Secant (trigonometrie)

Graficul funcției secante

În matematică , secanta unui unghi este o funcție trigonometrică definită ca reciprocă a cosinusului aceluiași unghi, adică: ^[1]

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.

{\ displaystyle \ sec \ alpha = {\ frac {1} {\ cos \ alpha}}.}

\ sec \ alpha = \ frac {1} {\ cos \ alpha}.

Definiție geometrică

Fig. 1 - Geometric, secanta poate fi văzută și ca ipotenuză a triunghiului dreptunghiular având ca catete raza circumferinței unității și tangenta unghiului

Dat fiind un cerc de unitate de centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , colțul din centru $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ astfel încât $\theta \not ={\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ theta \ not = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ theta \ not = \ frac {\ pi} {2} + k \ pi$ , cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ , identifică un punct în acest sens $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Linia tangentă la circumferința de la $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ intersectează axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sens $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ; este definit ca secant al $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ abscisa punctului $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel definit (vezi Fig. 2).

Într - un triunghi dreptunghic, secantă unuia dintre cele două acute unghiuri corespunde cu raportul dintre ipotenuza și adiacente cateta ^[2] : din această afirmație reiese că corespunde secante la ipotenuza din dreapta - triunghi înclinat având ca catete raza circumferinței unității și tangenta aceluiași unghi (vezi Fig. 1); din aceasta, pentru teorema lui Pitagora , obținem formulele:

\sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta ,

{\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta = 1 + \ tan ^ {2} \ theta,}

\ sec ^ 2 \ theta = 1 + \ tan ^ 2 \ theta,

\sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }},

{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}},}

\ sec \ theta = \ sqrt {1 + \ tan ^ 2 \ theta},

oricum deductibilă din definiția secantului. ^[3]

Demonstrație

Fig. 2 - Relația dintre secant, secant extern, cosecant și cosecant extern

Dovedim asta $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$ ${\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}$ $\ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}$ .

Triunghiul ${\overset {\vartriangle }{AOG}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ vartriangle} {AOG}}}$ $\ overset {\ vartriangle} {AOG}$ este similar cu triunghiul ${\overset {\vartriangle }{COB}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ vartriangle} {COB}}}$ $\ overset {\ vartriangle} {COB}$ (vezi fig. 1).

Pentru teorema lui Thales, proporția deține:

{OC \over OB}={OG \over OA}

{\ displaystyle {OC \ over OB} = {OG \ over OA}}

{OC \ over OB} = {OG \ over OA}

Acum

OB=\cos \theta ,

{\ displaystyle OB = \ cos \ theta,}

OB = \ cos \ theta,

OC=1,

{\ displaystyle OC = 1,}

OC = 1,

OG=\sec \theta ,

{\ displaystyle OG = \ sec \ theta,}

OG = \ sec \ theta,

OA=1.

{\ displaystyle OA = 1.}

OA = 1.

Prin urmare:

{\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sec \theta }{1}},

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos \ theta}} = {\ frac {\ sec \ theta} {1}},}

\ frac {1} {\ cos \ theta} = \ frac {\ sec \ theta} {1},

de la care

\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}.

{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}.}

\ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}.

Valori remarcabile

Un tabel al unor valori notabile poate fi obținut cu ușurință, reținând acest lucru $\sec x={1 \over \cos x}$ ${\ displaystyle \ sec x = {1 \ over \ cos x}}$ $\ sec x = {1 \ over \ cos x}$ : ^[4]

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în radiani	0	${\frac {\pi }{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}$ ${\ frac {\ pi} {6}}$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ frac {\ pi} {4}}$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ frac {\ pi} {3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}$ ${\ frac {3 \ pi} {2}}$	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$
$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în grade	0 °	15 °	30 °	45 °	60 °	75 °	90 °	180 °	270 °	360 °
$\sec(x)$ ${\ displaystyle \ sec (x)}$ ${\ displaystyle \ sec (x)}$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}}}$	${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$	$2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}}$	$\nexists$ ${\ displaystyle \ nexists}$ $\ nexists$	$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$	$\nexists$ ${\ displaystyle \ nexists}$ $\ nexists$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$

Derivate

Prima derivată a secantei și derivatele sale ulterioare sunt obținute prin amintirea definiției sale și aplicarea regulii de derivare a unui coeficient ^[5] :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sec x = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {1 } {\ cos x}} = {\ frac {\ sin x} {\ cos ^ {2} x}} = \ sec x \ cdot \ tan x.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sec x = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {1 } {\ cos x}} = {\ frac {\ sin x} {\ cos ^ {2} x}} = \ sec x \ cdot \ tan x.}

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ sec x = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ tan x} {\ cos x}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ sin x} {\ cos ^ { 2} x}} = {\ frac {1+ \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {3} x}} = \ sec ^ {3} x \ left (1+ \ sin ^ {2} x \ dreapta).}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ sec x = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ tan x} {\ cos x}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ sin x} {\ cos ^ { 2} x}} = {\ frac {1+ \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {3} x}} = \ sec ^ {3} x \ left (1+ \ sin ^ {2} x \ dreapta).}

Relație trigonometrică secant- cosecantă

Consecința primei relații fundamentale a trigonometriei $(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)$ ${\ displaystyle (\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x = 1)}$ $(\ cos ^ 2x + \ sin ^ 2 x = 1)$ este următorul:

\mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x

{\ displaystyle \ mathrm {cosec} ^ {2} x + \ sec ^ {2} x = \ mathrm {cosec} ^ {2} x \ cdot \ sec ^ {2} x}

\ mathrm {cosec} ^ {2} x + \ sec ^ {2} x = \ mathrm {cosec} ^ {2} x \ cdot \ sec ^ {2} x

pentru fiecare $x\neq k{\pi \over 2}$ ${\ displaystyle x \ neq k {\ pi \ over 2}}$ $x \ neq k {\ pi \ over 2}$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ Z$ .

Relația se obține cu ușurință prin împărțirea relației fundamentale la $\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} x \ cdot \ cos ^ {2} x}$ $\ sin ^ 2x \ cdot \ cos ^ 2x$ .

Notă

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, New Course of Trigonometry , Ghisetti and Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 . p.182
^ $\sec ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=1+\tan ^{2}\theta$ ${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$ $\ sec ^ 2 \ theta = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ frac {\ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ frac { \ cos ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} + \ frac {\ sin ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = 1 + \ tan ^ 2 \ theta$
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p. V17

Bibliografie

Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, New Course of Trigonometry , Ghisetti and Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 .
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe secant

linkuri externe

( EN ) Secante , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182

[2] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, New Course of Trigonometry , Ghisetti and Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 . p.182

[3] $\sec ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=1+\tan ^{2}\theta$ ${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$ $\ sec ^ 2 \ theta = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ frac {\ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ frac { \ cos ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} + \ frac {\ sin ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = 1 + \ tan ^ 2 \ theta$

[4] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182

[5] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p. V17

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Rope Teorema · sani Teorema · cosinus teorema · drept de tangentele · cotangents Teorema · Pitagora · Formulele Prosthaphaeresis · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice