenea folosit uneori pentru a descrie abaterile de la rectitudinea curbelor plane arbitrare ale căror cerc este un caz particular. Dat fiind un șir întins de două puncte pe o curbă, măsura distanței $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , pe axa coardei, între coardă și curbă se numește măsură inversă. Pentru o linie dreaptă versul oricărei coarde este zero, deci această măsură caracterizează rectitudinea unei curbe. La limită, ca lungimea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ a coardei tinde la zero, raportul ${D \over L^{2}}$ ${\ displaystyle {D \ peste L ^ {2}}}$ ${D \ peste L ^ 2}$ tinde spre curbură instantanee.

Această utilizare este deosebit de obișnuită în transportul feroviar, unde descrie rectitudinea căilor ferate.

linkuri externe

( RO ) Reverse pe mathworld , pe mathworld.wolfram.com .
( EN ) Emisenoverso pe mathworld , pe mathworld.wolfram.com .
(EN) James B. Calvert, Trigonometrie

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice