Axiomele lui Hilbert

În 1899 , David Hilbert și-a scris Grundlagen der Geometrie , în care a dat o aranjare axiomatică geometriei euclidiene .

Axiomele

Concepte primitive

Conceptele primitive sunt punctul , linia și planul . Există, de asemenea, trei relații binare primitive:

Conține : un punct poate fi conținut într-o linie sau într-un plan, iar o linie poate fi conținută într-un plan;
Stai în mijloc : un punct poate fi în mijlocul altor două;
Congruență , indicată cu simbolul „≡”: unghiurile și segmentele pot fi congruente.

Segmentul dintre două puncte A și B este definit ca mulțimea care conține ambele puncte dintre A și B , atât A cât și B.

Să presupunem că punctele sunt aliniate dacă sunt conținute într-o linie dreaptă, coplanare dacă sunt conținute într-un plan.

I. Axiome de conectare

Două puncte distincte din spațiu identifică o linie dreaptă.
Fiecare pereche de puncte ale unei linii identifică această linie.
Trei puncte neliniate din spațiu identifică un plan.
Orice triada de puncte nealiniate ale unui plan identifică acel plan.
Dacă două puncte ale unei linii se află pe un plan, toate punctele liniei se află pe acel plan.
Dacă două etaje au un punct comun, vor avea cel puțin un al doilea punct comun.
Fiecare linie conține cel puțin două puncte, fiecare plan conține cel puțin trei puncte neliniate.
Există cel puțin patru puncte care nu se află în același plan.

II. Axiomele de ordonare

Dacă un punct A este între B și C , A este, de asemenea, între C și B , iar cele trei puncte sunt aliniate
Având în vedere două puncte distincte A și B , există un al treilea și al patrulea punct C și D pe linia dreaptă care trece prin A și B astfel încât A este între C și B și B este între A și D
Având în vedere trei puncte distincte și aliniate, există exact unul care se află între celelalte două
( Axioma lui Pasch ). Fie date trei puncte neliniate A , B și C , conținute într-un plan p și o dreaptă d conținută în p care nu conține niciunul dintre cele trei puncte A, B, C: dacă d conține un punct al segmentului AB , atunci conține și un punct al unuia dintre cele două segmente AC și BC .

III. Axiome de congruență

Dacă A, B sunt două puncte ale unei linii a și, în plus, A 'este un punct pe aceeași linie sau pe o altă linie a', putem găsi întotdeauna un punct B ', dintr-o parte dată a liniei a' în raport cu A ', astfel încât segmentul AB este congruent, adică egal cu segmentul A'B'. În simboluri: AB ≡ A'B '.
Relația de congruență dintre segmente este tranzitivă , adică dacă A′B ′ și A′′B ′ ′ sunt congruente cu AB , atunci A′B ′ ≡ A′′B ′ ′ .
Fie AB și BC segmente pe o dreaptă r fără puncte interioare comune și fie A′B ′ și B′C ′ segmente pe o dreaptă r ′ fără puncte interioare comune. Dacă AB ≡ A′B ′ și BC ≡ B′C ′ , atunci AC ≡ A′C ′ .
Fie ABC un unghi și B'C ' o rază, există și sunt unice două raze B'D și B'E , astfel încât unghiul DB'C' este congruent cu unghiul ABC și unghiul EB'C ' este congruent cu unghiul ABC .
Relația de congruență dintre unghiuri este tranzitivă, adică dacă A′B′C ′ și A′′B′′C ′ ′ sunt congruente cu ABC , atunci A′B′C ′ ≡ A′′B′′C ′ ′ .
(Primul criteriu de congruență al triunghiurilor ^[1] ). Dacă pentru două triunghiuri ABC și A′B′C ′ avem acel AB ≡ A′B ′ , AC ≡ A′C ′ și unghiul BAC ≡ la unghiul B′A′C ′ , atunci întregul triunghi ABC ≡ la triunghiul A′B′C ′ .

Corolarul punctului 1: fiecare segment este congruent cu el însuși.

Corolarul punctului 4: fiecare unghi este congruent cu el însuși.

IV. Axioma paralelelor

( Postul Playfair ): Având în vedere o dreaptă r , un punct A care nu este în r și un plan p care le conține pe ambele, există cel mult o linie în p care conține A și care nu conține niciun punct în r .

Existența a cel puțin unei linii drepte prin A care nu intersectează r poate fi dovedită și, prin urmare, nu este necesară în acest sistem axiomatic, dacă luăm în considerare geometria euclidiană. Este necesar să precizăm că într-o geometrie sferică sau eliptică nu există linii paralele, dar postulatul rămâne corect datorită formulării sale.

V. Axiome ale continuității

( Axioma lui Arhimede ). Dacă AB și CD sunt două segmente, atunci există pe linia care conține AB o familie de puncte A ₁, A ₂, ..., A _n astfel încât segmentele AA ₁, A ₁ A ₂, A ₂ A ₃, ..., A _{n -1} A _n , sunt congruente cu CD și astfel încât B se află între A și A _n .
( Axioma completitudinii ). La un sistem de puncte, linii și plane este imposibil să adăugați alte elemente geometrice, astfel încât sistemul astfel generalizat să formeze o nouă geometrie ascultătoare tuturor celor douăzeci de axiome anterioare. Cu alte cuvinte, elementele geometriei formează un sistem care nu este susceptibil de extindere, cu condiția ca cele douăzeci de axiome ale sistemului axiomatic al lui Hilbert să fie considerate valide.