Identitate trigonometrică

O identitate trigonometrică este o identitate matematică care implică funcții trigonometrice .

Identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a simplifica multe expresii care conțin funcții trigonometrice (cum ar fi, de exemplu, în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice ) și pentru calculul multor integrale ; uneori, chiar și integralele funcțiilor non-trigonometrice pot fi calculate prin intermediul unor modificări variabile adecvate care utilizează o funcție trigonometrică pentru a duce la simplificări decisive.

Notări : Pentru a indica funcția inversă a sinusului este uneori folosită $\sin ^{-1}(x)$ ${\ displaystyle \ sin ^ {- 1} (x)}$ $\ sin ^ {{- 1}} (x)$ ; aici preferăm să folosim $\arcsin(x)$ ${\ displaystyle \ arcsin (x)}$ $\ arcsin (x)$ si scrie $\csc(x)$ ${\ displaystyle \ csc (x)}$ $\ csc (x)$ pentru a desemna inversul multiplicativ al funcției sinus.

Definiții

Sunt definite următoarele funcții trigonometrice:

\tan(x):={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\qquad \cot(x):={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {1}{\tan(x)}}

{\ displaystyle \ tan (x): = {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \ qquad \ cot (x): = {\ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)}} = {\ frac {1} {\ tan (x)}}}

\ tan (x): = {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \ qquad \ cot (x): = {\ frac {\ cos (x)} {\ sin (x) }} = {\ frac {1} {\ tan (x)}}

\sec(x):={\frac {1}{\cos(x)}}\qquad \csc(x):={\frac {1}{\sin(x)}}

{\ displaystyle \ sec (x): = {\ frac {1} {\ cos (x)}} \ qquad \ csc (x): = {\ frac {1} {\ sin (x)}}}

\ sec (x): = {\ frac {1} {\ cos (x)}} \ qquad \ csc (x): = {\ frac {1} {\ sin (x)}}

Periodicitate, simetrie și traduceri

Aceste formule sunt ușor derivate din definițiile de pe cercul trigonometric .

\sin(x)=\sin(x+2\pi )\qquad \sin(x)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)

{\ displaystyle \ sin (x) = \ sin (x + 2 \ pi) \ qquad \ sin (x) = - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)}

\ sin (x) = \ sin (x + 2 \ pi) \ qquad \ sin (x) = - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)

\cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)

{\ displaystyle \ cos (x) = \ cos (x + 2 \ pi) \ qquad \ cos (x) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)}

\ cos (x) = \ cos (x + 2 \ pi) \ qquad \ cos (x) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)

\tan(x)=\tan(x+\pi )\qquad \tan(x)=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)

{\ displaystyle \ tan (x) = \ tan (x + \ pi) \ qquad \ tan (x) = - \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)}

\ tan (x) = \ tan (x + \ pi) \ qquad \ tan (x) = - \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + x \ right)

\sin(-x)=-\sin(x)\qquad \cos(-x)=\cos(x)

{\ displaystyle \ sin (-x) = - \ sin (x) \ qquad \ cos (-x) = \ cos (x)}

\ sin (-x) = - \ sin (x) \ qquad \ cos (-x) = \ cos (x)

\tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)

{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan (x) \ qquad \ cot (-x) = - \ cot (x)}

\ tan (-x) = - \ tan (x) \ qquad \ cot (-x) = - \ cot (x)

Multe modele fizice se bazează pe faptul că orice combinație liniară de unde sinusoidale cu aceeași perioadă, dar cu faze diferite, este încă o undă sinusoidală din aceeași perioadă, dar cu o nouă fază. Exact:

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi ),

{\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cdot \ sin (x + \ varphi),}

a \ sin x + b \ cos x = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cdot \ sin (x + \ varphi),

unde este

\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\arctan }(b/a),&&{\text{se }}a\geq 0;\\\pi +{\arctan }(b/a),&&{\text{se }}a<0.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ varphi = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ arctan} (b / a), && {\ text {se}} a \ geq 0; \\\ pi + {\ arctan} (b / a), && {\ text {se}} a <0. \ end {matrix}} \ right.}

\ varphi = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ arctan} (b / a), && {\ text {se}} a \ geq 0; \\\ pi + {\ arctan} (b / a) , && {\ text {se}} a <0. \ end {matrix}} \ right.

Consecințele teoremei lui Pitagora

\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}

\ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1

\tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)

{\ displaystyle \ tan ^ {2} (x) + 1 = \ sec ^ {2} (x)}

\ tan ^ {2} (x) + 1 = \ sec ^ {2} (x)

\cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)

{\ displaystyle \ cot ^ {2} (x) + 1 = \ csc ^ {2} (x)}

\ cot ^ {2} (x) + 1 = \ csc ^ {2} (x)

Formule de adunare și scădere

Descoperirea primelor două identități (din care urmează și celelalte) datează de la Ptolemeu ^[1] dar pentru a oferi o dovadă mai rapidă este posibil să se utilizeze formulele lui Euler prin intermediul funcției ${\rm {cis}}$ ${\ displaystyle {\ rm {cis}}}$ ${\ rm {cis}}$ . O dovadă geometrică de identitate pentru $\sin(x+y)$ ${\ displaystyle \ sin (x + y)}$ $\ sin (x + y)$ este dat la sfârșitul acestei intrări.

\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)

{\ displaystyle \ sin (x \ pm y) = \ sin (x) \ cos (y) \ pm \ cos (x) \ sin (y)}

\ sin (x \ pm y) = \ sin (x) \ cos (y) \ pm \ cos (x) \ sin (y)

\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)

{\ displaystyle \ cos (x \ pm y) = \ cos (x) \ cos (y) \ mp \ sin (x) \ sin (y)}

\ cos (x \ pm y) = \ cos (x) \ cos (y) \ mp \ sin (x) \ sin (y)

\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}

{\ displaystyle \ tan (x \ pm y) = {\ frac {\ tan (x) \ pm \ tan (y)} {1 \ mp \ tan (x) \ tan (y)}}}

\ tan (x \ pm y) = {\ frac {\ tan (x) \ pm \ tan (y)} {1 \ mp \ tan (x) \ tan (y)}}

\cot(x\pm y)={\frac {\cot(x)\cot(y)\mp 1}{\cot(y)\pm \cot(x)}}

{\ displaystyle \ cot (x \ pm y) = {\ frac {\ cot (x) \ cot (y) \ mp 1} {\ cot (y) \ pm \ cot (x)}}}

{\ displaystyle \ cot (x \ pm y) = {\ frac {\ cot (x) \ cot (y) \ mp 1} {\ cot (y) \ pm \ cot (x)}}}

{\rm {cis}}(x+y)={\rm {cis}}(x)\,{\rm {cis}}(y)

{\ displaystyle {\ rm {cis}} (x + y) = {\ rm {cis}} (x) \, {\ rm {cis}} (y)}

{{\ rm {cis}}} (x + y) = {{\ rm {cis}}} (x) \, {{\ rm {cis}}} (y)

{\rm {cis}}(x-y)={{\rm {cis}}(x) \over {\rm {cis}}(y)}

{\ displaystyle {\ rm {cis}} (xy) = {{\ rm {cis}} (x) \ over {\ rm {cis}} (y)}}

{{\ rm {cis}}} (x-y) = {{{\ rm {cis}}} (x) \ over {{\ rm {cis}}} (y)}

unde este

{\rm {cis}}(x):=e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).

{\ displaystyle {\ rm {cis}} (x): = e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x).}

{{\ rm {cis}}} (x): = e ^ {{ix}} = \ cos (x) + i \ sin (x).

Formula de duplicare

Același subiect în detaliu: formule de duplicare .

Acestea pot fi obținute prin substituire $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$ în plus, teoreme și folosind teorema lui Pitagora pentru ultimele două. Chiar mai bine să folosiți formula lui De Moivre cu $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ .

\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

{\ displaystyle \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)}

\ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)

\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)

{\ displaystyle \ cos (2x) = \ cos ^ {2} (x) - \ sin ^ {2} (x) = 2 \ cos ^ {2} (x) -1 = 1-2 \ sin ^ {2 } (X)}

\ cos (2x) = \ cos ^ {2} (x) - \ sin ^ {2} (x) = 2 \ cos ^ {2} (x) -1 = 1-2 \ sin ^ {2} (x )

\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}},\quad x\neq {\frac {\pi }{4}}+k{\frac {\pi }{2}},\quad k\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle \ tan (2x) = {\ frac {2 \ tan (x)} {1- \ tan ^ {2} (x)}}, \ quad x \ neq {\ frac {\ pi} {4} } + k {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle \ tan (2x) = {\ frac {2 \ tan (x)} {1- \ tan ^ {2} (x)}}, \ quad x \ neq {\ frac {\ pi} {4} } + k {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}}

\cot(2x)={\frac {\cot ^{2}(x)-1}{2\cot(x)}}

{\ displaystyle \ cot (2x) = {\ frac {\ cot ^ {2} (x) -1} {2 \ cot (x)}}}

\ cot (2x) = {\ frac {\ cot ^ {2} (x) -1} {2 \ cot (x)}}

Formule pentru unghiuri multiple

Dacă denotăm $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ L ' $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -polinomul lui Chebyshev , atunci

\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).

{\ displaystyle \ cos (nx) = T_ {n} (\ cos (x)).}

\ cos (nx) = T_ {n} (\ cos (x)).

Formula De Moivre :

\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}

{\ displaystyle \ cos (nx) + i \ sin (nx) = (\ cos (x) + i \ sin (x)) ^ {n}}

\ cos (nx) + i \ sin (nx) = (\ cos (x) + i \ sin (x)) ^ {n}

Nucleul Dirichlet $D_{n}(x)$ ${\ displaystyle D_ {n} (x)}$ $D_ {n} (x)$ este funcția găsită pe ambele părți ale următoarei identități:

1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.

{\ displaystyle 1 + 2 \ cos (x) +2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}}.}

1 + 2 \ cos (x) +2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}}.

Convoluția fiecărei funcții pătrate însumabile periodice a perioadei $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ cu nucleul Dirichlet coincide cu suma trunchiată a ordinii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din seria lui Fourier.

Formule de reducere a puterii

Din formula de duplicare a cosinusului și formula trigonometrică pitagorică se obține

\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}

{\ displaystyle \ cos ^ {2} (x) = {1+ \ cos (2x) \ over 2}}

\ cos ^ {2} (x) = {1+ \ cos (2x) \ over 2}

\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) = {1- \ cos (2x) \ over 2}}

\ sin ^ {2} (x) = {1- \ cos (2x) \ peste 2}

Formule de bisecție

Prin înlocuire $x \over 2$ ${\ displaystyle x \ over 2}$ ${x \ peste 2}$ in loc de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în formulele de reducere a puterii și de calcul $\cos {x \over 2}$ ${\ displaystyle \ cos {x \ over 2}}$ $\ cos {x \ peste 2}$ Și $\sin {x \over 2}$ ${\ displaystyle \ sin {x \ over 2}}$ $\ sin {x \ peste 2}$ primesti.

\left|\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\right|={\sqrt {\left({\frac {1+\cos(x)}{2}}\right)}}

{\ displaystyle \ left | \ cos \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1+ \ cos (x)} {2} } \ dreapta)}}}

\ left | \ cos \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1+ \ cos (x)} {2}} \ right )}}

\left|\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\right|={\sqrt {\left({\frac {1-\cos(x)}{2}}\right)}}

{\ displaystyle \ left | \ sin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1- \ cos (x)} {2} } \ dreapta)}}}

\ left | \ sin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1- \ cos (x)} {2}} \ right )}}

Din aceste două ultime identități, împărțind al doilea membru la primul membru la membru, obținem:

\left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}

{\ displaystyle \ left | \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {1+ \ cos (x )}}}}

{\ displaystyle \ left | \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {1+ \ cos (x )}}}}

Cu toate acestea, este posibil să veniți cu două expresii pentru $\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right)}$ fără valoarea absolută, care sunt următoarele:

\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (x)} {1+ \ cos (x)}} = {\ frac {1- \ cos (x)} {\ sin (x)}}.}

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (x)} {1+ \ cos (x)}} = {\ frac {1- \ cos (x)} {\ sin (x)}}.}

Demonstrație

Multiplica $\tan {x \over 2}$ ${\ displaystyle \ tan {x \ over 2}}$ $\ tan {x \ peste 2}$ pentru ${\frac {2\cos {x \over 2}}{2\cos {x \over 2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ cos {x \ over 2}} {2 \ cos {x \ over 2}}}}$ ${\ frac {2 \ cos {x \ over 2}} {2 \ cos {x \ over 2}}}$ și înlocuiți ${\frac {\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin {x \ over 2}} {\ cos {x \ over 2}}}}$ ${\ frac {\ sin {x \ over 2}} {\ cos {x \ over 2}}}$ in loc de $\tan {x \over 2}$ ${\ displaystyle \ tan {x \ over 2}}$ $\ tan {x \ peste 2}$ . Numărătorul este $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ , pentru formula de duplicare, iar numitorul este $2\cos ^{2}{x \over 2}-1+1$ ${\ displaystyle 2 \ cos ^ {2} {x \ over 2} -1 + 1}$ $2 \ cos ^ {2} {x \ over 2} -1 + 1$ , care este $1+\cos {x}$ ${\ displaystyle 1+ \ cos {x}}$ $1+ \ cos {x}$ pentru formule de duplicare. A doua expresie, la ultimul membru, se obține cu ușurință din cea anterioară prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu $1-\cos {x}$ ${\ displaystyle 1- \ cos {x}}$ ${\ displaystyle 1- \ cos {x}}$ , după care apare în numitor $1-\cos ^{2}{x}$ ${\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} {x}}$ ${\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} {x}}$ sau $\sin ^{2}{x}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {x}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {x}}$ , deci este suficient să simplificați $\sin {x}$ ${\ displaystyle \ sin {x}}$ ${\ displaystyle \ sin {x}}$ la numărător și numitor.

Loc $t:=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ ${\ displaystyle t: = \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right)}$ $t: = \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right)$ , urmați așa-numitele formule parametrice :

\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}

{\ displaystyle \ sin (x) = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}}

\ sin (x) = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}

,

\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

{\ displaystyle \ cos (x) = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}

\ cos (x) = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}

Și

e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.

{\ displaystyle e ^ {ix} = {\ frac {1 + it} {1-it}}.}

și ^ {{ix}} = {\ frac {1 + it} {1-it}}.

Înlocuirea $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ pentru $\tan {x \over 2}$ ${\ displaystyle \ tan {x \ over 2}}$ $\ tan {x \ peste 2}$ , rezultând în schimbarea $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ cu $2t \over {1+t^{2}}$ ${\ displaystyle 2t \ over {1 + t ^ {2}}}$ ${2t \ peste {1 + t ^ {2}}}$ și de $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ cu $1-t^{2} \over {1+t^{2}}$ ${\ displaystyle 1-t ^ {2} \ peste {1 + t ^ {2}}}$ ${1-t ^ {2} \ peste {1 + t ^ {2}}}$ este adesea capabil să convertească funcțiile raționale în $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ Și $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ să fie integrat în funcțiile de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ integrabil (vezi și următorul „punct de vedere abstract”).

Produse exprimate în sume

Aceste formule pot fi dovedite dezvoltându-și partea dreaptă și simplificând cu formule de adăugare. Se mai numesc și formule Werner .

\cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}

{\ displaystyle \ cos (x) \ cos (y) = {\ cos (x + y) + \ cos (xy) \ over 2}}

\ cos (x) \ cos (y) = {\ cos (x + y) + \ cos (x-y) \ peste 2}

\sin(x)\sin(y)={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}

{\ displaystyle \ sin (x) \ sin (y) = {\ cos (xy) - \ cos (x + y) \ over 2}}

\ sin (x) \ sin (y) = {\ cos (x-y) - \ cos (x + y) \ peste 2}

\sin(x)\cos(y)={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}

{\ displaystyle \ sin (x) \ cos (y) = {\ sin (x + y) + \ sin (xy) \ over 2}}

\ sin (x) \ cos (y) = {\ sin (x + y) + \ sin (x-y) \ peste 2}

Sume exprimate prin produse

Doar înlocuiți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $x+y \over 2$ ${\ displaystyle x + y \ peste 2}$ ${x + y \ peste 2}$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ cu $x-y \over 2$ ${\ displaystyle xy \ over 2}$ ${x-y \ peste 2}$ în expresiile produselor prin intermediul sumelor. Ele sunt, de asemenea, numite formule de prostoafereză .

\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)

{\ displaystyle \ sin (x) + \ sin (y) = 2 \ sin \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {xy} {2} } \ dreapta)}

\ sin (x) + \ sin (y) = 2 \ sin \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {xy} {2}} \ right )

\sin(x)-\sin(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)

{\ displaystyle \ sin (x) - \ sin (y) = 2 \ cos \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {xy} {2} } \ dreapta)}

\ sin (x) - \ sin (y) = 2 \ cos \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {xy} {2}} \ right )

\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)

{\ displaystyle \ cos (x) + \ cos (y) = 2 \ cos \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {xy} {2} } \ dreapta)}

\ cos (x) + \ cos (y) = 2 \ cos \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {xy} {2}} \ right )

\cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)

{\ displaystyle \ cos (x) - \ cos (y) = - 2 \ sin \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ dreapta)}

\ cos (x) - \ cos (y) = - 2 \ sin \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {xy} {2}} \ dreapta)

Funcții trigonometrice inverse

\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2

{\ displaystyle \ arcsin (x) + \ arccos (x) = \ pi / 2}

\ arcsin (x) + \ arccos (x) = \ pi / 2

\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2

{\ displaystyle \ arctan (x) + \ operatorname {arccot} (x) = \ pi / 2}

\ arctan (x) + \ operatorname {arccot} (x) = \ pi / 2

\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\text{se }}x>0\\-\pi /2,&{\text{se }}x<0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ arctan (x) + \ arctan (1 / x) = \ left \ {{\ begin {matrix} \ pi / 2, & {\ text {se}} x> 0 \\ - \ pi / 2 , & {\ text {se}} x <0 \ end {matrix}} \ right.}

\ arctan (x) + \ arctan (1 / x) = \ left \ {{\ begin {matrix} \ pi / 2, & {\ text {se}} x> 0 \\ - \ pi / 2, & { \ text {se}} x <0 \ end {matrix}} \ right.

\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)(xy<1)

{\ displaystyle \ arctan (x) + \ arctan (y) = \ arctan \ left ({\ frac {x + y} {1-xy}} \ right) (xy <1)}

\ arctan (x) + \ arctan (y) = \ arctan \ left ({\ frac {x + y} {1-xy}} \ right) (xy <1)

\sin ^{2}(\arccos(x))=1-x^{2},{\text{ per }}-1\leq x\leq 1

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ arccos (x)) = 1-x ^ {2}, {\ text {per}} - 1 \ leq x \ leq 1}

\ sin ^ {2} (\ arccos (x)) = 1-x ^ {2}, {\ text {per}} - 1 \ leq x \ leq 1

\cos ^{2}(\arcsin(x))=1-x^{2},{\text{ per }}-1\leq x\leq 1

{\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ arcsin (x)) = 1-x ^ {2}, {\ text {per}} - 1 \ leq x \ leq 1}

\ cos ^ {2} (\ arcsin (x)) = 1-x ^ {2}, {\ text {per}} - 1 \ leq x \ leq 1

\sin ^{2}(\arctan(x))={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ arctan (x)) = {\ frac {x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}

\ sin ^ {2} (\ arctan (x)) = {\ frac {x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}

\cos ^{2}(\arctan(x))={\frac {1}{1+x^{2}}}

{\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ arctan (x)) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

\ cos ^ {2} (\ arctan (x)) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}

Funcția Gudermanniană

Funcția Gudermanniană este definită după cum urmează:

{\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi  \over 2}.

{\ displaystyle {\ rm {gd}} (x) = 2 \ arctan e ^ {x} - {\ pi \ over 2}.}

{{\ rm {gd}}} (x) = 2 \ arctan e ^ {x} - {\ pi \ over 2}.

Această funcție stabilește o legătură între funcțiile trigonometrice și funcțiile hiperbolice fără a recurge la numere complexe (a se vedea intrarea aferentă pentru detalii).

Identitate pentru unghiuri constante

Următoarea identitate curioasă a fost aflată de Richard Feynman când era tânăr:

\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=1/8.

{\ displaystyle \ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = 1/8.}

\ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = 1/8.

Acesta este un caz special al următoarei identități în care apare o variabilă:

\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.

{\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ sin (x)}}.}

\ prod _ {{j = 0}} ^ {{k-1}} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ sin (x)}}.

Alte identități fără variabile:

\cos 12^{\circ }\cdot \cos 24^{\circ }\cdot \cos 36^{\circ }\cdot \cos 48^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }\cdot \cos 72^{\circ }\cdot \cos 84^{\circ }=1/128.

{\ displaystyle \ cos 12 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 24 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 36 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 48 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ } \ cdot \ cos 72 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 84 ^ {\ circ} = 1/128.}

\ cos 12 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 24 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 36 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 48 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 72 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 84 ^ {\ circ} = 1/128.

\cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=1/2.

{\ displaystyle \ cos 36 ^ {\ circ} + \ cos 108 ^ {\ circ} = 1/2.}

\ cos 36 ^ {\ circ} + \ cos 108 ^ {\ circ} = 1/2.

\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=1/2.

{\ displaystyle \ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = 1/2.}

\ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = 1/2.

Măsurarea unghiurilor în grade este mai puțin avantajoasă decât măsurarea în radiani pentru unul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $21$ ${\ displaystyle 21}$ $21$ în numitor:

\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)=1/2.

{\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (2 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (4 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (5 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (8 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (10 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) = 1/2.}

\ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (2 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left ( 4 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (5 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (8 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) + \ cos \ left (10 \ cdot {\ frac {2 \ pi} {21}} \ right) = 1/2.

Factorii $1,2,4,5,8,10$ ${\ displaystyle 1,2,4,5,8,10}$ $1,2,4,5,8,10$ duce la gândirea la numere întregi mai mici decât $21 \over 2$ ${\ displaystyle 21 \ peste 2}$ ${21 \ peste 2}$ mai întâi cu $21$ ${\ displaystyle 21}$ $21$ . Ultimele exemple sunt consecințele unui rezultat de bază asupra polinoamelor ciclotomice ireductibile: cosinusii sunt părțile reale ale rădăcinilor acestor polinoame; suma zerourilor dă valoarea funcției Möbius evaluată în $21$ ${\ displaystyle 21}$ $21$ ; doar jumătate din rădăcini sunt prezentate în raportul anterior. Cele două identități care o preced pe acestea din urmă apar în același mod în raport cu cazurile $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ Și $15$ ${\ displaystyle 15}$ $15$ , respectiv.

Următoarea identitate fără variabile poate fi utilizată pentru a calcula $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ eficient:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}},}

{\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}},

sau folosind formula lui Euler:

{\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}.

{\ displaystyle {\ pi} = 20 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 8 \ arctan {\ frac {3} {79}}.}

{\ pi} = 20 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 8 \ arctan {\ frac {3} {79}}.

Calcul infinitesimal

În calcul este esențial ca argumentele funcțiilor trigonometrice să fie măsurate în radiani ; dacă sunt măsurate în grade sau alte unități, atunci relațiile de mai jos sunt false. Plecând de la definițiile geometrice ale funcțiilor trigonometrice, derivatele lor se obțin după stabilirea următoarelor două limite.

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1,}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1,

(apare prin observarea cercului trigonometric și a teoremei comparației ). Observăm că, dacă am folosi regula de L'Hôpital pentru a stabili această limită, am crea un cerc vicios la nivel logic, deoarece din această limită obținem derivatele de sinus și cosinus necesare pentru a aplica regula menționată mai sus.

\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} = 0.}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} = 0.

(Apare utilizând identitatea $\tan(x/2)=(1-\cos x)/\sin x$ ${\ displaystyle \ tan (x / 2) = (1- \ cos x) / \ sin x}$ $\ tan (x / 2) = (1- \ cos x) / \ sin x$ .)

După stabilirea acestor două limite, se stabilește că $\sin '=\cos$ ${\ displaystyle \ sin '= \ cos}$ $\ sin '= \ cos$ Și $\cos '=-\sin$ ${\ displaystyle \ cos '= - \ sin}$ $\ cos '= - \ sin$ . urmărind derivarea la definiția sa ca limită a raportului incremental.

Dacă funcțiile sinus și cosinus sunt definite de seria lor Taylor , derivatele lor pot fi obținute prin derivarea seriei de putere de la un termen la altul.

{d \over dx}\sin(x)=\cos(x).

{\ displaystyle {d \ over dx} \ sin (x) = \ cos (x).}

{d \ over dx} \ sin (x) = \ cos (x).

Derivatele celorlalte funcții trigonometrice sunt derivate din cele anterioare cu regulile de derivare . Prin urmare, avem:

{d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \ cos (x) = - \ sin (x)}

{d \ over dx} \ cos (x) = - \ sin (x)

{d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \ tan (x) = \ sec ^ {2} (x)}

{d \ over dx} \ tan (x) = \ sec ^ {2} (x)

{d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \ cot (x) = - \ csc ^ {2} (x)}

{d \ over dx} \ cot (x) = - \ csc ^ {2} (x)

{d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}

{d \ peste dx} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)

{d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \ csc (x) = - \ csc (x) \ cot (x)}

{d \ over dx} \ csc (x) = - \ csc (x) \ cot (x)

{d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

{\ displaystyle {d \ over dx} \ arcsin (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

{d \ over dx} \ arcsin (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

{d \over dx}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

{\ displaystyle {d \ over dx} \ arccos (x) = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

{d \ over dx} \ arccos (x) = - {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

{d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

{\ displaystyle {d \ over dx} \ arctan (x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

{d \ over dx} \ arctan (x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}

Identitățile integrale pot fi găsite în tabelele integrale .

Dovezi folosind o ecuație diferențială

Luați în considerare ecuația diferențială:

y''+y=0

{\ displaystyle y '' + y = 0}

y '' + y = 0

Folosind formula lui Euler și metoda de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare , împreună cu teorema unicității și teorema existenței putem defini sinusul și cosinusul în următoarele moduri

$\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ este singura soluție a ecuației

y''+y=0

{\ displaystyle y '' + y = 0}

y '' + y = 0

sub rezerva condițiilor inițiale

y(0)=1

{\ displaystyle y (0) = 1}

y (0) = 1

Și

y'(0)=0

{\ displaystyle y '(0) = 0}

y '(0) = 0

$\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ este singura soluție a ecuației

y''+y=0

{\ displaystyle y '' + y = 0}

y '' + y = 0

în condițiile inițiale

y(0)=0

{\ displaystyle y (0) = 0}

y (0) = 0

Și

y'(0)=1

{\ displaystyle y '(0) = 1}

y '(0) = 1

Dovedim asta

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}

{\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)

Vă prezentăm $T(x):=\sin '(x)$ ${\ displaystyle T (x): = \ sin '(x)}$ $T (x): = \ sin '(x)$ și găsim derivatele sale prima și a doua:

T'(x)=\sin ''(x)

{\ displaystyle T '(x) = \ sin' '(x)}

T '(x) = \ sin' '(x)

asa de

\sin(x)

{\ displaystyle \ sin (x)}

\ sin (x)

este o soluție de

y''+y=0

{\ displaystyle y '' + y = 0}

y '' + y = 0

putem spune că

\sin ''(x)+\sin(x)=0

{\ displaystyle \ sin '' (x) + \ sin (x) = 0}

\ sin '' (x) + \ sin (x) = 0

; prin urmare

\sin ''(x)=-\sin(x)

{\ displaystyle \ sin '' (x) = - \ sin (x)}

\ sin '' (x) = - \ sin (x)

Prin urmare

T'(x)=-\sin(x)

{\ displaystyle T '(x) = - \ sin (x)}

T '(x) = - \ sin (x)

T''(x)=-\sin '(x)=-T(x).

{\ displaystyle T '' (x) = - \ sin '(x) = - T (x).}

T '' (x) = - \ sin '(x) = - T (x).

Deci putem spune asta

T''(x)+T(x)=0.

{\ displaystyle T '' (x) + T (x) = 0.}

T "(x) + T (x) = 0.

Încă folosim tehnicile de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare și formula lui Euler soluția $T''(x)+T(x)=0$ ${\ displaystyle T '' (x) + T (x) = 0}$ $T "(x) + T (x) = 0$ trebuie să fie o combinație liniară de $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ Și $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ , asa de

T(x)=A\sin(x)+B\cos(x).

{\ displaystyle T (x) = A \ sin (x) + B \ cos (x).}

T (x) = A \ sin (x) + B \ cos (x).

Este situat $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ plasarea în locul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$

T(0)=0+B.

{\ displaystyle T (0) = 0 + B.}

T (0) = 0 + B.

Pentru condițiile inițiale $T(0)=\sin '(0)=1$ ${\ displaystyle T (0) = \ sin '(0) = 1}$ $T (0) = \ sin '(0) = 1$ , asa de

B=1.

{\ displaystyle B = 1.}

B = 1.

Rezolvarea pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ avem derivatul lui $T(x)$ ${\ displaystyle T (x)}$ $T (x)$ și plasarea în locul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$

T'(x)=A\sin '(x)+B\cos '(x)

{\ displaystyle T '(x) = A \ sin' (x) + B \ cos '(x)}

T '(x) = A \ sin' (x) + B \ cos '(x)

T'(0)=A\sin '(0)+B\cos '(0)

{\ displaystyle T '(0) = A \ sin' (0) + B \ cos '(0)}

T '(0) = A \ sin' (0) + B \ cos '(0)

Folosind condițiile inițiale și având în vedere că $T'(x)=-\sin(x)$ ${\ displaystyle T '(x) = - \ sin (x)}$ $T '(x) = - \ sin (x)$

-\sin(0)=A\cdot 1+B\cdot 0,

{\ displaystyle - \ sin (0) = A \ cdot 1 + B \ cdot 0,}

- \ sin (0) = A \ cdot 1 + B \ cdot 0,

A=0.

{\ displaystyle A = 0.}

A = 0.

Prin înlocuire $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în ecuația inițială a $T(x)$ ${\ displaystyle T (x)}$ $T (x)$ avem

T(x)=\cos(x),

{\ displaystyle T (x) = \ cos (x),}

T (x) = \ cos (x),

dar de atunci $T(x)$ ${\ displaystyle T (x)}$ $T (x)$ este definit ca $\sin '(x)$ ${\ displaystyle \ sin '(x)}$ $\ sin '(x)$ avem

\sin '(x)=\cos(x)

{\ displaystyle \ sin '(x) = \ cos (x)}

\ sin '(x) = \ cos (x)

sau

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x).}

{\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x).

Folosind aceste definiții ale sinusului și cosinusului, toate celelalte proprietăți ale sinusului și cosinusului pot fi testate folosind aceleași tehnici.

Dovezi geometrice

Formula de adăugare a sânilor

Așa cum se arată în figură, segmentul este construit $D. G.$ ${\ displaystyle DG}$ $DG$ perpendicular pe $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ iar segmentul $C. ȘI$ ${\ displaystyle CE}$ $EXISTĂ$ paralel cu $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .
$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ = Unghi $B. LA C.$ ${\ displaystyle BAC}$ $BAC$ = Unghi $LA C. ȘI$ ${\ displaystyle ACE}$ $AS$ = Unghi $C. D. ȘI$ ${\ displaystyle CDE}$ $CDE$ .
$ȘI G.$ ${\ displaystyle EG}$ $DE EXEMPLU$ = $B. C.$ ${\ displaystyle BC}$ $Î.Hr.$ .

Atunci

${\begin{aligned}\sin(x+y)&={\frac {DG}{AD}}={\frac {EG+DE}{AD}}={\frac {BC+DE}{AD}}={\frac {BC}{AD}}+{\frac {DE}{AD}}={\frac {BC}{AD}}\cdot {\frac {AC}{AC}}+{\frac {DE}{AD}}\cdot {\frac {CD}{CD}}\\&={\frac {BC}{AC}}\cdot {\frac {AC}{AD}}+{\frac {DE}{CD}}\cdot {\frac {CD}{AD}}={\frac {BC}{AC}}\cdot {\frac {AC}{AD}}+{\frac {AB}{AC}}\cdot {\frac {CD}{AD}}\\&=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y).\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (x + y) & = {\ frac {DG} {AD}} = {\ frac {EG + DE} {AD}} = {\ frac {BC + DE} {AD}} = {\ frac {BC} {AD}} + {\ frac {DE} {AD}} = {\ frac {BC} {AD}} \ cdot {\ frac {AC} {AC}} + {\ frac {DE} {AD}} \ cdot {\ frac {CD} {CD}} \\ & = {\ frac {BC} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} + { \ frac {DE} {CD}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} = {\ frac {BC} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} + {\ frac {AB } {AC}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} \\ & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y). \ End {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (x + y) & = {\ frac {DG} {AD}} = {\ frac {EG + DE} {AD}} = {\ frac {BC + DE} {AD}} = {\ frac {BC} {AD}} + {\ frac {DE} {AD}} = {\ frac {BC} {AD}} \ cdot {\ frac {AC} {AC}} + {\ frac {DE} {AD}} \ cdot {\ frac {CD} {CD}} \\ & = {\ frac {BC} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} + { \ frac {DE} {CD}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} = {\ frac {BC} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} + {\ frac {AB } {AC}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} \\ & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y). \ End {align}}}$

Formula de adăugare a cosinusului

Privind figura anterioară:
${\begin{aligned}\cos(x+y)&={\frac {AG}{AD}}={\frac {AB-GB}{AD}}={\frac {AB-EC}{AD}}={\frac {AB}{AD}}-{\frac {EC}{AD}}\\&={\frac {AB}{AD}}\cdot {\frac {AC}{AC}}-{\frac {EC}{AD}}\cdot {\frac {CD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}\cdot {\frac {AC}{AD}}-{\frac {EC}{CD}}\cdot {\frac {CD}{AD}}\\&=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos (x + y) & = {\ frac {AG} {AD}} = {\ frac {AB-GB} {AD}} = {\ frac {AB-EC} {AD}} = {\ frac {AB} {AD}} - {\ frac {EC} {AD}} \\ & = {\ frac {AB} {AD}} \ cdot {\ frac {AC} {AC }} - {\ frac {EC} {AD}} \ cdot {\ frac {CD} {CD}} = {\ frac {AB} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} - { \ frac {EC} {CD}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} \\ & = \ cos (x) \ cos (y) - \ sin (x) \ sin (y). \ end { aliniat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos (x + y) & = {\ frac {AG} {AD}} = {\ frac {AB-GB} {AD}} = {\ frac {AB-EC} {AD}} = {\ frac {AB} {AD}} - {\ frac {EC} {AD}} \\ & = {\ frac {AB} {AD}} \ cdot {\ frac {AC} {AC }} - {\ frac {EC} {AD}} \ cdot {\ frac {CD} {CD}} = {\ frac {AB} {AC}} \ cdot {\ frac {AC} {AD}} - { \ frac {EC} {CD}} \ cdot {\ frac {CD} {AD}} \\ & = \ cos (x) \ cos (y) - \ sin (x) \ sin (y). \ end { aliniat}}}$

Puncte de vedere abstracte

Deoarece circumferința este o curbă de gen algebrică , este de așteptat ca funcțiile circulare să poată fi reduse la funcții raționale . Într-adevăr, se știe în mod clasic că prin utilizarea sistematică a formulelor de bisecție pentru tangentă este posibil să se exprime funcțiile sinus și cosinus în termenii unei noi variabile $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Notă

^ [1]

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu identități trigonometrice

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] [1]

[1]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice