Istoria matematicii

Ilustrarea elementelor lui Euclid . O figură magistrală feminină, probabil alegorică , dotată cu un pătrat și busolă , învață geometria unor discipoli (aproximativ 1309-1316).

Istoria matematicii își are originea în conceptul de număr și în primele descoperiri matematice, continuând prin evoluția de-a lungul secolelor a propriilor metode și notații matematice a căror utilizare continuă în timp.

Acest papirus Oxirinco conține una dintre cele mai vechi și mai complete diagrame din „Elementele de geometrie” ale lui Euclid. Este desenată diagrama privind prepoziția a cincea a celei de-a doua cărți a Elementelor

Un aspect important al matematicii constă în faptul că s-a dezvoltat independent în culturi complet diferite, ajungând în multe cazuri la aceleași rezultate: de multe ori un contact sau o influență reciprocă între diferite popoare a dus la introducerea de idei noi și o avansare a cunoștințelor matematice . Pe de altă parte, uneori am văzut o regresie bruscă a culturii matematice printre unele popoare; matematica modernă, pe de altă parte, a reușit să folosească contribuțiile oamenilor din toate țările.

Activitatea desfășurată de matematicienii moderni este foarte diferită de cea a primilor matematicieni ai civilizațiilor antice; inițial matematica se baza pe conceptul de număr, concept dezvoltat în timpurile preistorice . De fapt, matematica a fost una dintre primele discipline care s-au dezvoltat: dovezile arheologice arată cunoașterea rudimentară a unor noțiuni matematice cu mult înainte de invenția scrisului.

Matematică primitivă

Același subiect în detaliu: Sistemul de numerotare § Evoluția sistemelor numerice .

Înainte de apariția primelor documente scrise, există desene care mărturisesc cunoașterea matematicii și măsurarea timpului pe baza observării stelelor. Alte artefacte preistorice descoperite în Africa și Franța , datate între 35.000 î.Hr. și 20.000 î.Hr., indică primele încercări de cuantificare a timpului . ^[1] Se presupune că primele numărări au implicat femei care își înregistrează ciclurile lunare sau fazele lunii.

În același timp, s-a dezvoltat conceptul de număr: este probabil că primele considerații se refereau la efectivele de animale și la distincția dintre conceptele de „ unu ” „ doi ” și „mult”, precum zuluii , pigmeii africani, originari din Insulele Murray, kamilarai australieni și botocudos brazilian . ^[2] Alte populații sunt capabile să mărească capacitatea de numărare vizuală recurgând la utilizarea, conform unei ordini precise, a părților corpului lor, ajungând astfel să numere până la 17, 33, 41 în funcție de referințele corpului utilizate.

La nivel fiziologic s-ar părea că abilitatea de a percepe vizual, fără a trebui să numere, numărul de elemente se oprește la patru. În acest sens, este semnificativ faptul că în unele limbi există declinarea formelor la singular, dual, proces, quattrial și plural; tot în latină doar primele patru numere ( unus, duo, tres, quatuor ) sunt declinabile. Unele experimente efectuate pe corbi indică capacitatea de a distinge până la patru elemente ale unui set . ^[3]

Ulterior aceste concepte au fost dezvăluite cu crestături și gravuri. Chiar și primele noțiuni geometrice simple se dezvoltau. Paleontologii au descoperit roci ocre într-o peșteră sud-africană împodobită cu modele geometrice datând din 70.000 î.Hr. ^[4]

Osul Ishango , găsit în zona surselor Nilului (nord-estul Congo ), are incizii care ar putea indica o cunoaștere primitivă a succesiunii numerelor prime . ^[5] Monumente megalitice care în Egipt datează din mileniul al V-lea î.Hr. și în Anglia și Scoția începând cu mileniul al treilea î.Hr. , cu designul lor concretizează idei geometrice precum cele de cerc , elipsă și triplu pitagoric și o posibilă înțelegere a măsurătorii a timpului bazat pe mișcările stelelor. ^[6] În jurul anului 2600 î.Hr. , tehnicile pentru clădirile mari arată stăpânirea geodeziei de precizie.

Primele noțiuni matematice care ne-au venit din India antică datează din perioada 3000 î.Hr. - 2600 î.Hr. , în principal în nordul Indiei și Pakistan . Un sistem de greutăți și măsuri uniforme a fost dezvoltat folosind fracții zecimale , o tehnologie de cărămidă surprinzător de avansată care folosea raporturile drumurilor dispuse în unghiuri drepte perfecte și o varietate enormă de forme și figuri geometrice ( paralelipiped dreptunghiular , butoi , con , cilindru și figuri de cercuri și triunghiuri concentrice și intersectate). Printre instrumentele matematice descoperite se numără o riglă precisă cu subdiviziuni zecimale precise și apropiate, un instrument cu clapetă care a servit drept busolă pentru măsurarea unghiurilor pe suprafețe plane în multipli de 40 - 360 de grade și un instrument pentru măsurarea pozițiilor stelelor pentru navigație.

Scriptul Indus nu a fost încă descifrat; de aceea se știe foarte puțin despre formele scrise ale matematicii indiene. Dovezile arheologice au determinat unii istorici să creadă că această civilizație a folosit un sistem de numerotare de bază 8 și a posedat noțiunea relației dintre lungimea circumferinței unui cerc și diametrul acestuia, adică o valoare de π . ^[7]

Civilizații antice

Cele mai vechi texte matematice provin din Egiptul antic , în perioada Regatului Mijlociu (2000-1800 î.Hr., papirusul Moscovei ), din Mesopotamia (1900-1700 î.Hr., tableta Plimpton 322 ) și din India , (în jurul anului 800 î.Hr.) . 200 d.Hr., Sulba Sutras ).

Toate aceste texte se referă la așa-numita teoremă pitagorică , care pare a fi cel mai vechi și mai răspândit rezultat matematic care depășește aritmetica și geometria elementară.

Matematica Egiptului Antic (2000 î.Hr. - 600 î.Hr.)

Același subiect în detaliu: matematica egipteană .

O parte din papirusul Rhind .

Cel mai vechi text egiptean descoperit până acum este papirusul Moscovei , datat între 2000 î.Hr. și 1800 î.Hr. Ca multe texte matematice antice, se prezintă ca o problemă bazată pe poveste, aparent scrisă în scopuri recreative. Cea mai interesantă parte este cea în care se arată o metodă corectă pentru a găsi volumul unei piramide trunchiate : solidul este descompus în paralelipipede și prisme ; apoi adăugând volumele, se obține volumul dorit. ^[8]

Un alt text important este papirusul Rhind ^[9] (datat în jurul anului 1650 î.Hr.), un manual de instrucțiuni de aritmetică și geometrie. Pe lângă furnizarea de formule pentru arii și procedee de înmulțire, divizare și operații cu fracții cu un numărător unitar, acesta conține dovada altor noțiuni matematice precum numărul prim , media aritmetică , media geometrică , media armonică și numerele perfecte . Există, de asemenea, o explicație primitivă a sitei Eratostene și a metodei pentru soluționarea unei ecuații liniare de primul ordin. ^[10]

Mai mult, egiptenii au preferat să exprime numere raționale ca suma fracțiilor cu un numărător unitar sau a fracției 2/3: de exemplu 2/15 este exprimat ca 1/10 + 1/30. Chiar și astăzi această tehnică este denumită fracțiune egipteană . ^[11]

Papirusul Rhind conține, de asemenea, noțiuni non-triviale de geometrie ca metodă de obținere a unei aproximări a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ cu o imprecizie mai mică de 1%, o primă încercare de a pătrat cercul și prima utilizare cunoscută a unui tip de cotangentă .

În perioada elenistică , cărturarii din Egipt, pentru scrierile lor, au abandonat limba antică și au adoptat greaca. Din acel moment matematica egiptenilor s-a contopit cu cea a Greciei dând viață marii matematici elenistice.

Matematica Mesopotamiei antice (1900 î.Hr. - 300 î.Hr.)

Același subiect în detaliu: matematica babiloniană .

Tableta Plimpton 322 .

Spre deosebire de lipsa surselor care rămân despre matematica egipteană, cunoștințele noastre despre matematica babiloniană provin din descoperirea de la mijlocul secolului al XIX-lea a mai mult de 400 de tăblițe de lut scrise cu script cuneiform. Majoritatea sunt datate între 1800 și 1600 î.Hr. și se ocupă de subiecte, inclusiv fracții, algebră , ecuații de gradul II și calculul triplelor pitagoreice . ^[12] Tabletele includ, de asemenea, tabele de multiplicare, tabele trigonometrice și metode de rezolvare pentru ecuații liniare și pătratice. Tableta „YBC 7289” oferă o aproximare exactă a rădăcinii de 2 până la a cincea zecimală . Una dintre cele mai importante este cu siguranță Plimpton 322, unde multe tripluri pitagoreice sunt enumerate pe trei coloane, demonstrând astfel o cunoaștere probabilă a teoremei pitagoreice . ^[13]

Algebra babiloniană a fost probabil cea mai avansată din întregul bazin mediteranean de secole. De fapt, babilonienii au știut să rezolve ecuațiile de gradul al doilea cu formule similare celor utilizate astăzi (vezi detaliat). De asemenea, chiar dacă problemele s-au bazat pe geometrie, au fost manipulări foarte abstracte care demonstrează un grad ridicat de versatilitate.

Probleme din papirusul Rhind

Cele șase părți care alcătuiesc ochiul lui Horus, evidențiate în diferite culori.

Papirusul Rhind (sau papirusul Ahmes) este una dintre cele mai importante mărturii ale matematicii egiptene . Sunteți expus la unele probleme și la rezolvarea lor:

Problema 26 spune: "O cantitate, a patra (adăugată) pe ea face 15",

care în notația modernă poate fi scrisă ca:

$x+{\frac {1}{4}}x=15$ ${\ displaystyle x + {\ frac {1} {4}} x = 15}$ ${\ displaystyle x + {\ frac {1} {4}} x = 15}$ .

Ecuația de gradul întâi este rezolvată folosind metoda poziției false : se atribuie valoarea provizorie x = 4 . Egalitatea devine 4 + 1 = 5. Notând că raportul dintre 15 și 5 este 3, concluzionăm că raportul dintre necunoscut și 4 este, de asemenea, 3. Valoarea corectă a x = 12 este, prin urmare, găsită.

În problema 30 o problemă analogă este rezolvată cu metoda comună

Într-o altă problemă, cerem să găsim aria cercului cu diametrul 9, echivalând-o cu cea a unui pătrat cu latura 8. Aceasta stabilește o valoare a lui pi care corespunde cu 3,16.

De asemenea, se tratează progresiile geometrice : conform unui mit egiptean, de fapt, ochiul zeului Horus era împărțit în șase părți. În papirus se spune că cele șase părți sunt puterile negative ale două de la 1/2 la 1/64. Apoi cere să găsească zona care este 63/64.

Matematica babiloniană a folosit un sistem de numerotație pozițională sexagesimal (adică baza 60). Dezvoltarea matematicii babiloniene a fost probabil favorizată de acest sistem de numerotare special, având numărul 60 de divizori numeroși. Folosirea unui sistem pozițional pentru a reprezenta cifrele (cum ar fi cel arab folosit în întreaga lume astăzi) diferențiază babilonienii de egipteni , greci și romani : în reprezentarea babiloniană cifrele scrise în coloana din stânga reprezintă valori mai mari. Cu toate acestea, la început babilonienii nu au folosit cifra zero . Aceasta însemna adesea că valoarea pozițională a unei cifre trebuia dedusă din context. Ulterior a fost introdus un numeral care a fost făcut de la zero, dar se pare că babilonienii nu l-au folosit în poziția unităților (numerele 22 și 220 erau, de exemplu, de nedistins). ^[14]

Matematica Indiei Antice (900 î.Hr - 200)

După prăbușirea civilizației Indus Valley în 1500 î.Hr., scrierea a dispărut din Asia de Sud pentru o lungă perioadă de timp. Datele la care practica scrisului a reapărut în India și la care s-a dezvoltat scrierea Brahmi sunt extrem de controversate. Dovezile arheologice recente datează în jurul anului 600 î.Hr. , în timp ce unii cercetători propun și anul 1000 î.Hr. Dacă datele cele mai îndepărtate sunt corecte, poate Pitagora a vizitat India așa cum au afirmat unii istorici ( Florian Cajori ), altfel matematica indiană ar fi putut beneficia de contactul cu grecii. lume în urma invaziei lui Alexandru cel Mare . De asemenea, este posibil (așa cum susțin majoritatea cercetătorilor) ca cele două tradiții matematice să se dezvolte independent.

În era vedică, matematica nu a fost studiată doar în scopuri științifice, ci sunt întâlnite expoziții matematice avansate răspândite în marele corp de texte indiene din această perioadă. Yajur-Veda compus din 900 î.Hr. , abordează mai întâi conceptul infinitului numeric. Yajnavalkya (aproximativ 900 - 800 î.Hr. ) a calculat valoarea lui π cu 2 zecimale ^[15] . Sutrele Sulba (datând în jurul anului 800 î.Hr. - 200 d.Hr.) sunt texte geometrice care folosesc numere iraționale , numere prime , regula celor trei și rădăcini cubice , dau o metodă aproximativă pentru a pătrat cercul ^[16] , rezolvă ecuații liniare și ecuații pătratice , determina algebric triplele pitagoreice și dă o afirmație și o dovadă numerică a teoremei pitagoreice . Mai mult, un algoritm infinit este exprimat pentru calculul rădăcinii lui 2 ^[17] cu care sunt calculate primele 5 cifre zecimale.

Pingala ( sec. IV î.Hr. - sec. III î.Hr. ) a inventat un sistem binar , a studiat ceea ce va fi definit mai târziu ca secvența Fibonacci și triunghiul lui Pascal ; el a formulat și definiția matricei . Între secolul al IV-lea î.Hr. și secolul al III-lea d.Hr. Matematicienii indieni au început să-și stabilească studiile într-o perspectivă pur speculativă. Au fost primii care au dezvoltat cercetări privind teoria mulțimilor , logaritmi , ecuații cubice , ecuații quartice , serii și secvențe , permutații și combinații, extracția rădăcinilor pătrate , puteri finite și infinite. Manuscrisul Bakshali , compus între secolul III î.Hr. și secolul III d.Hr. , include soluții de ecuații liniare cu mai mult de cinci necunoscute, soluția ecuațiilor pătratice și geometrice , sisteme de ecuații , utilizarea numărului zero și a numerelor negative . Există, de asemenea, algoritmi exacți pentru calcularea numerelor iraționale .

Matematică greco-elenistică (aproximativ 550 î.Hr. - 400 d.Hr.)

Același subiect în detaliu: matematica greco-elenistică .

Pentru ceea ce se numește adesea matematică greacă este potrivit să se distingă două perioade. În prima perioadă, cea cu cea mai mare importanță economică și politică a orașelor grecești și a coloniilor lor, este matematica dezvoltată de matematicienii acestor orașe. În perioada elenistică ulterioară (care poate fi începută în 323 î.Hr. și încheiată în jurul secolului V d.Hr.) este producția tuturor autorilor care au lucrat în lumea elenistică împărtășind utilizarea limbii grecești . Multe dintre cele mai mari minți ale acestei perioade, cum ar fi Arhimede și Apollonio, nu au trăit în zona geografică corespunzătoare Greciei actuale, deși au fost protagoniști ai culturii elenistice a limbii grecești răspândite în multe zone mediteraneene.

Deși cele mai vechi texte matematice găsite în limba greacă au fost scrise după perioada elenistică, se crede că mai multe dintre ele sunt copii ale operelor scrise în timpul și chiar înainte de această perioadă. Cu toate acestea, datarea matematicii grecești este mai fiabilă decât cea a celor mai vechi scrieri matematice, deoarece există numeroase cronologii care, suprapuse, raportează evenimentele de la an la an.

Matematică greacă arhaică (600 - 300 î.Hr.)

Matematica greacă este mult mai modernă decât cea dezvoltată de culturile anterioare precum egipteanul și babilonianul, deoarece aceste culturi anterioare foloseau raționamente empirice care exploatează observații repetate pentru a întemeia regulile matematicii. Dimpotrivă, matematica greacă veche se bazează pe raționamentul deductiv, care, pornind de la axiome mai mult sau mai puțin evidente , folosește raționamente riguroase pentru a demonstra teoreme. ^[18] Toată matematica modernă se bazează și astăzi pe această idee. Grecii sunt aproape exclusiv ocupați de geometrie și, conform standardelor lor, ar putea folosi doar două instrumente pentru construcția și studiul figurilor geometrice: linia (nu taccata) și busola (care a fost închisă când a fost ridicată de pe foaie și, prin urmare, nu a putut fi folosit pentru a raporta o măsurare). Raționamentul care implică alte instrumente a fost uneori folosit, dar a fost considerat a nu fi riguros.

Se crede că matematica greacă a început cu Thales din Milet (c. 624-546 î.Hr.) și Pitagora din Samos (c. 582 - 507 î.Hr.). Acestea au fost probabil influențate de ideile de matematică egipteană , matematică babiloniană, chiar dacă cu siguranță au reușit să refacă cunoștințele acestor popoare într-un mod original. ^[19]

Thales s-a ocupat de geometrie, descoperind de exemplu teorema conform căreia un triunghi înscris într-un semicerc este întotdeauna un dreptunghi și multe propuneri referitoare la triunghiuri similare. Datorită acestor teoreme, conform legendei, el a putut determina înălțimea piramidei lui Keops măsurând umbra acesteia.

Euclid

Pitagora, pe de altă parte, a fost fondatorul Școlii Pitagorice , o sectă ai cărei membri s-au dedicat cercetării matematice. Școala pitagorică avea și conotații filozofice și mistice: membrii, de exemplu, urmau idealuri de perfecțiune în numărul cinci (și, prin urmare, în pentagon și dodecaedru) și în sferă . Întreaga filosofie a sectei se baza pe numere naturale și pe coeficienții lor, numere raționale. Mai mult, pitagoricii credeau în metempsihoză și erau vegetarieni . ^[20] Această comunitate a adus contribuții importante la geometrie, în primul rând dovada teoremei pitagoreice (pare deja găsită empiric de egipteni și babilonieni) și la teoria numerelor , cum ar fi clasificarea și studiul numerelor figurate și numerelor perfecte , descoperirea triplelor pitagoreice și a sitei lui Eratostene .

În mod paradoxal, cea mai importantă descoperire a comunității a fost poate demonstrația că raportul dintre latură și diagonala unui pătrat (adică rădăcina lui 2 ) nu poate fi exprimat ca un raport de două numere întregi. Această descoperire, care dovedește existența numerelor iraționale , s-a ciocnit cu întreaga filozofie a sectei. Conform tradiției raportate de unii autori de mai târziu, Hippasus pitagoric al Metapontului a făcut această descoperire în timpul unei călătorii cu vaporul și a avut nefericita idee de a o comunica fără întârziere celorlalți adepți ai sectei, care au înțeles imediat consecințele și l-a aruncat pe Hippasus însuși în mare. Alți autori menționează pur și simplu faptul că Hippasus a murit într-un naufragiu. De fapt, deși a existat o încercare a pitagoreicilor de a păstra ascunsă descoperirea, aceasta a eșuat. Astăzi se consideră mai probabil că demonstrația irațională a ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ este mai târziu și că pitagoricii au observat iraționalitatea diagonalei pentagonului laturii unitare (adică secțiunea aurie ) ^[21] .

Mai târziu s-au răspândit matematica greacă și de exemplu s-au născut cele trei probleme clasice: pătratul cercului , duplicarea cubului și trisecția unghiului , care trebuie rezolvată folosind doar o riglă și busolă. Imposibilitatea rezolvării acestor probleme a fost dovedită doar în epoca modernă; deja în antichitate s-au găsit soluții care, cu toate acestea, implicau și alte instrumente pe lângă cele două „canoane”. Studiind aceste probleme, s-au remarcat matematicieni precum Archita din Taranto , Hippias din Elis și Hipocrate din Chios . Acesta din urmă a reușit în sarcina dificilă de a pătrat lunulele circulare, adică părți ale planului închise de două cercuri care trec prin două puncte date. ^[22] Eudoxus din Cnidus a fost în schimb primul care a încercat să aproximeze un cerc folosind poligoane regulate ( metoda epuizării ). Importantă în acea perioadă a fost și opera logică a lui Aristotel care, în Organon , a dezvoltat conceptul de silogism .

Matematică greacă elenistică (300 î.Hr. - 400 d.Hr.)

Ulterior, odată cu înființarea în Alexandria a Bibliotecii și Muzeului , care a adunat cele mai mari minți ale vremii, orașul egiptean a devenit cel mai important centru cultural din perioada elenistică . În această perioadă găsim opera lui Apollonius din Perga (262-190 î.Hr. aprox.), Euclid (367-283 î.Hr. aprox.) Și Arhimede din Siracuza (284-218 î.Hr. aprox.). Prima este cunoscută mai ales pentru impunătoarea lucrare Le Coniche în care a definit și a studiat secțiunile conice : elipsă , parabolă și hiperbolă și care a avut o mare importanță în lumea europeană.

Arhimede din Siracuza

Cea mai importantă lucrare a lui Euclid sunt Elementele în care el colectează toate teoremele elementare ale aritmeticii, dar mai presus de toate ale geometriei, de exemplu, teoremele principale ale geometriei plane și solide, cum ar fi teorema lui Pitagora și construcția solidelor regulate sau o dovadă a infinitului. a numerelor prime . Elementele au fost considerate cel mai de încredere manual de matematică de secole și secole. Importanța acestei capodopere constă și în faptul că Euclid bazează toată matematica elementară pe câteva axiome fundamentale (în special pe cinci referitoare la geometrie ) și demonstrează o utilizare exemplară a logicii matematice. Faima tratatului a fost de așa natură încât a fost cunoscută de toți oamenii educați din Occident până în secolul al XX-lea . ^[23] Se spune, de asemenea, că Isaac Newton a râs o singură dată: când a fost întrebat dacă merită studiat Elementele. ^[24]

Arhimede este considerat de mulți ca fiind cel mai mare matematician din perioada elenistică greacă ^[25] și este, de asemenea, considerat tatăl fizicii matematice . ^[26] A lăsat în urmă nenumărate lucrări în care demonstrează o mare inventivitate. A reușit să aproximeze $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ circumscriindu-l între două numere limită, pentru a descoperi formula de calcul a volumului și a suprafeței sferei și a zonei cercului . El a descris construcția solidelor semiregulare sau arhimediene. În multe texte a anticipat calculul infinitesimal ca de exemplu în lucrarea Sulle spirali unde găsește tangenta și lungimea unui arc spiral arhimedian sau în Cadratura parabolei unde în apendice calculează chiar rezultatul unei serii geometrice ^{[27] ]} . El a fost, de asemenea, un inginer talentat și există multe lucrări mecanice pe care, potrivit legendei, le-ar fi construit. Prin aceste mașini, în special prin oglinzile aprinse , el ar fi apărat orașul Siracuza de asediul roman . Odată ce a cucerit orașul , deși consulul Marcello poruncise să nu-l omoare, el ar fi fost ucis de un soldat care a intrat în casa lui în timp ce matematicianul ar fi intenționat să calculeze. În realitate, Plutarh însuși a dat trei versiuni ale morții lui Arhimede în asediul Siracuzei . ^[28]

Hipparhus din Niceea a întocmit primul tabel trigonometric cu ajutorul căruia putea rezolva orice triunghi . ^[29] ^[30] Lucrarea sa a fost reluată de Claudius Ptolemeu, care a derivat și formulele pentru adunarea și scăderea sinusului și cosinusului . Ambii erau, de asemenea, astronomi talentați.

După aceste evoluții, matematica elenistică a intrat într-o criză: romanii , fără a aduce atingere noțiunilor de care aveau nevoie pentru inginerie, nu aveau niciun interes pentru matematica care era din ce în ce mai marginalizată și asimilată astrologiei . Potrivit unora, chiar și inadecvarea algebrei geometrice grecești ar fi putut contribui la declinul matematicii greco-elenistice. ^[31] ^[32]

Ultimii matematicieni remarcabili au fost Diofantul Alexandriei care, în Aritmetica sa, a pus bazele teoriei ecuațiilor diofantine și a cercetătorului în geometrie Pappus din Alexandria, care a dovedit teoreme importante, cum ar fi teorema Hexagonului și teorema lui Pappus Guldino .

Chiar și creștinii și populațiile barbare au arătat puțin interes față de matematică: chiar dacă formal aritmetica și geometria făceau parte din Quadrivium , noțiunile studiate erau cu adevărat minime. Școala alexandrină, care se ocupa de matematică și filozofie, a suferit o lovitură severă atunci când Hipatia , cel mai mare exponent al ei, a fost ucis de „parabolani”, fanatici creștini susținuți de episcopul Cirillo .

Matematica medievală

Matematica civilizațiilor precolumbiene

Reprezentarea unui quipu

Perioada clasică a civilizației Maya este situată între 200 și 800 d.Hr. Dezvoltările matematicii Maya s-au datorat în principal studiilor lor astronomice. Au folosit un sistem pozițional bazat pe douăzeci în care a apărut și 0 . Cu toate acestea, Maya nu a considerat niciodată 0 ca un număr, ci doar ca o cifră .

Civilizația inca (1400-1530) a dezvoltat în schimb un sistem de numerotare bazat pe 10. Pentru a indica numerele au folosit așa-numitul quipu , un set de fire paralele lungi. Fiecare fir reprezenta o putere de zece, iar numărul de noduri cifra din poziția respectivă.

Matematică chineză (200 î.Hr - 1200)

Triunghiul lui Tartaglia proiectat de matematicianul chinez Zhu Shijie în 1303.

În China , în 212 î.Hr. (la sfârșitul perioadei lungi a războiului civil din combatante state ) împărat Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) a ordonat arderea tuturor textelor scrise. Deși unele texte au supraviețuit, se știe foarte puțin despre matematica chineză înainte de această dată. Un alt factor care nu ne-a favorizat cunoștințele este faptul că majoritatea lucrărilor au fost scrise pe bambus , ceea ce este foarte perisabil.

Del precedente periodo Shang (1500 aC - 1027 aC) il più antico reperto di interesse per la storia della matematica consiste in un guscio di tartaruga su cui sono incisi dei numeri che usano una specie di notazione decimale. ^[33] ^[34] Il numero 123 ad esempio è scritto con il simbolo di 1 seguito da quello di centinaia, il simbolo di due seguito da quello di decine e il simbolo di 3. Non sappiamo con precisione quando questo sistema , che era il più avanzato al mondo in quel periodo, fu inventato.

Delle conoscenze precedenti al rogo dei libri ci rimangono pochissime testimonianze. La più importante di queste è I nove capitoli dell'Arte matematica che consiste in una raccolta di 246 problemi riguardanti l' agricoltura , il commercio e l' ingegneria . Molti dei problemi esposti nel libro riguardano canne di bambù spezzate ^[35] che formano dei triangoli rettangoli . la soluzione si ottiene tramite applicazione del Teorema di Pitagora .

I matematici cinesi svilupparono una particolare predilezione per i quadrati magici . Secondo la leggenda il primo di questi venne comunicato all' imperatore da una tartaruga uscita dal fiume. ^[35] Questo interesse portò i cinesi a studiare i sistemi di equazioni lineari ea scoprire la cosiddetta Regola di Horner . ^[36]

Zu Chongzhi (quinto secolo) calcolò il valore di π con sette cifre decimali esatte. Questa fu la miglior stima della costante per i successivi mille anni. ^[37]

Nello studio dei sistemi furono anche i primi a sviluppare concetti analoghi a quelli di matrice . ^[38] Fu invece il matematico giapponese Kōwa Seki a introdurre nel 1683 , dieci anni prima di Leibniz , il concetto di determinante .

I cinesi vedevano analogie tra numeri e sessi: i numeri pari erano femminili quelli dispari maschili. I dispari non primi erano considerati effeminati. ^[39] Inoltre indicavano il numeratore di una frazione come figlio e il denominatore come madre. ^[40]

Già nel secolo IV , in Cina si studiavano le equivalenti dell nostre congruenze lineari . per la risoluzione di queste fu fondamentale la scoperta del Teorema cinese del resto .

Nei successivi secoli la matematica cinese si sviluppò includendo i numeri negativi , il Teorema binomiale e il Teorema cinese del resto . I cinesi svilupparono anche il Triangolo di Pascal (o di Tartaglia) che si trova nel frontespizio del trattato Ssu Yuan Yu scritto dal matematico Zhu Shijie. ^[41]

Matematica indiana classica (400 - 1500)

Aryabhata

Non si trova continuità negli sviluppi della matematica indiana: infatti i contributi importanti sono separati da lunghi intervalli di stagnazione in cui non si raggiunse nessun risultato. ^[42]

Il Surya Siddhanta scritto circa nel 400 introduceva le funzioni trigonometriche del seno , coseno e le loro inverse. Gli indiani si occuparono anche di astronomia riuscendo a compilare precise tavole astronomiche che descrivevano il movimento apparente degli astri in cielo. Calcolarono l' anno siderale in 365.2563627 giorni, un valore inferiore di 1,4 secondi a quello accettato al giorno d'oggi. Questi lavori, durante il medioevo, furono tradotti in Arabo e in Latino .

Nel 499 Aryabhata introdusse il senoverso e compilò le prime tavole trigonometriche . Nell' Aryabhata illustrò i metodi di calcolo di aree e volumi dei principali enti geometrici (non tutti corretti) e inoltre in questa opera appare la notazione posizionale decimale. Calcolò il valore di π con quattro cifre decimali. ^[43]

Nel VII secolo invece Brahmagupta ( 598 – 668 ) per primo nel Brahma-sphuta-siddhanta usò senza riserve lo 0 e il sistema decimale . Scoprì inoltre l' identità e la formula che portano il suo nome, non capendo tuttavia che quest'ultima era valida solo per i quadrilateri ciclici, cioè inscrivibili in una circonferenza . Esplicitò le regole di moltiplicazione tra numeri positivi e negativi . ^[44] È da una traduzione del testo che i matematici arabi accettarono il sistema decimale.

Nel XII secolo , Bhaskara ( 1114 – 1185 ) scoprì le formule di addizione e sottrazione delle funzioni trigonometriche e concepì dei metodi molto vicini al calcolo differenziale . ^[45] introducendo concetti simili alla derivata : per calcolare l'angolo di posizione dell' eclittica ad esempio calcolò correttamente l'equivalente delle derivate delle funzioni trigonometriche . ^[46] Provò anche un equivalente del Teorema di Rolle e studiò l' equazione di Pell . Afferma che qualsiasi quantità divisa per 0 dà infinito. ^[47] Si dice che avesse predetto la data in cui sua figlia Lilavati si sarebbe dovuta sposare per avere un matrimonio felice; tuttavia una perla cadde nel complesso meccanismo che doveva contare il tempo e così Lilavati rimase vedova . Per consolarla il padre diede il suo nome al suo più importante trattato di matematica. ^[48]

Dal XIV secolo Madhava di Sangamagrama scoprì l'attuale espansione in serie di Taylor della funzione arcotangente ottenendo poi varie serie infinite che danno come risultato π (tra cui la formula di Leibniz per pi ) grazie alle quali riuscì a calcolare le prime 11 cifre decimali del numero. ^[49] Creò la scuola del Kerala i cui membri nei successivi secoli svilupparono il concetto di virgola mobile e utilizzarono metodi iterativi per la soluzione delle equazioni non lineari. Trovarono inoltre le espansioni in serie di Taylor delle altre funzioni trigonometriche . ^[50] Nonostante si fossero avvicinati a concetti quale quello di derivata i matematici della scuola del Kerala non riuscirono mai a sviluppare una teoria globale del calcolo infinitesimale . ^[51]

Nel XVI secolo per la matematica indiana, anche per via di un periodo di forte instabilità politica, iniziò il declino.

Matematica persiana e araba (750 - 1400)

Una pagina di un manoscritto di al-Khwarizmi .

L' Impero islamico arrivò a dominare, nell' VIII secolo dC il Nord Africa , la Penisola iberica e parte dell' India . Entrarono così in contatto con la matematica ellenistica e con quella indiana. Nella seconda metà dell'VIII secolo Baghdad divenne un nuovo centro del sapere a livello mondiale. Sovrani come al-Mansur , Hārūn al-Rashīd e al-Maʾmūn si dimostrarono attenti nei confronti della matematica e preservarono dalla distruzione molte opere matematiche greche che altrimenti sarebbero probabilmente andate perse ^[52] . Thābit ibn Qurra fondò una scuola di traduttori che tradusse in arabo le opere di Archimede , Euclide e Apollonio . Gli Arabi tradussero, inoltre, molti testi indiani. Questi fatti contribuirono non poco alla nascita della matematica islamica. Molti tra i più grandi matematici islamici erano persiani .

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850 Ca), un matematico persiano, scrisse importanti volumi sul sistema di numerazione indiano e sui metodi per risolvere equazioni . La parola " algoritmo " deriva dal suo nome e " Algebra " dal titolo della sua opera più importante, l' al-Jabr wa al-muqābala . In questa opera Al-Khwarizmi oltre a introdurre il sistema decimale nel mondo arabo trova metodi grafici e analitici per la risoluzione delle equazioni di secondo grado con soluzioni positive (vedi approfondimento) ^[53] . Il nome al-jabr si riferisce al nome che il matematico dà all'operazione di riduzione di termini uguali da parti opposte dell'uguale tramite sottrazione . ^[54] Per questi motivi egli è considerato da molti il fondatore dell' algebra moderna.

Ibn Qurra studiò i numeri amicabili . Altri sviluppi alla materia furono apportati da Abu Bakr al-Karaji (953-1029) nel suo trattato al-Fakhri . Nel X secolo , Abu l-Wafa tradusse le opere di Diofanto di Alessandria in arabo e studiò la trigonometria ottenendo le formule di addizione e sottrazione per il seno. Alhazen studiò invece l' ottica .

Omar Khayyam (1048-1131) fu poeta e matematico . Scrisse le Discussioni sulle difficoltà in Euclide nel quale tentava di dimostrare il quinto postulato di Euclide riguardante le rette parallele (data una retta e un punto fuori di essa esiste solo una parallela alla retta data passante per quel punto) partendo dagli altri quattro; impresa che sarebbe poi diventata un "chiodo fisso" per i matematici. Diede una soluzione geometrica all' equazione di terzo grado ma non riuscì a risolverla per radicali. Il matematico Nasir al-Din Tusi sviluppò invece nel XIII secolo la trigonometria sferica e scoprì la legge dei seni per il triangolo sferico . ^[55]

Nel XIV secolo , Ghiyath al-Kashi calcolò il valore di π con 16 decimali. Al-Kashi trovò anche la regola di Ruffini per scoprire la radice ennesima di un' equazione . Inoltre nella sua opera si trova il primo esempio conosciuto di dimostrazione per induzione tramite la quale viene dimostrato il teorema binomiale . Il matematico era anche a conoscenza del triangolo di Tartaglia . ^[56]

Nel XIII secolo e nel XIV secolo la matematica araba entrò in crisi a causa di un periodo di forte instabilità politica e religiosa, nonché per il diffondersi di sette di movimenti ostili al sapere matematico. ^[57] I molti popoli che si susseguirono nel mondo arabo dal XII secolo contribuirono al definitivo declino della scienza e della matematica arabe.

Matematica medievale europea (1000 - 1400)

Frate Luca Pacioli autore di una Summa dove era raccolto tutto il sapere matematico del XV secolo .

Subito dopo la caduta dell'Impero romano d'Occidente gran parte della matematica greca andò persa. Molte biblioteche , come quella di Alessandria , andarono distrutte. Solitamente gli studiosi cristiani non diedero importanza alla matematica nei loro lavori.

Nei primi secoli dopo la fine dell' Impero romano non ci fu quasi nessun progresso nel sapere matematico. ^[31] Anche se la matematica, divisa in Aritmetica, Geometria, Astronomia e Musica ( Quadrivio ), faceva parte delle Arti Liberali , le nozioni matematiche studiate riguardavano soprattutto l' agrimensura .

Verso l' XI secolo la cultura occidentale entrò in contatto con quella araba e grazie anche alla scuola di traduttori di Toledo ea persone come Adelardo di Bath , iniziarono a circolare in Europa le traduzioni dall' arabo di classici matematici antichi come gli Elementi ma anche di lavori arabi quali l' Algebra di al-Khwarizmi e greci come l' Almagesto di Tolomeo . ^[58] Verso quel periodo si situa anche la rinascita economica dell'Occidente che portò i commercianti a fare sempre più uso della matematica.

Leonardo Fibonacci (1170-1250 ca), detto anche Leonardo Pisano, fu probabilmente il più grande matematico del periodo. ^[59] Nel suo Liber Abaci fece conoscere in Europa il sistema di numerazione decimale e lo zero . Nel trattato si trovano molti problemi di natura pratica o commerciale, alcuni di essi comunque svelano le grandi doti di matematico di Fibonacci come quello della moltiplicazione dei conigli che genera la sequenza di Fibonacci .

Inoltre espone le regole per trasformare una qualunque frazione in una frazione egizia . Nella sua opera vengono esposte anche l' identità di Fibonacci e il metodo di falsa posizione e quello della doppia falsa posizione .

Nei secoli successivi lo sviluppo della matematica accelerò. Nicola Oresme (1323 – 1382) anticipò anche i concetti di potenza irrazionale e grafico di una funzione : fu infatti il primo ad avere l'idea di rappresentare il movimento con un grafico alla maniera moderna. ^[60] Fu uno dei primi ad occuparsi di serie infinite , scoprendo i risultati di molte di esse e dimostrando la divergenza della serie armonica . ^[61] Lo studio delle serie infinite fu forse l'argomento più innovativo della matematica medioevale. Oresme rimane una delle menti più innovative di tutta la matematica medioevale europea ma molte delle sue idee furono dimenticate e dovettero aspettare secoli per essere riscoperte e rielaborate.

Nel XV secolo si può situare la nascita della matematica europea moderna. Le opere del tedesco Regiomontano apportarono un enorme sviluppo alla trigonometria . Luca Pacioli (1445-1514) riassunse tutta le conoscenze matematiche del tempo nella sua Summa . Gli artisti Leon Battista Alberti , Piero della Francesca e Albrecht Dürer si interessarono invece di prospettiva e di geometria descrittiva ^[62] .

XVI secolo

Niccolò Tartaglia.

Nell' Europa del cinquecento, e in particolare in Italia , si diffuse un forte interesse per l' algebra . In questo secolo si cominciarono ad accettare i numeri negativi chiamati spesso "falsi". I matematici iniziarono a sfidarsi pubblicamente a risolvere alcuni problemi. Su queste competizioni si basava gran parte della fama dei matematici; è dunque comprensibile come molte scoperte rimanessero per molto tempo segrete, in modo da poter servire come "arma" nei confronti pubblici.

Fu questo il caso della soluzione per radicali dell' equazione di terzo grado , scoperta nel 1510 da Scipione del Ferro , ma tenuta segreta e riscoperta successivamente da Niccolò Tartaglia (circa 1499-1557), uno dei più importanti matematici del periodo e autore fra l'altro di una traduzione degli Elementi in italiano . Tartaglia riuscì così a diventare uno dei matematici più in vista dell'epoca e confidò, sembra sotto giuramento, il metodo risolutivo a un altro protagonista della matematica rinascimentale, Girolamo Cardano (1501-1576). Egli non esitò però a pubblicarlo risolutivo nella sua opera Ars magna del 1545 . Ciò fece nascere una disputa tra i due che si concluse con la sconfitta di Tartaglia (Si veda l'approfondimento per maggiori informazioni).

Nell' Ars magna veniva anche esposto il metodo risolutivo dell' equazione di quarto grado , scoperto non da Cardano, bensì dal suo allievo Ludovico Ferrari . Molti considerano la pubblicazione dell' Ars magna come il vero atto d'inizio della matematica moderna. ^[63]

Cardano fu il primo ad accorgersi che in certi casi la formula risolutiva dell' equazione di terzo grado richiedeva di calcolare la radice quadrata di un numero negativo , nel caso in cui c'erano tre soluzioni (reali). Rafael Bombelli (1526-1573), nella sua Algebra , propose di trattare le radici quadrate dei numeri negativi (chiamati da Bombelli, più di meno) come se fossero dei numeri a tutti gli effetti, fintantoché venissero eliminati alla fine delle operazioni di risoluzione. Bombelli dimostrò un'apertura notevole, visto che alcuni fra i suoi contemporanei faticavano persino ad accettare la nozione di numero negativo. ^[64]

François Viète ( 1540 - 1603 ) dette importanti contributi alla trigonometria scoprendo le formule di prostaferesi . Scoprì inoltre la famosa formula di Viète per il calcolo di pi greco . A lui ea Albert Girard si devono anche le formule che collegano i coefficienti e le radici di un'equazione . Risolse anche una particolare equazione di quarantacinquesimo grado utilizzando metodi trigonometrici e trovò anche un altro modo per risolvere l' equazione di terzo grado (vedi approfondimento).

Forse la scoperta più innovativa del periodo furono i logaritmi descritti da John Napier nel Mirifici logarithmorum canonis descriptio . Questa scoperta facilitò enormemente i calcoli soprattutto astronomici, riducendo le moltiplicazioni a somme e l'elevazione a potenza a moltiplicazioni.

Nel XVI secolo vi fu anche un'ampia rivoluzione della notazione matematica: nel 1489 Johann Widman usò per primo i segni + e -, nel 1557 Robert Recorde inventò il segno =, successivamente William Oughtred utilizzò il segno x per indicare la moltiplicazione e Thomas Harriot i segni > e <. Viète fu invece il primo ad usare lettere per indicare i coefficienti delle equazioni, pratica che si sarebbe evoluta fino alla forma attuale assunta con Cartesio .

XVII secolo

Pierre de Fermat

Nel XVII secolo la matematica europea ricevette un forte impulso. Gli uomini di scienza iniziarono a riunirsi in accademie o società come la Royal Society e la Académie française e furono istituite le prime cattedre di matematica nelle università . Ciò indubbiamente favorì lo sviluppo delle tecniche matematiche.

Gli italiani Bonaventura Cavalieri (1598-1647) e Evangelista Torricelli (1608-1647) inventarono il cosiddetto " metodo degli indivisibili " che lavorava sulle figure solide come composte da infiniti piani di spessore infinitesimo. Nonostante questo tipo di geometria fosse fondato su basi poco rigorose e soggetto perciò a molte critiche, usandolo si giunse ad importanti risultati come il teorema di Pappo Guldino e il principio di Cavalieri . Il metodo era in realtà una prima formulazione della geometria integrale ma ancora i concetti che stavano alla base dell' analisi non erano molto chiari.

Un ulteriore sviluppo della geometria si ebbe nel 1637 quando Descartes (Cartesio) (1596-1650) pubblicò La Gèometrie nel quale illustrava i concetti fondamentali della geometria analitica , già scoperti in realtà da Fermat . Il principio della geometria analitica consisteva nel tracciare nel piano due assi perpendicolari detti appunto cartesiani (ascissa e ordinata) e di descrivere una curva come l'insieme di soluzioni di un' equazione a due incognite. La geometria si riduceva così allo studio di equazioni algebriche. Questa scoperta portò una rivoluzione concettuale enorme poiché da quel punto in poi linee , piani e curve furono visti in maniera algebrica, e non il contrario come si era fatto fino ad allora.

Successivamente Gilles Roberval , Christian Huygens , John Wallis , Christopher Wren e Blaise Pascal (1623-1662) applicarono la geometria analitica per risolvere vari problemi riguardanti quadrature di archi e di aree sottese da varie curve. Pierre Fermat (1601-1665) e Cartesio si occuparono invece del problema delle tangenti (la determinazione della tangente in un dato punto di una curva) dando due interpretazioni diverse. Il metodo delle tangenti di Fermat è il più moderno dei due e anticipa il concetto di derivata anche se Fermat non riuscì a giustificare del tutto alcuni passaggi. Questo problema avrebbe portato alla nascita del calcolo differenziale .

Pascal oltre che di geometria si occupò di combinatoria riuscendo a capire la correlazione di questa disciplina con il coefficiente binomiale . Utilizzò poi il Triangolo di Pascal anche se esso era già noto ad altri matematici come Tartaglia. Sviluppò queste idee in una corrispondenza con Fermat nella quale si ponevano anche le fondamenta del moderno calcolo delle probabilità .

Fermat fu uno dei matematici più produttivi del secolo nonostante fosse un magistrato e si occupasse della materia da dilettante. Oltre ai già citati contributi alla geometria, Fermat diede un enorme contributo alla Teoria dei numeri : studiò l' equazione di Pell (chiamata anche equazione di Pell-Fermat); introdusse i numeri primi di Fermat ; congetturò infine una quantità impressionante di teoremi come il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati . La maggior parte di questi teoremi fu dimostrata da Euler ma per la congettura più famosa del matematico francese, ossia l' ultimo teorema di Fermat , si dovette attendere addirittura fino al 1994 .

Un esempio di curva nella geometria analitica .

In questo secolo lo studio degli algoritmi infiniti quali serie e prodotti infiniti divenne una branca centrale della matematica. John Wallis (1616-1703) fu uno dei matematici più produttivi in questo campo. Tra i suoi contributi più importanti si ricordano il prodotto di Wallis pubblicato nella Arithmetica Infinitorum ( 1655 ) che costituisce il suo capolavoro. In questo volume Wallis si avvicina molto al calcolo infinitesimale compiendo delle vere e proprie integrazioni. Pietro Mengoli e Nicolaus Mercator scoprirono le serie che oggi portano il loro nome. Un altro contributo importante venne da Gottfried Leibniz (1646-1716) a cui si deve, tra l'altro, la formula di Leibniz per pi . Isaac Barrow e James Gregory portarono ulteriormente avanti queste idee e riuscirono ad arrivare a tecniche estremamente simili al calcolo infinitesimale.

Il calcolo infinitesimale nacque compiutamente pochi anni dopo, grazie all'opera di Isaac Newton (1642-1727) e Leibniz che svilupparono contemporaneamente le idee fondamentali come quelle di derivazione e integrazione e dimostrarono il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale . Newton tenne per sé le sue scoperte e quando le pubblicò molti anni dopo scoppiò una violenta disputa che lo vide contrapposto al tedesco. Il calcolo si diffuse rapidamente, nonostante alcune riserve dovute soprattutto ai concetti usati, definiti allora in modo poco rigoroso.

Tra i sostenitori del calcolo ci furono i fratelli Jakob (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748), due membri di una prodigiosa famiglia che avrebbe dato al mondo più di un talento matematico. I due svilupparono il calcolo affrontando problemi come quello della brachistocrona e della rettificazione della lemniscata . Jakob studiò poi la spirale logaritmica trovandone molte proprietà e il calcolo delle probabilità enunciando la legge dei grandi numeri e il paradosso di San Pietroburgo . Insieme a Leibniz iniziarono per primi a studiare le equazioni differenziali aprendo così la strada per gli sviluppi futuri.

Anche il marchese de l'Hôpital studiò il calcolo scoprendo la cosiddetta Regola di De l'Hôpital (scoperta in realtà da Bernoulli). Brook Taylor invece scoprì le serie di Taylor (già note in realtà ad altri matematici) che avrebbero avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell' analisi complessa .

In questo secolo apparvero anche le prime macchine calcolatrici meccaniche . Pascal ne inventò una capace di fare somme e sottrazioni, mentre una macchina di Leibniz eseguiva anche moltiplicazioni e divisioni. Anche Wilhelm Schickard ne sviluppò una, anche se si trattava di un oggetto non commerciabile. Infatti, le prime calcolatrici che ebbero diffusione furono prodotte nel XIX secolo , quando la tecnologia meccanica indotta dalla rivoluzione industriale consentì di produrre a costi contenuti apparecchiature pratiche ed affidabili.

XVIII secolo

Leonhard Euler

Il campo di studio fondamentale del XVIII secolo fu l' analisi matematica . Proseguendo l'opera dei Bernoulli, Leonhard Euler (1707-1783) (chiamato anche Eulero ) trovò la soluzione al problema di Basilea , introdusse la costante di Eulero-Mascheroni e le funzioni gamma e beta . Trovò poi molti metodi per la soluzione delle equazioni differenziali usati anche oggi e insieme all'amico Jean d'Alembert (1717-1783) affrontò molti problemi di meccanica razionale come la determinazione esatta del moto della Luna . Insieme a d'Alembert ea Daniel Bernoulli (figlio di Jakob) studiò poi il moto dei fluidi.

D'Alembert riuscì invece a risolvere l'equazione differenziale nota come equazione di d'Alembert-Lagrange . Studiò poi vari problemi di teoria dei giochi e il calcolo delle probabilità . Si occupò anche di algebra cercando a più riprese di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra . Nonostante queste dimostrazioni fossero in parte lacunose e il teorema sarebbe stato dimostrato rigorosamente solo da Gauss , il teorema è spesso chiamato teorema di d'Alembert.

Eulero fu uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. ^[65] Produsse più di 886 pubblicazioni su ogni branca della matematica nonostante nell'ultima parte della sua vita fosse divenuto cieco. Diede importanti contributi alla notazione matematica introducendo i simboli oggi accettati per le funzioni trigonometriche , la sommatoria , la funzione generica e per i numeri e ed i . Diffuse anche l'uso del simbolo $\pi$ $\pi$ $\pi$

Fu anche un importante teorico dei numeri, materia che ebbe un notevole sviluppo in questo secolo. Scoprì il prodotto di Eulero , grazie al quale fornì una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi , dando così di fatto inizio alla teoria analitica dei numeri che usa procedimenti analitici per raggiungere risultati aritmetici. Dimostrò poi molti dei teoremi lasciati indimostrati da Fermat e introdusse la funzione phi di Eulero .

Christian Goldbach enunciò la sua famosa congettura tutt'oggi irrisolta che afferma che ogni numero pari eccetto 2 è esprimibile come somma di due numeri primi.

In questo periodo i numeri immaginari e quelli complessi furono accettati completamente. L' analisi complessa divenne una branca importante della matematica: Eulero studiò le serie di Taylor trovando le espansioni in serie di molte funzioni. Grazie a ciò riuscì a scoprire le estensioni di moltissime funzioni reali in campo complesso, come per esempio le funzioni trigonometriche , la funzione logaritmica e la funzione esponenziale . Grazie a quest'ultima estensione trovò l' identità di Eulero :

e^{i\pi }+1=0

e^{i\pi }+1=0

e^{i\pi }+1=0

considerata da molti la più bella formula della matematica. Altri contributi alla materia giunsero da Abraham de Moivre .

In questo secolo si assistette anche alla nascita della topologia e della teoria dei grafi soprattutto per via delle scoperte di Eulero. Egli infatti risolse il problema dei ponti di Königsberg che chiedeva se fosse possibile attraversare tutti i ponti della città di Königsberg ( Kaliningrad ) una sola volta e tornare al punto di partenza. Eulero scoprì che ciò non era possibile e il ragionamento che usò sta alla base della moderna teoria dei grafi . Il matematico svizzero scoprì poi anche la formula che mette in relazione il numero dei vertici delle facce e degli spigoli di un poliedro convesso . Queste scoperte possono essere considerate come l'inizio della moderna topologia.

La città di Königsberg ai tempi di Eulero con i ponti messi in evidenza

Lorenzo Mascheroni dimostrò che se una retta si considera nota quando sono stati individuati due suoi punti allora tutte le figure costruibili con riga e compasso sono costruibili col solo compasso. Vi furono anche diversi tentativi di dimostrare ilquinto postulato di Euclide partendo dagli altri quattro. Tra questi si ricordano quello di Girolamo Saccheri , Vitale Giordano , e Jean-Henri Lambert . Quest'ultimo si avvicinò molto alla geometria non euclidea . Lambert è ricordato anche per aver dimostrato che $\pi$ $\pi$ $\pi$ è irrazionale (vedi dimostrazione della irrazionalità di π ).

Ci furono sviluppi anche nel campo del calcolo delle probabilità: Thomas Bayes dimostrò il teorema che porta il suo nome e Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon diede inizio al metodo Monte Carlo con il famoso problema dell' ago di Buffon .

Nella seconda metà del secolo Parigi divenne il più importante centro matematico e scientifico del tempo. Questo avvenne grazie alla presenza di matematici come Pierre Simon Laplace (1749-1827) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1837) e all'istituzione di scuole di carattere scientifico come l' École polytechnique e l' École normale supérieure che fornirono validi matematici alla Francia .

Laplace e Lagrange si occuparono di meccanica celeste . Dopo il lavoro di Newton essa divenne uno degli argomenti più trattati del secolo.

Laplace nella sua Mécanique Céleste dimostrò che il sistema solare sarebbe rimasto stabile per un lungo intervallo di tempo. Introdusse le armoniche sferiche la trasformata di Laplace e il Laplaciano . Fu uno dei primi a utilizzare il concetto di potenziale dimostrando che esso soddisfa sempre l' equazione di Laplace . Si occupò anche di teoria della probabilità e statistica riscoprendo il teorema di Bayes e fornendo una dimostrazione rigorosa del metodo dei minimi quadrati .

Lagrange invece nella sua Mécanique analytique introdusse il concetto di funzione lagrangiana . Insieme ad Eulero fu tra i creatori del calcolo delle variazioni ricavando le equazioni di Eulero-Lagrange . Studiò inoltre il problema dei tre corpi trovando i punti di Lagrange . Scoprì ilmetodo dei moltiplicatori di Lagrange per la risoluzione delle equazioni differenziali. Introdusse la notazione usata ancora oggi per il calcolo differenziale e trovò un metodo per la soluzione delle equazioni di qualunque grado che però si rivela utile solo fino al quarto. Dimostrò poi il teorema di Lagrange e contribuì molto anche alla teoria dei numeri dimostrando ad esempio il teorema dei quattro quadrati . Studiò anche la geometria analitica solida ottenendo discreti risultati.

Un altro importante matematico del periodo fu Adrien-Marie Legendre (1752-1833) che studiò gli integrali ellittici introducendo quelli della prima e della seconda specie. Congetturò il metodo dei minimi quadrati indipendentemente da Gauss. Fu anche un brillante teorico dei numeri: dimostrò l'ultimo teorema di Fermat per il caso n=5, dimostrò l'irrazionalità di $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$ e scoprì la legge di reciprocità quadratica esponendola nella sua forma attuale. Sempre indipendentemente da Gauss congetturò il Teorema dei numeri primi .

Gaspard Monge dette invece contributi fondamentali alla geometria descrittiva .

Nel 1742 Johann Christoph Heilbronner pubblica la Historia matheseos , la prima opera a trattare esplicitamente di storia della matematica.

XIX secolo

Carl Friedrich Gauss

Questo secolo è spesso chiamato L'età dell'oro della matematica . Durante il XIX secolo nacquero i primi periodici matematici come il Journal di Crelle e il Journal di Liouville . I matematici iniziarono a riunirsi nelle facoltà universitarie . Nacquero le prime società matematiche, come la London Mathematical Society. Fu confermato il primato di Parigi grazie a una geniale generazione di matematici, ma nella seconda parte del secolo il centro più importante per gli studi matematici divenne Gottinga dove risiedevano matematici come Gauss, Riemann e Dirichlet.

Algebra

L'algebra ricevette nei primi anni del XIX secolo un grande impulso: Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fu il primo a dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra nel 1799 . Nella sua dimostrazione introdusse il piano complesso che avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'analisi complessa. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e Carl Jacobi (1804-1851) chiarirono il concetto di determinante di una matrice e dimostrarono importanti teoremi di algebra lineare . Jacobi introdusse poi il concetto di matrice jacobiana .

Évariste Galois (1811-1832) e Niels Abel (1802-1829), entrambi morti giovanissimi, studiarono la risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto. Abel dimostrò il teorema di Abel-Ruffini che stabilisce l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto grado. Galois invece stabilì la non risolubilità per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto e il suo lavoro è all'origine della teoria di Galois , importante branca dell' algebra astratta .

Analisi

L'analisi matematica fu invece posta su basi sempre più ben definite. Cauchy definì rigorosamente il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale tra la funzione e la variabile e quello di funzione continua . Chiarì anche il concetto di limite anche se Karl Weierstrass formalizzò meglio la sua definizione. Bernhard Riemann chiarì invece il concetto di integrale ( integrale di Riemann ). Bernhard Bolzano aveva sviluppato molte di queste definizioni precedentemente, ma la sua opera restò sconosciuta per decenni.

Grazie a questi passi avanti, Cauchy riuscì a estendere i concetti del calcolo infinitesimale alle funzioni a variabile complessa scoprendo il teorema integrale e la formula integrale di Cauchy . Scoprì anche il criterio di convergenza di Cauchy . Oltre ai già menzionati contributi all' algebra lineare Cauchy si occupò anche di statistica (variabile casuale di Cauchy ), meccanica e soprattutto teoria dei numeri . Arrivò vicino a dimostrare l' ultimo teorema di Fermat .

Partendo da un precedente lavoro di Abel , Jacobi diede importanti contributi alla comprensione degli integrali ellittici scoprendo la doppia periodicità di alcuni di essi e introducendo le funzioni ellittiche jacobiane. Joseph Fourier invece studiò il movimento ondulatorio e il calore . Introdusse poi le serie di Fourier e la trasformata di Fourier .

Teoria dei Numeri

Carl Gauss fu senza dubbio uno dei matematici più importanti del secolo e di tutti i tempi. Visse buona parte della sua vita a Gottinga che divenne ben presto uno dei centri più importanti della matematica europea. Ricercò in quasi tutte le branche della matematica. Dopo aver dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra, si occupò soprattutto di teoria dei numeri pubblicando nel 1801 le Disquisitiones Aritmeticae . La teoria dei numeri vide in questo secolo l'introduzione di nuovi concetti sempre più legati ai metodi analitici. Nelle Disquisitiones Gauss introduceva l' aritmetica modulare , che avrebbe facilitato moltissimo la scrittura e la comprensione di teoremi relativi a questo campo d'indagine. Sempre in questo volume introduceva il concetto di intero gaussiano . Congetturò poi indipendentemente da Legendre il metodo dei minimi quadrati e il teorema dei numeri primi , che mette in relazione la distribuzione di questi con la funzione logaritmica. Il teorema sarà dimostrato solo nel 1894 da Jacques Hadamard e Charles de La Vallée-Poussin. Gauss fu anche un grande statistico; la variabile casuale normale che descrive la distribuzione degli errori è dovuta a lui.

Alla morte di Gauss, Peter Gustav Dirichlet ( 1805 - 1859 ) gli successe nel suo posto di insegnante. Egli dimostrò il teorema secondo il quale in tutte le progressioni aritmetiche si trovano infiniti numeri primi , ( teorema di Dirichlet ) usando complessi metodi analitici. Introdusse anche la convoluzione di Dirichlet .

Il lavoro più importante nella teoria dei numeri fu però quello di Bernhard Riemann (1826-1866), il successore di Dirichlet a Gottinga che in un articolo del 1859 introdusse formalmente la funzione zeta di Riemann . Egli capì il collegamento di questa con la distribuzione dei numeri primi e studiando i valori complessi della funzione zeta congetturò che tutti i suoi zeri complessi avessero parte reale un mezzo. Questa congettura nota come ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta; se lo fosse, potrebbero essere dimostrati moltissimi teoremi, tra cui una formula che approssima la distribuzione dei numeri primi nella maniera migliore possibile.

Joseph Liouville dimostrò nel 1844 l'esistenza di numeri trascendenti costruendo appositamente alcuni esempi come la costante di Liouville . Successivamente Charles Hermite dimostrò la trascendenza di e e Ferdinand von Lindemann quella di π . Grazie a queste ed altre scoperte si dimostrò la non risolubilità con riga e compasso dei tre problemi classici dell' antica Grecia .

Geometria

Nel XIX secolo la geometria , dopo un secolo in cui non aveva fatto praticamente progressi, ritornò ad essere una materia importante di studio. Gauss trovò le condizioni per cui un poligono regolare poteva essere costruito usando solo riga e compasso , risolvendo un problema che restava aperto da millenni. Sempre Gauss diede inizio ad una nuova branca della geometria, la geometria differenziale , introducendo il concetto di curvatura di una superficie.

Schema delle principali geometrie: ellittica, iperbolica ed euclidea

Jakob Steiner (1796-1863) dimostrò che tutte le figure costruibili usando riga e compasso possono essere costruite usando solo la riga e una circonferenza iniziale. Abbozzò poi la prima dimostrazione del problema isoperimetrico che sarebbe stata completata da altri. Julius Plücker introdusse il metodo delle notazioni geometriche abbreviate e dimostrò il principio di dualità . Studiò la possibilità di una geometria a quattro o più dimensioni spaziali. Insieme ad August Ferdinand Möbius introdusse le coordinate omogenee . Möbius introdusse poi la funzione di Möbius e studiò la topologia ( nastro di Möbius ).

Ma l'innovazione più importante del secolo in geometria furono le geometrie non euclidee . Gauss, cercando di dimostrare il V postulato di Euclide , arrivò alla rivoluzionaria conclusione che potevano esistere geometrie indipendenti dal postulato e iniziò a studiare la geometria iperbolica . Janos Bolyai arrivò alla stessa conclusione. Tuttavia il vero sviluppatore della geometria iperbolica fu il russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). In questa geometria per un punto passano infinite rette che non incontrano una retta data, e la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore a 180º.

Il già menzionato Riemann diede un contributo fondamentale allo studio delle geometrie non euclidee definendo il concetto di linea retta come di geodetica di uno spazio. Studiò poi la geometria costruita sulla superficie di una sfera ; la geometria ellittica o riemanniana. In questa geometria non esistono rette parallele, in quanto una retta è un cerchio massimo , e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre superiore a 180º. Riemann si occupò anche di topologia introducendo le superfici di Riemann . Anticipò il concetto di metrica e di tensore . Einstein usò i suoi risultati per descrivere lo spazio della relatività generale .

Il concetto rivoluzionario che stava alla base di queste geometrie faticò molto ad essere accettato. Henri Poincaré (1854-1912), Felix Klein (1849-1925) e Eugenio Beltrami dimostrarono la coerenza e l'indipendenza dal V postulato di queste geometrie, sancendo così la loro accettazione. Inoltre scoprirono il disco di Poincaré e la pseudosfera , due modelli fisici di geometria iperbolica . Poincaré fu anche l'inventore di quella importante branca della topologia nota come topologia algebrica . È perciò spesso considerato come il padre della topologia moderna. Si occupò di quasi tutte le branche della matematica dell'epoca apportando numerosi sviluppi. Scoprì le funzioni fuchsiane. Formulò poi la famosa congettura di Poincaré e introdusse l' attrattore strano ponendosi così tra i precursori della teoria del caos . Si occupò anche di meccanica. Felix Klein invece introdusse il concetto algebrico di gruppo in geometria ottenendo definizioni molto generali. Scoprì anche la famosa superficie topologica nota come bottiglia di Klein .

Algebra astratta

Verso la meta del XIX secolo nacque l' algebra astratta ^[66] . Galois fu precursore in questo campo introducendo i concetti di gruppo e di permutazione . La teoria dei gruppi è anticipata già da lavori di Lagrange e Cauchy ma soprattutto di Abel ( gruppo abeliano ). Galois fu il primo a collegarla con la teoria dei campi nei suoi lavori sulla risolubilità delle equazioni. Questi lavori vennero poi formalizzati e sviluppati da Leopold Kronecker .

Le nuove teorie algebriche ricevettero attenzione in Inghilterra dove da più di un secolo la matematica era caduta in una fase di torpore. L'irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865), volendo estendere alla terza dimensione il piano di Gauss, introdusse i quaternioni , creando così un'algebra del tutto nuova dove non valevano tutte le regole di quella ordinaria, venendo a mancare la proprietà commutativa della moltiplicazione. Hamilton arrivò anche a riformulare in maniera astratta la meccanica lagrangiana ( meccanica hamiltoniana ) e dimostrò il teorema di Cayley-Hamilton . Arthur Cayley studiò invece l'algebra delle matrici definendo i concetti di moltiplicazione e somma su questi enti. Studiò l'algebra degli ottetti chiamata spesso anche algebra di Cayley .

George Boole (1815-1864), infine, definì le operazioni algebriche per gli insiemi , dando inizio così alla cosiddetta algebra di Boole . Questa teoria avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo della logica matematica , di cui Boole può benissimo essere considerato il padre, e della teoria dell'informazione .

Logica, Teoria degli insiemi

Nella seconda metà del secolo si incominciò a studiare il concetto di numero, cercando di definirlo logicamente. Weiestrass e Richard Dedekind definirono il concetto di numero reale partendo da quello di numero naturale e di numero razionale . Il logico Gottlob Frege (1848-1925) cercò di definire il concetto di numero naturale su basi logiche, riconducendo così l'intera matematica alla logica . Tuttavia la sua definizione che si basava sul concetto di cardinalità di un insieme fu messa in crisi all'inizio del secolo successivo. Giuseppe Peano (1858-1932) tentò invece di basare la matematica in modo assiomatico . Introdusse quindi cinque assiomi che descrivevano il concetto di numero naturale spesso chiamati assiomi di Peano . Anche questo tentativo era però destinato a fallire.

Dedekind definì per primo l'infinità di un insieme come il fatto che un suo sottoinsieme potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con esso. Partendo da questo lavoro Georg Cantor (1845-1918) iniziò a studiare gli insiemi infiniti, scoprendo che i numeri interi sono tanti quanti i numeri razionali (ossia i due insiemi hanno la stessa potenza) ma che l'insieme infinito dei numeri reali è più grande di quello dei razionali. Congetturò poi che non vi fossero altre potenzialità di infinito tra questi due insiemi. La congettura è chiamata ipotesi del continuo . Queste scoperte paradossali generarono scetticismo nella comunità dei matematici: nonostante ciò, le idee di Cantor sono alla base della moderna teoria degli insiemi .

XX secolo

David Hilbert

Prima del ventesimo secolo , il numero di matematici creativi attivi contemporaneamente nel mondo era inferiore al centinaio ^{[ senza fonte ]} . I matematici erano di norma benestanti o supportati da ricchi possidenti. Vi erano pochi impieghi possibili, quali insegnare nelle università o nelle scuole superiori. La professione del matematico divenne realtà solo nel ventesimo secolo. I matematici iniziarono a lavorare in gruppo. Il centro dell'attività matematica nella prima metà del secolo fu Gottinga per poi divenire negli anni cinquanta Princeton . Furono istituiti vari premi matematici, a partire dalla medaglia Fields ( 1936 ) e il premio Wolf per la matematica ( 1978 ), mentre manca il premio Nobel per la matematica.

In questo secolo si vide una moltiplicazione di teoremi e scoperte matematiche. Per stabilire delle linee guida, David Hilbert (1862-1947) in un congresso del 1900 enunciò 23 problemi che avrebbero dovuto fare da guida nella matematica novecentesca. Molti di questi problemi sono stati risolti, positivamente o negativamente, ma restano aperti l' ottavo e il dodicesimo. Hilbert fu un matematico di prim'ordine. Dimostrò il teorema di finitezza e studiò le equazioni integrali introducendo gli spazi di Hilbert . La sua opera più importante fu comunque un'assiomatizzazione completa e rigorosa della geometria ottenuta nel suo Grundlagen der Geometrie .

Teoria degli insiemi

Lo stesso argomento in dettaglio: Crisi dei fondamenti della matematica .

Nel 1901 invece Bertrand Russell (1872-1970) espose, in una lettera a Frege , il cosiddetto paradosso di Russell che metteva in discussione la sua formulazione della teoria degli insiemi e dunque della matematica . Questa scoperta portò Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel a riformulare la teoria su base assiomatica: il cosiddetto sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel . Solitamente a questi viene aggiunto anche l' assioma della scelta senza il quale non si possono dimostrare alcuni importanti teoremi (il sistema risultante è solitamente chiamato ZFC ). L'indipendenza di questo assioma dal sistema di Zermelo-Fraenkel è stata provata da Paul Cohen nel 1963 . Anche Russell cercò parallelamente di rifondare la matematica su degli assiomi. Insieme a Alfred North Whitehead scrisse il monumentale Principia Mathematica . Il "fallimento" di queste impostazioni assiomatiche (inclusa quella tentata da Giuseppe Peano ) fu decretato nel 1931 da Kurt Gödel (1906-1978) con il suo famoso teorema di incompletezza , secondo il quale in ogni sistema assiomatico coerente esistono proposizioni indecidibili (che non possono essere né dimostrate né confutate). Lo sgomento causato dal teorema aumentò quando Gödel e Cohen dimostrarono che l' ipotesi del continuo è indipendente dal sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel .

Analisi

In analisi Henri Lebesgue riformulò nel 1902 il concetto di integrale introducendo la misura di Lebesgue ( integrale di Lebesgue ). Ciò comporta un ampliamento della classe delle funzioni integrabili rispetto alla definizione data da Riemann . Furono poi introdotte funzioni improprie come la funzione gradino di Heaviside e la funzione delta di Dirac . Tramite il concetto di distribuzione Laurent Schwartz estese il concetto di derivata alle funzioni integrabili secondo Lebesgue. Abraham Robinson definì i numeri iperreali , estensione di quelli reali con cui diede vita alla cosiddetta Analisi non standard che recupera, definendoli in modo rigoroso, molti dei concetti intuitivi usati da Leibniz come quello di infinitesimo . Successivamente furono introdotti i numeri surreali .

Algebra

Ernst Steinitz apportò importanti contributi all' algebra e allo studio dei campi . Ciò portò a una classificazione dei campi algebricamente chiusi . La classificazione dei gruppi semplici finiti fu invece più difficoltosa. Daniel Gorenstein annunciò il programma per la loro classificazione nel 1972 . Questa tenne impegnati un centinaio di matematici, tra cui John Conway (1937-2020), fino al 1985 , anno in cui fu completata. Durante questa classificazione fu anche trovato il " Mostro ", un gruppo semplice costituito da circa $10^{53}$ $10^{53}$ $10^{53}$ elementi. Si è scoperto poi che le strutture algebriche hanno molta importanza nella fisica delle particelle .

Topologia

Uno dei campi di studio principali del secolo fu la topologia . Nel 1910 Luitzen Brouwer dimostrò l'importante teorema del punto fisso . Si iniziarono a studiare le superfici minime ottenendo risultati importanti come la risoluzione del problema di Plateau . In topologia differenziale , John Milnor scoprì che una varietà topologica può ammettere più strutture differenti come varietà differenziale . Stephen Smale risolse la congettura di Poincaré per tutte le dimensioni superiori a 5. La dimostrazione fu quindi estesa in dimensione 5, e in dimensione 4 da Michael Freedman all'inizio degli anni 80. Nello stesso periodo William Thurston introdusse nuove prospettive geometriche nello studio delle varietà tridimensionali, culminanti nella Congettura di geometrizzazione . Nel ventesimo secolo ci si interessò anche alla Teoria dei nodi , e si cercò di classificarli introducendo nuovi invarianti.

Teoria dei numeri

Anche la teoria dei numeri ricevette un grande impulso. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) dimostrò molti importanti teoremi e formule. Tra queste molte che consentono di calcolare pi e la funzione di partizione . Introdusse la funzione mock theta . Aleksander Gelfond dimostrò il teorema di Gelfond , risolvendo parzialmente la congettura sui numeri trascendenti contenuta nel settimo problema di Hilbert . Atle Selberg (1917-2007) e Paul Erdős (1913-1996) dettero nel 1949 una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi . Erdös fu un matematico molto prolifico. Operò soprattutto in teoria dei numeri , calcolo combinatorio e teoria dei grafi ottenendo risultati importanti. In suo onore i matematici hanno definito il numero di Erdős . Nel 1994 , dopo anni di lavoro, Andrew Wiles dimostrò l' Ultimo teorema di Fermat . La sua dimostrazione usa molte tecniche di algebra moderna. Alcuni di questi strumenti erano stati oggetto di lavoro di André Weil , un matematico che si era interessato di equazioni diofantee , curve ellittiche e gruppi di Lie .

Geometria

Il frattale di Mandelbrot

In geometria , dopo la classificazione dei 230 gruppi di simmetria spaziali e dei 7 lineari, furono classificati i 17 tipi di simmetrie planari e si iniziò a studiare le tassellature. Roger Penrose scoprì la tassellatura di Penrose che copre il piano in modo aperiodico. Alain Connes sviluppò la geometria non commutativa. Due importanti congetture sono state risolte usando in modo massiccio il computer : la congettura di Keplero ( 1998 ) riguardante gli impacchettamenti sferici e il Teorema dei quattro colori ( 1976 ) secondo il quale ogni mappa più essere colorata senza che due regioni confinanti abbiano lo stesso colore usando soltanto 4 colori. L'uso del computer è stato fondamentale nello studio dei frattali , curve dotate di area finita e perimetro infinito che non hanno dimensione intera. Questo studio, iniziato all'inizio del secolo da Gaston Julia ( insieme di Julia ) e Helge von Koch ( curva di Koch ) e incagliatosi per le difficoltà di calcolo fu ripreso da Benoît Mandelbrot (1924-2010) negli anni ottanta . Si deve a Mandelbrot la definizione degli oggetti frattali, fra questi il famoso insieme di Mandelbrot , oltre alle applicazioni in vari campi, fra cui l' economia .

Informatica

Alan Turing (1912-1954), considerato uno dei padri dell'informatica, introdusse idee fondamentali per il successivo nascere di questa materia. Introdusse i concetti di macchina di Turing e Test di Turing . I suoi lavori sono alla base dell' Intelligenza artificiale . Durante la Seconda guerra mondiale aiutò gli alleati a decifrare i messaggi in codice nazisti . Dopo la guerra, in quanto omosessuale, fu costretto a subire una cura ormonale che lo portò al suicidio . John von Neumann (1903-1957), una figura dominante nella matematica novecentesca, invece introdusse l'importante concetto di architettura di von Neumann e studiò la possibilità di una macchina autoreplicante. Successivamente George Dantzig introdusse il metodo di programmazione lineare chiamato metodo del simplesso . Claude Shannon sviluppò la teoria dell'informazione . Grazie alla sua analisi del gioco degli scacchi oggi i computer possono vincere giocando a scacchi con dei campioni.

Teoria dei giochi ed economia

John von Neumann

A Von Neumann , ed in buona parte anche a Morgenstern , si deve anche lo sviluppo della teoria dei giochi . La teoria dei giochi si occupa della modellizzazione di una situazione di interazione strategica ed analizza quali possano essere le strategie migliori da utilizzare. Tra i più importanti lavori di von Neumann in questo campo c'è la dimostrazione del teorema di minimax. Successivamente John Nash (1928-2015) introdusse il concetto fondamentale di equilibrio di Nash , importante anche in economia. Strettamente connessa alla teoria dei giochi è la trattazione matematica dell' economia già iniziata negli ultimi anni del secolo precedente. Nel secondo dopoguerra vi è stato uno straordinario sviluppo dei metodi matematico-formali in economia, in particolare utilizzando la teoria dei giochi: fra i risultati più significativi, il teorema di esistenza dell' equilibrio economico generale , dimostrato da Kenneth Arrow e Gérard Debreu .

Andrey Nikolaevich Kolmogorov riuscì, facendo ricorso alla misura di Lebesgue , ad assiomatizzare il calcolo delle probabilità . Von Neumann invece assiomatizzò la meccanica quantistica . Nel ventesimo secolo si iniziò ad analizzare matematicamente la struttura del linguaggio. Axel Thue definì in termini matematici il concetto di grammatica. Noam Chomsky classificò invece i vari tipi di linguaggi in base al tipo di produzioni grammaticali permesse.

Edward Norton Lorenz, studiando metodi per la previsione del tempo atmosferico , scoprì il cosiddetto attrattore di Lorenz , dando così inizio alla teoria del caos . Questa studia i sistemi caotici , quei sistemi, cioè, in cui piccole variazioni delle condizioni iniziali portano a variazioni consistenti nel tempo. La teoria ha importanti applicazioni nella meteorologia .

Filosofia matematica

Nel novecento si crearono due scuole di pensiero opposte riguardo al significato della matematica. I realisti ( Kurt Gödel ) credono che le entità matematiche in qualche modo esistano e che le verità matematiche siano verità assolute. Invece i formalisti ( David Hilbert ) credono che gli enunciati matematici siano in realtà conseguenze di alcuni assiomi e regole deduttive e che gli enunciati matematici non abbiano una validità assoluta ma limitata al sistema preso in considerazione.

Si crearono poi le scuole di pensiero costruttivista e intuizionista . Queste correnti di pensiero rigettano alcuni principi matematici come ilprincipio del terzo escluso e l' infinito attuale (e di conseguenza tutti gli algoritmi infiniti). L'intuizionismo, sviluppato da Luitzen Brouwer , in particolare sostiene che i principi fondamentali della matematica siano nella intuizione individuale e nella mente del matematico.

XXI secolo

A imitazione dei problemi di Hilbert , nel 2000 l' Istituto matematico Clay ha compilato una lista di sette problemi per il millennio , offrendo un milione di dollari per la risoluzione di ciascuno di essi. L'unico ad essere stato risolto di questi è la congettura di Poincaré ; essa è stata dimostrata nel 2006 da Grigori Perelman , il quale ha però rifiutato il premio e la medaglia Fields . Tra i problemi del millennio vi sono anche alcuni problemi matematici tutt'oggi ( 2018 ) irrisolti come l' Ipotesi di Riemann e il problema P contro NP . Restano ancora irrisolte anche la congettura di Goldbach e la congettura dei numeri primi gemelli .

Cronologia

Cronologia della matematica: le linee continue indicano contatti confermati, quelle tratteggiate indicano contatti possibili

Note

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Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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Un itinerario attraverso la matematica italiana contemporanea di Enrico Giusti e Luigi Pepe
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Portale Matematica

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[laught-24] Ernest Peter Fisher, Aristotele, Einstein e gli altri , 1997, p. 139.

[25] Boyer 1991 p. 143

[26] Boyer 1991 p. 145

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[28] Plutarco , Vita di Marcello, 19, 9

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[33] Development of Mathematics in Ancient China , su saxakali.com . URL consultato il 3 luglio 2007 (archiviato dall' url originale il 4 luglio 2007) .

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[declino-57] Boyer 1990, p. 284

[58] Boyer 1991 pp. 293-294

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[60] Boyer 1991 p. 308-309

[61] Boyer 1991 p. 312

[62] Pablo Martín Prieto, Las matemáticas en la Edad Media: una historia de las matemáticas en la Edad Media occidental , Madrid, La Ergástula, 2015

[63] Umberto Bottazzini La "grande arte": l'algebra nel Rinascimento in Storia della Scienza Vol. 1 (a cura di) Paolo Rossi p. 69

[64] Uno dei più grandi matematici del periodo François Viète riuscendo a risolvere un'equazione di grado 45 con l'utilizzo della trigonometria considerò tuttavia solo le soluzioni positive cit. Boyer 1991 p. 358

[65] William Dunham, Euler, the master of us all , The Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0

[66] Giusto Bellavitis, Considerazioni sulla matematica pura , in Memorie dell'IR Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , vol. 15, Venezia, 1870.

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