Grundlagen der Geometrie
Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Grundlagen der Geometrie ( Fundamentele geometriei ) este un volum publicat de David Hilbert în 1899 , care a avut un succes atât de mare încât a influențat multe evoluții din matematica secolului XX .
Scopul autorului este de a oferi o rigoare și un formalism axiomatic (comparabil cu cele ale algebrei și ale analizei matematice ) și geometriei , disciplină care pe parcursul întregului secol al XIX-lea a avut progrese fără precedent, a obținut rezultate numeroase și importante, a stabilit obiective ambițioase (a se vedea programul Erlangen ), dar căruia îi lipseau încă temeliile solide din punct de vedere logic.
În Elemente, Euclid folosește o structură deductivă, dar adesea folosește definiții ale sensului și presupuneri care vor rămâne implicite; mai mult, în unele momente, îi lipsește rigoarea logică.
Hilbert, conștient de faptul că în matematică nu toate entitățile pot face obiectul unor definiții riguroase, folosește trei obiecte de bază pe care le lasă nedefinite: punctul, linia și planul; folosește, de asemenea, șase relații nedeterminate: a fi activat, a fi în, a fi între, a fi congruent cu, a fi paralel cu, a fi continuu .
Urmează apoi douăzeci de axiome în lucrare, numită astăzi Axiome ale lui Hilbert , în care intervin opt relații de incidență, patru proprietăți de ordonare, cinci relații de congruență, două de continuitate și, în final, un postulat pe paralelism, echivalent în esență cu postulatul euclidian. . Nu este corect să atribuiți tuturor entităților proprietăți nedefinite formal, diferite de cele indicate în axiome; în acest moment relațiile devin simple corespondențe.
Rezultatul acestei lucrări de axiomatizare este realizarea unui grad de abstractizare ridicat, mult mai mare în conștientizare și robustețe logică decât cel al geometriei pre-Hilbert.
Grundlagen der Geometrie au fost pionierii unei „școli axiomatice”, a unui nou mod de a trata geometria; de fapt, au existat numeroase texte ulterioare care propun diferite seturi de axiome ca punct de plecare, alternativ la cele ale lui Hilbert.
Volumul în cauză începe cu o propoziție din Kant : „Toate cunoștințele umane pleacă de la intuiții, continuă prin concepte și culminează cu idei” ; Reflecția lui Hilbert este articulată asupra acestui gând, dar el este plasat în mod hotărât într-o viziune opusă gândirii lui Kant. Rezultatele geometriei secolului al XIX-lea , pornind de la criza geometriei neeuclidiene , fac de fapt necesitatea abandonării nivelului empirico-intuitiv tipic geometriei clasice: punctele, liniile și planurile sunt pur și simplu elemente ale mulțimilor date; în acest sens, Hilbert va spune că, în loc de puncte, linii și avioane, s-ar putea vorbi despre pahare, pahare și cani de bere.
Ideea care stă la baza Grundlagen der Geometrie a stat la baza poziției filosofice a formalismului în matematică și a fost apoi exagerată de unii adepți ai lui Hilbert, până la punctul în care matematica este un joc fără sens, cu marcaje fără sens., Conform regulilor formale care doar trebuie să fie convenite de la început.
Bibliografie
- David Hilbert, Fundamentele geometriei. Cu suplimente de Paul Bernays , Milano, Franco Angeli Editore, 2009.
