Proporționalitate (matematică)

În matematică , două variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se spune că sunt direct proporționale dacă există o relație funcțională a formei:

\,y=kx

{\ displaystyle \, y = kx}

\, y = kx

caracterizată printr-o constantă numerică diferită de zero $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Descriere

Acest $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ se numește constanta de proporționalitate a relației. Pentru a raporta asta $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sunt proporționale fără a specifica constanta de proporționalitate, folosim scripturi precum:

y\sim x

{\ displaystyle y \ sim x}

y \ sim x

sau

y\propto x

{\ displaystyle y \ propto x}

y \ propto x

sau

\,y={\mbox{cost.}}\;x

{\ displaystyle \, y = {\ mbox {cost.}} \; x}

\, y = {\ mbox {cost.}} \; x

.

De exemplu, dacă un vehicul se deplasează cu o viteză constantă, durata mișcării sale și distanța pe care o parcurge sunt proporționale; sau dacă o greutate este atașată unui arc, alungirea este proporțională cu greutatea atașată; în primul caz, constanta proporționalității este viteza vehiculului. În al doilea caz, forța (fizică) exercitată asupra unui corp material de gravitația Pământului la o anumită locație este proporțională cu masa corpului.

Din punct de vedere al fizicii , verificarea proporționalității între două mărimi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie să efectueze măsurători adecvate, ale căror rezultate ar trebui vizualizate ca puncte într-o diagramă cartesiană . Dacă punctele aparțin unei linii sau, mai realist, sunt aproape de o linie care trece prin origine $(0;0)$ ${\ displaystyle (0; 0)}$ ${\ displaystyle (0; 0)}$ , atunci cele două variabile sunt proporționale și constanta de proporționalitate este dată de panta liniei.

Două cantități $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se spune că sunt invers proporționale dacă există o constantă diferită de zero $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât se poate spune

y={k \over x}

{\ displaystyle y = {k \ over x}}

y = {k \ peste x}

.

De exemplu, numărul persoanelor care trebuie angajate pentru a culege roșiile la o fermă este, în bună aproximare, invers proporțional cu numărul de zile în care urmează să fie finalizat locul de muncă.

Studiul noțiunii de proporționalitate este atribuit lui Eudoxus din Cnidus și are o mare importanță pentru istoria matematicii . De fapt, această noțiune din secolul al IV-lea î.Hr. a făcut posibilă tratarea cu rigurozitate a celor numite acum numere reale , a deschis posibilitatea definirii modelelor fizico-matematice și a ajutat la matematică să ajungă la statutul de știință.

În multe situații în care există relații funcționale neliniare , dar, de exemplu, logaritmice , exponențiale , pătratice , cubice sau în general polinomiale , în scopul expunerii poate fi util să ne referim la relațiile de proporționalitate directă și inversă. Pentru aceasta este suficient să introducem o variabilă intermediară care are o formă ca.

Y=\log(y)\quad Y=\exp(y)\quad Y=y^{2}\quad Y={\sqrt {y}}\quad Y=y^{3}\quad ...

{\ displaystyle Y = \ log (y) \ quad Y = \ exp (y) \ quad Y = y ^ {2} \ quad Y = {\ sqrt {y}} \ quad Y = y ^ {3} \ quad ...}

Y = \ log (y) \ quad Y = \ exp (y) \ quad Y = y ^ {2} \ quad Y = {\ sqrt {y}} \ quad Y = y ^ {3} \ quad ...

.

Înțelesul proporției și cuaternului numerelor proporționale

Termenul proporție poate fi considerat sinonim cu raportul și raportul dintre două numere reale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , al doilea dintre care diferit de zero, este coeficientul primului număr față de al doilea și este indicat prin:

\,a:b\ \quad {\mbox{oppure}}\quad {\frac {a}{b}}

{\ displaystyle \, a: b \ \ quad {\ mbox {sau}} \ quad {\ frac {a} {b}}}

\, a: b \ \ quad {\ mbox {sau}} \ quad {\ frac {a} {b}}

Termenului proporție i se poate atribui și semnificația unei relații particulare între patru numere.

Citând Euclid : Patru numere sunt proporționale între ele, dacă primul este multiplu sau parte a celui de-al doilea, așa cum al treilea este față de al patrulea. ( Def. 20 - Cartea VII a Elementelor lui Euclid )

Se spune că patru numere reale sunt pozitive $a,\;b,\;c$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ sunt proporționale între ele, dacă raportul dintre primul și al doilea este egal cu raportul dintre al treilea și al patrulea; în formulă:

a:b=c:d\quad {\mbox{oppure}}\quad {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad {\ mbox {or}} \ quad {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

a: b = c: d \ quad {\ mbox {or}} \ quad {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}

Această relație cuaternară spune: $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Este pentru $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ca $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Este pentru $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Pentru a exprima această situație putem spune, de asemenea, că numerele $a,\;b,\;c$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , în ordinea în care constituie un cuatern de numere proporționale . Acest termen este precis, dar puțin greu și poate fi abreviat într-un cuatern proporțional .

De exemplu, numerele 3, 6, 5, 10 formează un cadru de numere întregi proporționale, deoarece raportul 3/6 este egal cu raportul 5/10. Alte quad-uri proporționale sunt

(1,2, 2,7, 5,6, 12,6) și (15, 0,8, 21, 1,12)

Numerele $a,\;b,\;c$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ displaystyle a, \; b, \; c}$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ se numesc termeni de proporție și în special $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ spun antecedente ale proporției , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ consecințele proporției , $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ extreme ale proporției , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ medii ale proporției ; la sfarsit $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ se numește al patrulea proporțional care urmează $a,\;b$ ${\ displaystyle a, \; b}$ ${\ displaystyle a, \; b}$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

Din definiție obținem imediat proprietatea fundamentală a proporțiilor:

Dacă patru numere sunt proporționale, produsul primului cu al patrulea este egal cu produsul celui de-al doilea cu al treilea. ^[1]

Cu alte cuvinte: în fiecare cuatern proporțional, produsul mijloacelor este egal cu produsul extremelor . În formulă

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad ad=bc

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad ad = bc}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad ad = bc

Alte proprietăți derivă din această proprietate:

1. Regula proporțională a trimestrului

Observați trei numere $a,\;b$ ${\ displaystyle a, \; b}$ ${\ displaystyle a, \; b}$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , al patrulea proporțional, $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , astfel încât $\,a:b=c:d$ ${\ displaystyle \, a: b = c: d}$ $\, a: b = c: d$ , este dat de:

d={\frac {bc}{a}}

{\ displaystyle d = {\ frac {bc} {a}}}

d = {\ frac {bc} {a}}

În mod similar, avem formulele

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad a={\frac {bc}{d}}~,~~b={\frac {ad}{c}}~,~~c={\frac {ad}{b}}

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {bc} {d}} ~, ~~ b = {\ frac {ad} {c}} ~, ~~ c = {\ frac {ad} {b}}}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {bc} {d}} ~, ~~ b = {\ frac {ad} {c}} ~, ~~ c = {\ frac {ad} {b}}

2. Proprietățile inversorului

Având în vedere un cuatern proporțional, altul se obține prin schimbul fiecărui antecedent cu rezultatul său:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad b:a=d:c

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad b: a = d: c}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad b: a = d: c

3. Proprietățile schimbului

Având în vedere un cuatern proporțional, altul se obține prin schimbul între ele sau mijloacele sau extremele:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad a:c=b:d\,,\quad d:b=c:a\,,\quad d:c=b:a

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a: c = b: d \ ,, \ quad d: b = c: a \ ,, \ quad d: c = b: a}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a: c = b: d \ ,, \ quad d: b = c: a \ ,, \ quad d: c = b: a

4. Proprietățile compunerii

În fiecare cuatern proporțional, suma antecedentelor este la suma consecințelor, așa cum fiecare antecedent este la consecința sa:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b\,,\quad (a+c):(b+d)=c:d

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a + c) :( b + d) = a: b \ ,, \ quad (a + c) :( b + d) = c: d}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a + c) :( b + d) = a: b \ ,, \ quad (a + c) :( b + d) = c: d

Demonstrație

$a:b=c:d$ ${\ displaystyle a: b = c: d}$ $a: b = c: d$ (1)

Se aplică proprietatea navetei pe medii.

$a:c=b:d$ ${\ displaystyle a: c = b: d}$ $a: c = b: d$

Proporția, aplicând proprietatea inversului, poate fi scrisă și ca

$c:a=d:b$ ${\ displaystyle c: a = d: b}$ $c: a = d: b$

Această formă este echivalentă cu

$(a+c):a=(b+d):b$ ${\ displaystyle (a + c): a = (b + d): b}$ $(a + c): a = (b + d): b$ (2)

Intr-adevar

$(a+c):a=(b+d):b\Rightarrow {\frac {a+c}{a}}={\frac {b+d}{b}}\Rightarrow 1+{\frac {c}{a}}=1+{\frac {d}{b}}\Rightarrow {\frac {c}{a}}={\frac {d}{b}}\Rightarrow c:a=d:b$ ${\ displaystyle (a + c): a = (b + d): b \ Rightarrow {\ frac {a + c} {a}} = {\ frac {b + d} {b}} \ Rightarrow 1+ { \ frac {c} {a}} = 1 + {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow {\ frac {c} {a}} = {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow c: a = d: b}$ $(a + c): a = (b + d): b \ Rightarrow {\ frac {a + c} {a}} = {\ frac {b + d} {b}} \ Rightarrow 1 + {\ frac { c} {a}} = 1 + {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow {\ frac {c} {a}} = {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow c: a = d: b$

Prin urmare, proprietatea de permutare pe medii se aplică încă o dată la (2) și în cele din urmă

$(a+c):(b+d)=a:b$ ${\ displaystyle (a + c) :( b + d) = a: b}$ $(a + c) :( b + d) = a: b$

În mod similar, este demonstrată și cealaltă identitate.

5. Proprietățile descompunerii

În fiecare cuatern proporțional, diferența antecedentelor este la diferența consecințelor, deoarece fiecare antecedent este la consecința sa:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad (a-c):(b-d)=a:b\,,\quad (a-c):(b-d)=c:d

{\ displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (ac) :( bd) = a: b \ ,, \ quad (ac) :( bd) = c: d}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a-c) :( b-d) = a: b \ ,, \ quad (a-c) :( b-d) = c: d

Când cele două medii ale unui cuatern proporțional coincid, adică când

a:b=b:d\quad {\mbox{ovvero}}\quad b^{2}=a\cdot d

{\ displaystyle a: b = b: d \ quad {\ mbox {adică}} \ quad b ^ {2} = a \ cdot d}

a: b = b: d \ quad {\ mbox {adică}} \ quad b ^ {2} = a \ cdot d

valoarea lor comună este media geometrică a celor două extreme. Numarul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este partea medie proporțională dintre numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ . Proporțiile de acest tip se numesc continue .

Notă

^ Prop. 19 - Cartea VII a Elementelor lui Euclid

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

(EN) Proportionality , of Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Prop. 19 - Cartea VII a Elementelor lui Euclid

[1]