Conceptul primitiv

În multe prezentări de noțiuni matematice prin concept primitiv sau noțiune primitivă se înțelege un concept pe care, datorită simplității și intuitivității sale, se renunță să îl definească prin intermediul unor termeni și concepte deja definite într-un sistem formal și care, dimpotrivă, este ales să exploatați pentru a formula definiția altor concepte; de aceea un concept primitiv este acceptat fără explicații deoarece sensul său este evident.

În multe expuneri ale teoriei mulțimilor , mulțimea în sine este considerată un concept primitiv. De fapt, este aproape imposibil să se dea o definiție care să nu recurgă la noțiuni solicitante de logică matematică fără a utiliza termeni precum listă , complex de , agregat , grupare etc. care, în realitate, nu ar fi altceva decât sinonime ale acestui concept.

Multe exponate de geometrie se referă, de asemenea, la entități fundamentale care joacă rolul conceptelor primitive. În geometria euclidiană sunt punctul , linia dreaptă și planul ; acestea sunt de obicei sugerate prin trecerea de la o viziune a entităților sensibile la o viziune imaginativă cu un proces de idealizare care duce la entități formale cu rolul de modele ale corespondenților sensibili. De exemplu, conceptul de punct este sugerat de observarea unui bob de nisip sau a vârfului unui știft; conceptul unei linii drepte dintr-un fir subțire de mătase sau o rază de lumină; conceptul de avion cu suprafața calmă a unui corp de apă.

Axiomatizarea teoriilor și conceptelor primitive

Într-un sistem axiomatic există două tipuri de obiecte „fundamentale”:

unele „concepte nedefinite”, numite concepte primitive , care sunt considerate cunoscute a priori ;
a „afirmațiilor nedovedite”, numite axiome ale sistemului, care sunt considerate adevărate a priori .

Îmbinând „conceptele nedefinite” cu „afirmațiile nedovedite” obținem fundamentul unui sistem deductiv, „punctul de plecare” din care să derivăm toate celelalte teoreme și concepte.

Cu toate acestea, nici o teorie nu se naște direct ca un sistem axiomatic riguros și formal, dar în multe cazuri se dezvoltă mult timp pornind de la intuiția unor concepte fundamentale considerate cunoscute și a unor relații ale acestora care se presupune a fi fundamentale , de asemenea, datorită caracteristicilor lor de dovezi intuitive. De exemplu, putem începe să vorbim despre „împreună” presupunând că toată lumea știe intuitiv ce este un întreg, întrucât dacă vorbim despre „setul de ființe umane” sau „setul de balene” toată lumea poate fi de acord asupra caracteristicilor entitate despre care vorbiți. Și atunci când aceste concepte nu sunt deja cunoscute intuitiv, se folosesc câteva exemple simple, având încrederea că interlocutorii pot obține intuitiv sensul termenului, chiar și atunci când acesta nu este definit în mod explicit.

Pe măsură ce teoria este dezvoltată, problema explicării „ce sunt” acele obiecte considerate fundamentale și cunoscute intuitiv devine din ce în ce mai presantă. Acest lucru se întâmplă din mai multe motive:

să răspundă la întrebări filosofice despre fundamentele teoriei care se construiește, deoarece poate părea nesatisfăcător să recurgi la ceva la fel de vag ca intuiția de a întemeia o disciplină;
deoarece diferiți „insideri” pot fi în dezacord cu privire la o afirmație sau rezultat și își dau seama că acest lucru se datorează faptului că atribuie semnificații diferite aceluiași termen, astfel încât apare problema stabilirii sensului care este „corect”;
dar mai ales pentru că la un moment dat se poate întâmpla să întâlnim cazuri complet singulare, în care intuiția pare să eșueze sau să devină eronată, ca atunci când sunt formulate „paradoxurile”.

Acest ultim caz, cel al apariției „paradoxurilor” este unul dintre momentele în care sensibilitatea filosofică a celor care caută „fundațiile” întâlnește sensibilitatea științifică a celor care doresc să dezvolte „cunoașterea”. Atâta timp cât matematicianul sau omul de știință pot dovedi teoreme și descoperi relații necunoscute anterior, ei pot neglija să pună întrebări precum: „Ce este un set?” sau „Ce este un număr?”. Cu toate acestea, atunci când modul lor de procedare duce la demonstrarea unei afirmații și a afirmației opuse, atunci disciplina pare să cadă în vid și devine urgent să încercați să răspundeți la aceste întrebări. Acestea sunt faze ale unei mari crize, dar și ale creșterii, deoarece „cei din interior” sunt forțați să se confrunte reciproc cu privire la semnificațiile termenilor pe care îi folosesc pentru a ajunge la afirmații comune și intersubiective și sunt, de asemenea, obligați să-și pună întrebări pe sine și propria disciplină, punându-și întrebări care cu greu ar fi fost puse dacă nu ar fi trebuit să se confrunte cu un eveniment critic.

Când cineva începe să pună întrebări despre semnificația termenilor fundamentali, considerați primitivi și cunoscuți prin intuiție, se simte o mare dezorientare, legată de sentimentul căderii în cercuri vicioase. De exemplu, dacă încercați să răspundeți la întrebarea: „Ce este un număr?”, Sunteți nedumerit și, în schițarea oricărui răspuns, vă dați seama că utilizați concepte, precum „cantitate” sau „pluralitate”, care la rândul său se referă la conceptul de „număr”. La fel, dacă încercați să răspundeți la întrebarea: „Ce este un set?”, Orice răspuns pe care încercați să-l dați va denumi o „colecție” sau o „multiplicitate” sau orice alt concept care, în cele din urmă, dacă va fi investigat, va fi arată să amâne la cel al întregului, adică la conceptul care a fost destinat să fie definit. Un alt concept care pare a fi ireductibil este cel de „succesiune”: dacă încerci să spui ce este o succesiune, te găsești adesea vorbind despre „listă” sau „listă”, sau „secvență”, sau alte concepte similare, care în sfârșitul se referă la ideea de a aranja o ... succesiune de obiecte în mod ordonat, unul după altul.

În acest moment, se creează o situație singulară: acele concepte care, dacă sunt încredințate intuiției, păreau cunoscute și evidente pentru oricine, sau ușor ilustrative pentru oricine pe baza câtorva exemple simple, sunt aceleași concepte care se dovedesc a fi extrem de rezistente. la a fi definit din start.de la alte concepte mai fundamentale. Aceste concepte fundamentale par să aibă aproape o natură dublă: sunt „intuitiv ușoare” și „riguros dificile”, astfel încât, atunci când doriți să configurați riguros un concept pe care intuiția îl dobândește imediat ca „evident”, vă confruntați cu o profunditate profundă probleme filosofice. Unul are impresia distinctă că a ajuns cu adevărat la Stâlpii lui Hercule ai definițiilor și că orice încercare de a merge mai departe va eșua. Pe de altă parte, chiar dacă s-a găsit o modalitate de a readuce aceste concepte la un alt concept mai fundamental sau de a readuce toate conceptele fundamentale la unul singur (ceea ce, cu o anumită dificultate, este de fapt posibil), problema definirii acel ultim concept fundamental, care nu putea fi urmărit înapoi la niciun alt concept fără a declanșa un fel de cerc vicios.

Deci, pe de o parte, trebuie să renunțăm la definirea oricărui concept pe baza altui concept, dar, în același timp, trebuie să ne confruntăm cu probleme care impun ceea ce am numi o „definiție riguroasă” a acestor concepte.

Definiție explicită și implicită

În impasul descris mai sus, chiar și matematicianul sau omul de știință sunt obligați, poate în ciuda lor, să se improvizeze ca filozofi și să se întrebe ce se înțelege prin definiții, în ce ar trebui să răspundă la întrebarea „ce este?”. , sau când putem spune că am spus „sensul” unui termen. Toate aceste întrebări au ceva în comun, deoarece ceea ce încercați să faceți este să „definiți definiția” sau să spuneți „esența ființei” sau să explicați „sensul sensului”.

În aceste probleme, filosoful își poate petrece toată viața acolo, întrucât până la urmă este treaba lui, dar matematicianul sau omul de știință trebuie cumva să iasă din ele, iar o modalitate de a ieși din ele este să „acționeze”: să ia un anumit drum și urmați-l, fără a încerca în prealabil să demonstrați că este „corect”, dar lăsându-vă condus de el.

Așa a făcut David Hilbert , de exemplu, atunci când s-a trezit incapabil să urmărească conceptele fundamentale de geometrie („punct”, „linie”, „întins între” etc.) și în nevoia de a reformula postulatele geometriei într-un riguros, cu o doză bună de lipsă de scrupule, a renunțat a priori la orice încercare de a defini aceste concepte într-un mod „explicit” și s-a limitat la construirea unui sistem axiomatic care „a funcționat”, adică a fost capabil să demonstreze teoreme geometrice. , acoperind toate întrebările posibile de geometrie și fără a produce vreodată contradicții.

După ce a realizat această ispravă, Hilbert a susținut că sistemul axiomatic, prin simplul fapt de „funcționare”, adică de a fi capabil să răspundă cu coerență și completitudine la întrebările care ar putea fi puse despre aceste concepte fundamentale, era într-un fel să „definească” acele concepte. Cu toate acestea, nu a fost o definiție explicită , cum ar fi cea dată când un concept este trasat în mod explicit la altul, ci o definiție implicită .

Astfel, potrivit lui Hilbert, atunci când se confruntă cu problema fundamentelor, se găsește o relație strânsă între „concepte nedefinite” și „afirmații nedovedite”, care la rândul lor este legată de relația strânsă dintre dovezi și definiții . Luate separat, unul și celălalt par să fie bazate pe nimic, dar puse laolaltă constituie o structură capabilă să „funcționeze”, astfel încât să avem impresia că conceptele și axiomele fundamentale sunt capabile, într-un anumit sens, să fie bazate reciproc.

Abordarea lipsită de scrupule a lui Hilbert, care, după secole de dispute filosofice, a tăiat nodul gordian al conceptelor definitorii cu o clipă și un fapt împlinit, a stârnit controverse pe scară largă. Chiar și Frege însuși, care a fost, de asemenea, unul dintre părinții axiomatizării, a contestat opera lui Hilbert susținând că o teorie construită riguros nu ar putea folosi termeni a căror semnificație nu fusese explicată pe deplin și riguros anterior. Frege a argumentat, pe scurt, că definițiile ar trebui să dea „semnificații” și că axiomele ar trebui să spună „adevăruri” și că nu era admisibil ca un sistem axiomatic să se poată „autobaza” fără a-și căuta propriile fundamente în unele „stări de lucruri”. "extern la el, pentru a face referire la.

Aceasta este tocmai principala caracteristică a metodei adoptate de Hilbert pentru a construi un sistem axiomatic: sistemul este închis în sine, auto-referențial, autonom capabil să se dovedească a fi „adevărat”, pentru simplul fapt de a fi auto-consistent și complet , adică să știe să răspundă la toate întrebările pe care este capabil să și le pună și să nu răspundă niciodată în mod contradictoriu. Și toate acestea fără a fi nevoie să ieși vreodată din sine pentru a se referi la o realitate externă, o realitate alcătuită din obiecte care ar fi „semnificațiile” termenilor și din stări de fapt care ar corespunde „adevărului” axiomele și teoremele s-au demonstrat treptat.

Există două critici majore care pot fi adresate acestei abordări și ambele au fost avansate pe scară largă și chiar dezbătute de-a lungul secolului al XX-lea și până astăzi:

indiferent de faptul că această teorie reușește de fapt în auto-împământare, o teorie care nu se referă la o realitate externă, la o „stare de lucruri” de descris, poate fi considerată complet lipsită de sens sau utilă;
puteți urma calea luată de Hilbert pentru a merge până la capăt, pentru a o duce la consecințele sale extreme și pentru a vedea dacă un sistem axiomatic poate răspunde la toate întrebările pe care este capabil să și le pună fără a produce vreodată contradicții.

Această a doua problemă este ceea ce a pus Kurt Gödel , demonstrând celebrele sale teoreme de incompletitudine care par să compromită iremediabil posibilitatea de a construi sisteme axiomatice bazate exclusiv pe ele însele și referindu-se doar la ele însele. Cu toate acestea, nu toată lumea crede că teoremele lui Gödel au dovedit imposibilitatea proiectului lui Hilbert, iar întrebarea rămâne încă deschisă.

Astăzi matematica abordează din nou problema „autofondării”. S-a deschis dezbaterea asupra teoriei categoriilor , care pune în aplicare un aparat teoretic impunător al cărui scop final ar părea a fi acela de a reda meta-matematica (adică orice „discurs despre matematică” și, prin urmare, și orice discurs capabil de „ fondând „matematica) un fapt algebric. În acest fel, matematica ar deveni disciplina disciplinelor, singura capabilă de auto-fundamentare și, ca atare, și disciplina pe care ar trebui să se întemeieze toate celelalte. Pe scurt, matematica va lua locul pe care Aristotel dorea să-l atribuie metafizicii , adică disciplina care ar fi trebuit să spună „esența ființei”, la fel cum - după „ virajul lingvistic ” - semiotica a crezut că ar putea spune „sensul 'sens' ".

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Concept primitiv , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică