Criterii de congruență ale triunghiurilor

În geometrie , criteriile de congruență ale triunghiurilor sunt un postulat și două teoreme prin care este posibil să se demonstreze congruența dintre triunghiuri , dacă unele dintre unghiurile sau laturile lor sunt congruente. Există trei criterii de congruență, la care se poate adăuga un al patrulea care nu este altceva decât o formulare alternativă a celui de-al doilea.

Primul criteriu

„ Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi congruente și unghiul dintre ele ”

Acest criteriu trebuie luat ca postulat . Euclid , în Elemente , oferă o demonstrație , efectuată prin transportul segmentelor și unghiurilor (I, 4). Totuși, această metodă este nevalidă, așa cum a arătat matematica modernă, astfel încât întreaga dovadă este invalidată, așa cum a subliniat David Hilbert . ^[1] ^[2] Acest criteriu constituie axioma III.6 a axiomelor lui Hilbert . Nu poate fi generalizat sub forma a două triunghiuri care sunt congruente dacă au un unghi, una dintre laturile adiacente și latura opusă acestuia îngrijit , așa cum se face în al doilea criteriu . Se mai numește și criteriul LAL (Side-Angle-Side).

Al doilea criteriu

„ Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și două unghiuri adiacente, respectiv congruente ”

Dacă al cincilea postulat al lui Euclid este acceptat ca valid, se poate arăta că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este întotdeauna egală cu un unghi plat ; din acest motiv, dacă sunt cunoscute două unghiuri ale unui triunghi, este întotdeauna posibil să se determine al treilea și, prin urmare, criteriul poate fi generalizat la: Doi triunghiuri sunt congruente dacă au o parte și oricare două unghiuri congruente în mod ordonat .

Al doilea criteriu (în formularea sa originală) este totuși demonstrabil fără a utiliza cel de-al cincilea postulat al lui Euclid. Din acest motiv manualele raportează de obicei ambele formulări și adesea cea de-a doua (cea care folosește teorema asupra sumei unghiurilor interne ale unui triunghi) se numește al doilea criteriu generalizat .

Se mai numește și criteriul ALA (Angle-Side-Angle).

Demonstrație

Luați în considerare triunghiurile ABC și A'B'C '. Prin ipoteză, AC și A'C 'sunt congruente, ca unghiurile din A și A' și unghiurile din C și C '.

Acum să admitem, în mod absurd, că cele două triunghiuri nu sunt congruente. Apoi AB> A'B 'sau AB <A'B'. Luați în considerare cazul în care AB> A'B '(ar fi analog să luăm în considerare celălalt caz.) Atunci există un punct P în interiorul AB astfel încât AP să fie congruent cu A'B'.

Triunghiurile APC și A'B'C 'ar avea:

AP și A'B 'congruente (prin construcție);
AC și A'C 'congruente (prin ipoteză);
Unghiurile din A și A 'congruente (întotdeauna prin ipoteză);

Astfel, după primul criteriu , triunghiul APC ar fi congruent cu A'B'C '. Apoi colțul $A{\hat {C}}P$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} P}$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} P}$ ar fi congruent cu cel din C '. Dar, ipotetic, de asemenea $A{\hat {C}}B$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} B}$ $A {\ hat {C}} B$ este congruent cu unghiul din C '. Astfel, pentru proprietatea tranzitivă a congruenței, $A{\hat {C}}P$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} P}$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} P}$ ar fi congruent cu $A{\hat {C}}B$ ${\ displaystyle A {\ hat {C}} B}$ $A {\ hat {C}} B$ ceea ce este evident absurd. Deci, nu mai rămâne decât să negăm ipoteza că cele două triunghiuri nu sunt congruente, adică teza.

Generalizare

Alte texte, care urmează linia demonstrativă a Elementelor lui Euclid, ^[3] demonstrează, de asemenea, un criteriu suplimentar, care afirmă că două triunghiuri sunt congruente dacă au două unghiuri și o parte îngrijită . Adesea această formulare se numește al patrulea criteriu de congruență sau generalizarea celui de-al doilea criteriu de congruență .

Al treilea criteriu

„ Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile bine congruente ”

În Elementele I, 8 Euclid oferă o dovadă a acestei teoreme folosind mișcare rigidă . Ca și în cazul propoziției I, 4 (primul criteriu de congruență), dovada euclidiană nu este valabilă, dar matematica modernă folosește o altă dovadă pentru care acest criteriu nu ar trebui considerat postulat.

Se mai numește și criteriul LLL (Side-Side-Side).

Demonstrație

Fie ABC, A'B'C 'două triunghiuri cu AB = A'B', AC = A'C ', BC = B'C'. Construiți, în B, în jumătatea planului creat de BC care nu conține A un unghi egal cu cel din B 'și latura BA "congruentă cu B'A' și trageți îmbinarea A" C. Acum triunghiurile A'B'C 'și A "BC au două laturi congruente (BC = B'C' prin ipoteză, BA" = B'A 'prin construcție), iar unghiul dintre ele este congruent (A "BC = A'B'C 'prin construcție) Prin urmare, acestea sunt congruente pentru primul criteriu.

În special, A'C '= A "C din care, prin proprietatea tranzitivă, AC = A" C.

Apoi trageți unirea AA ". Deoarece triunghiul BAA" este isoscel (are de fapt două laturi egale, AB = A'B 'prin ipoteză, BA "= B'A' prin construcție, deci AB = BA" prin tranzitiv proprietate), unghiurile BA "A și BAA" sunt congruente. Din același motiv CAA "= CA" A. Dar apoi BA "A + CA" A = BAA "+ CAA", deoarece sunt sume de unghiuri congruente, BAC = BA "C.

Triunghiurile ABC și A "BC au apoi două laturi și un unghi congruent (AB = A" B, AC = A "C), BAC = BA" C), deci sunt congruente pentru primul criteriu. Dar, de asemenea, A'B'C 'este congruent cu A "BC, prin urmare, prin proprietatea tranzitivă, ABC = A'B'C' CVD

Al patrulea criteriu

„ Două triunghiuri sunt congruente dacă au două unghiuri și o latură bine congruente ”

Demonstrație

Fie, prin ipoteză, unghiul A = A 'și C = C' și latura AB = A'B ', dovada tezei AC = A'C' (pentru care triunghiurile ar fi congruente pentru al doilea criteriu ) trebuie efectuată în mod absurd. Prin urmare, negăm teza, adică AC ≠ A'C 'și nu este limitat să presupunem că AC> A'C'. Prin postulatul de transport al segmentului, acest lucru implică faptul că există un D extrem pe AC astfel încât AD = A'C '.

Mă alătur lui D cu B și consider triunghiul ADB; pentru primul criteriu, cele două triunghiuri ABD și A'B'C 'sunt congruente și, în special, unghiul D = C' și, prin urmare, prin proprietate tranzitivă, D = C. Prin urmare, cele două unghiuri D și C vor coincide.

Triunghiuri dreptunghiulare

În cazul triunghiurilor unghiulare, se cunoaște întotdeauna un unghi: cel drept . În plus, datorită teoremei lui Pitagora , având două laturi este întotdeauna posibil să se determine a treia. În consecință, cele trei criterii pot fi simplificate:

doi triunghiuri dreptunghiulare sunt congruente atunci când au două picioare congruente
doi triunghiuri dreptunghiulare sunt congruente atunci când au unul dintre unghiurile acute și hipotenuza sau un catet, congruent
doi triunghiuri dreptunghiulare sunt congruente atunci când au un cateter congruent și hipotenuză

Trebuie avut în vedere faptul că, chiar dacă teorema lui Pitagora face ca ultima dintre cele trei afirmații precedente să fie banală, nu este necesară în scopul probării sale. Pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora, alte concepte sunt, de fapt, necesare în plus față de cea a congruenței , adică cea a echivalenței (mai precis, a echiscomponibilității ) sau cea a similitudinii .

Pentru a o demonstra fără teorema lui Pitagora, de fapt, este suficient să se obțină al doilea triunghi răsturnând primul pe catetul cunoscut: cele două hipotenuze pot fi considerate laturi oblice ale unui triunghi isoscel, demonstrând că unghiurile de la bază (adică cele incluse între hipotenuză și catetus necunoscute) sunt congruente. În acest moment este suficient să se aplice al doilea criteriu de congruență generalizată și s-a demonstrat că cele două triunghiuri dreptunghiulare sunt congruente.

Notă

^ David Hilbert , Foundations of Geometry , Milano, Feltrinelli, 1970, Cap. II, pag. 45.
^ Hilbert demonstrează că este posibil să se definească lungimea unui segment în așa fel încât toate postulatele lui Euclid să fie satisfăcute, dar primul criteriu nu este valid. În consecință, primul criteriu trebuie considerat ca un postulat suplimentar .
^ aceasta este propunerea 26 conținută în cartea 1 a Elementelor: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI26.html

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] David Hilbert , Foundations of Geometry , Milano, Feltrinelli, 1970, Cap. II, pag. 45.

[2] Hilbert demonstrează că este posibil să se definească lungimea unui segment în așa fel încât toate postulatele lui Euclid să fie satisfăcute, dar primul criteriu nu este valid. În consecință, primul criteriu trebuie considerat ca un postulat suplimentar .

[3] sta este propunerea 26 conținută în cartea 1 a Elementelor: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI26.html

[1]

[2]

[3]