Axioma lui Pasch

Axioma lui Pasch , numită după matematicianul german Moritz Pasch , este una dintre axiomele pe care Hilbert le-a adăugat la postulatele lui Euclid pentru a le face complete și axiomatiza complet geometria planului.

Afirmația axiomei, care face parte din familia axiomelor de ordonare , este următoarea:

Dacă o linie intersectează o parte a unui poligon trilateral închis într-un punct intern, atunci aceasta intersectează una și numai una dintre celelalte două laturi într-un punct intern sau se intersectează ambele la capătul comun.

Afirmația sa este simplificată în:

Având în vedere un triunghi în plan, o linie care traversează o parte într-un punct diferit de o extremă, trebuie să intersecteze în mod necesar o alta dintre cele două laturi sau vârful comun între ele.

Dovezile intuitive ale acestei afirmații sunt atât de puternice încât este dificil să ne gândim la nevoia de a o postula în mod explicit. Moritz Pasch , în 1882 , a înțeles imposibilitatea deducerii acesteia ca o consecință a celorlalte axiome. Pasch a evidențiat și alte ipoteze implicite și nedeclarate făcute de Euclid .

Hilbert, în Grundlagen der Geometrie , a adunat aceste și alte axiome , pentru a da fundații axiomatice riguroase complete geometriei.

Ceea ce afirmă nu trebuie confundat cu teorema lui Pasch , având ca obiect ordonarea punctelor pe linia dreaptă.

Independența față de alte postulate

În 1970 , matematicianul Lesław W. Szczerba a oferit un exemplu ^[1] de geometrie în care sunt valabile axiomele geometriei euclidiene, dar nu și axioma lui Pasch.

Dovada ^[2] se bazează pe existența unei soluții discontinue a ecuației funcționale $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$ ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$ , cu $f(1)=1$ ${\ displaystyle f (1) = 1}$ ${\ displaystyle f (1) = 1}$ . Dacă definiți o relație de sortare parțială $<^{\star }$ ${\ displaystyle <^ {\ star}}$ ${\ displaystyle <^ {\ star}}$ în felul următor: $x<^{\star }y\Longleftrightarrow f(x)<f(y)$ ${\ displaystyle x <^ {\ star} y \ Longleftrightarrow f (x) <f (y)}$ ${\ displaystyle x <^ {\ star} y \ Longleftrightarrow f (x) <f (y)}$ apoi cuaternul $(\mathbf {R} ,+,\cdot ,<^{*})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {R}, +, \ cdot, <^ {*})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {R}, +, \ cdot, <^ {*})}$ rezultatele câmpului semi-ordonate. De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este continuu, planul cartezian construit pe acest câmp satisface axiomele geometriei euclidiene, dar nu și axioma lui Pasch. Rețineți că această dovadă necesită axioma alegerii .

O dovadă alternativă se bazează pe faptul că planul cartezian fără o bandă „verticală” ar fi un model de plan euclidian în absența axiomei lui Pasch.

Notă

^ Lesław W. Szczerba, Independența axiomei lui Pasch , în Bull. Acad. Polon. Schi. Sér. Schi. Tech. , (11), nr. 18, 1970, pp. 659-666.
^ Andrew Adler, Determinarea și axioma Pasch, Canad. Math Bull. , (16), nr. 2, 1973, pp. 159-160. Adus pe 2Url-Invalidato-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[paper-1] Lesław W. Szczerba, Independența axiomei lui Pasch , în Bull. Acad. Polon. Schi. Sér. Schi. Tech. , (11), nr. 18, 1970, pp. 659-666.

[paper2-2] Andrew Adler, Determinarea și axioma Pasch, Canad. Math Bull. , (16), nr. 2, 1973, pp. 159-160. Adus pe 2Url-Invalidato-1 .

[1]

[2]