Teorema sinusului

Un triunghi generic cu notații comune

În trigonometrie , teorema sinusului (cunoscută și sub numele de teorema lui Euler ) exprimă o relație de proporționalitate directă între lungimile laturilor unui triunghi și sinusurile respectivelor unghiuri opuse.

Luați în considerare triunghiul generic ABC reprezentat în figura laterală, în care unghiurile sunt indicate prin litere minuscule grecești și laturile opuse colțurilor prin literele latine minuscule corespunzătoare.

a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B

{\ displaystyle a = {\ overline {BC}}, ~~ \ alpha = C {\ hat {A}} B}

a = \ overline {BC}, ~~ \ alpha = C \ hat AB

b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C

{\ displaystyle b = {\ overline {AC}}, ~~ \ beta = A {\ hat {B}} C}

b = \ overline {AC}, ~~ \ beta = A \ hat BC

c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A

{\ displaystyle c = {\ overline {AB}}, ~~ \ gamma = B {\ hat {C}} A}

c = \ overline {AB}, ~~ \ gamma = B \ hat CA

Prin urmare, se aplică

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc } {2S}} = 2R}

\ frac a {\ sin \ alpha} = \ frac b {\ sin \ beta} = \ frac c {\ sin \ gamma} = \ frac {abc} {2S} = 2R

unde R este raza cercului circumscris de triunghiul ABC e

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}

{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}}

S = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}

este aria triunghiului obținut din jumătatea perimetrului p grație formulei lui Heron .

Relația de proporționalitate este uneori formulată astfel:

a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma

{\ displaystyle a: b: c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma}

a: b: c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma

.

Aplicații

Rezolvarea unui triunghi cu teorema sinusului

Teorema poate fi utilizată

pentru a determina raza cercului circumscris:

R={\frac {a}{2\,\sin \alpha }}

{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \, \ sin \ alpha}}}

R = \ frac a {2 \, \ sin \ alpha}

pentru rezoluția unui triunghi dat un unghi, o latură adiacentă unghiului și partea opusă (a se vedea figura din lateral):

\alpha =\mathrm {arcsen} \,{\frac {a\,\sin \beta }{b}}

{\ displaystyle \ alpha = \ mathrm {arcsen} \, {\ frac {a \, \ sin \ beta} {b}}}

\ alpha = \ mathrm {arcsen} \, \ frac {a \, \ sin \ beta} b

.

Generalizare la geometrii neeuclidiene

Același subiect în detaliu: geometrii neeuclidiene .

Triunghi sferic: dimensiuni reduse a , b și c ; unghiurile α , β și γ

Pentru o suprafață neeuclidiană cu curbură K , raza de curbură ρ este

\rho =1/{\sqrt {|K|}}

{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}}}

\ rho = 1 / \ sqrt {| K |}

.

Dimensiunile reduse ale triunghiului sunt apoi definite:

a={\overline {BC}}/\rho

{\ displaystyle a = {\ overline {BC}} / \ rho}

a = \ overline {BC} / \ rho

,

b={\overline {AC}}/\rho

{\ displaystyle b = {\ overline {AC}} / \ rho}

b = \ overline {AC} / \ rho

,

c={\overline {AB}}/\rho

{\ displaystyle c = {\ overline {AB}} / \ rho}

c = \ overline {AB} / \ rho

.

În cazul unui triunghi sferic , a , b și c corespund măsurătorilor unghiulare ale segmentelor arcurilor mari [ BC ], [ AC ] și [ AB ] (vezi figura).

Geometria sferică

Într-un triunghi sferic ABC desenat pe sferă cu centrul O și raza ρ , teorema sinusului este exprimată prin

{\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}={\frac {6V_{OABC}}{\rho ^{3}\,\sin a\ \sin b\ \sin c}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {6V_ {OABC}} {\ rho ^ {3} \, \ sin a \ \ sin b \ \ sin c}}}

\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha} = \ frac {\ sin b} {\ sin \ beta} = \ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma} = \ frac {6 V_ {OABC} } {\ rho ^ 3 \, \ sin a \ \ sin b \ \ sin c}

,

unde V _OABC este volumul tetraedrului OABC .

Geometrie hiperbolică

Același subiect în detaliu: geometrie hiperbolică .

Într-un triunghi hiperbolic , teorema sinusului este exprimată cu

{\frac {\mathrm {senh} \,a}{\sin \alpha }}={\frac {\mathrm {senh} \,b}{\sin \beta }}={\frac {\mathrm {senh} \,c}{\sin \gamma }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {senh} \, a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {senh} \, b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ mathrm {senh} \, c} {\ sin \ gamma}}}

\ frac {\ mathrm {senh} \, a} {\ sin \ alpha} = \ frac {\ mathrm {senh} \, b} {\ sin \ beta} = \ frac {\ mathrm {senh} \, c} {\ sin \ gamma}

.

Generalizare la tridimensional ( euclidian )

Tetraedru: fețe și unghiuri diedre

Să considerăm un tetraedru A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ în spațiul tridimensional. Figura din lateral arată un tetraedru proiectat pe un plan și indică notațiile vârfurilor, fețelor și unghiurilor tetraedrului:

S _k fața opusă vârfului A _k ;
s _k suprafața lui S _k ;
Δ _k planul pe care se află S _k ;
θ _ij unghiul diedru ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {(\ Delta _ {i}, \ Delta _ {j})}}}$ $\ widehat {(\ Delta_i, \ Delta_j)}$ .

Sinusul unghiului de triedru la vârful A ₁ este definit după cum urmează:

\sin A_{1}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{23}-\cos ^{2}\theta _{24}-\cos ^{2}\theta _{34}-2\cos \theta _{23}\cos \theta _{24}\cos \theta _{34}}}{\sin \theta _{23}\ \sin \theta _{24}\ \sin \theta _{34}}}

{\ displaystyle \ sin A_ {1} = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta _ {23} - \ cos ^ {2} \ theta _ {24} - \ cos ^ {2 } \ theta _ {34} -2 \ cos \ theta _ {23} \ cos \ theta _ {24} \ cos \ theta _ {34}}} {\ sin \ theta _ {23} \ \ sin \ theta _ {24} \ \ sin \ theta _ {34}}}}

\ sin A_1 = \ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ theta_ {23} - \ cos ^ 2 \ theta_ {24} - \ cos ^ 2 \ theta_ {34} -2 \ cos \ theta_ {23} \ cos \ theta_ {24} \ cos \ theta_ {34}}} {\ sin \ theta_ {23} \ \ sin \ theta_ {24} \ \ sin \ theta_ {34}}

;

Și în același mod pentru celelalte unghiuri ale triedrelor.

Prin urmare, se aplică

{\frac {s_{1}}{\sin A_{1}}}={\frac {s_{2}}{\sin A_{2}}}={\frac {s_{3}}{\sin A_{3}}}={\frac {s_{4}}{\sin A_{4}}}={\frac {2s_{1}s_{2}s_{3}s_{4}}{9V}}

{\ displaystyle {\ frac {s_ {1}} {\ sin A_ {1}}} = {\ frac {s_ {2}} {\ sin A_ {2}}} = {\ frac {s_ {3}} {\ sin A_ {3}}} = {\ frac {s_ {4}} {\ sin A_ {4}}} = {\ frac {2s_ {1} s_ {2} s_ {3} s_ {4}} {9V}}}

\ frac {s_1} {\ sin A_1} = \ frac {s_2} {\ sin A_2} = \ frac {s_3} {\ sin A_3} = \ frac {s_4} {\ sin A_4} = \ frac {2s_1s_2s_3s_4} { 9V}

,

unde V este volumul tetraedrului.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema sinusului

linkuri externe

( EN ) teorema sinelor , pe mathworld.wolfram.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secant extern · Cosecant · External Cosecant
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Rope Teorema · sani Teorema · cosinus teorema · drept de tangentele · cotangents Teorema · Pitagora · Formulele Prosthaphaeresis · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice