Problema platoului
În matematică , problema Plateau constă în demonstrarea existenței unei suprafețe minime corespunzătoare unei muchii date. Problema a fost propusă de Lagrange în 1760 , cu toate acestea este numită după Joseph Plateau , care a experimentat folosind bule de săpun .
Această problemă este importantă în calculul variațiilor și a dat naștere teoriei geometrice a măsurii , formulată de Herbert Federer în 1960 .
Câteva cazuri particulare ale problemei au fost rezolvate, dar abia în 1930 Jesse Douglas și Tibor Radó , independent unul de celălalt, au găsit soluții generale. Metoda utilizată a fost însă foarte diferită; Soluția lui Radó s-a bazat pe lucrările anterioare ale lui René Garnier și este valabilă doar pentru curbele închise simple și rectificabile , în timp ce Douglas a folosit idei complet noi, iar rezultatul său este valabil pentru orice curbă simplă închisă. Ambii au trebuit să rezolve problemele de minimizare; Douglas a minimizat așa-numita „integrală Douglas”, în timp ce Radó a minimizat energia.
În 1936, Douglas a primit Medalia Fields pentru această realizare.
Extinderea problemei la dimensiuni superioare (adică la suprafețe k-dimensionale și spații n-dimensionale) s-a dovedit mult mai dificilă. S-a constatat că, deși soluțiile problemei inițiale sunt întotdeauna regulate, cele ale problemei extinse pot avea singularități în cazul în care k ≤ n - 2. Într-o hipersuprafață cu k = n - 1, singularitățile apar doar cu n ≥ 8.
Pentru codimensiunea 1 Ennio De Giorgi a elaborat o soluție generală pornind de la teoria mulțimilor cu perimetru finit (local), formulată de Renato Caccioppoli în 1929 . Pentru codimensiuni superioare, Federer și Fleming au dezvoltat „teoria curenților rectificabili”.
Bibliografie
- Jesse Douglas (1931), Solution of the problem of Plateau , Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1) 33 (1): 263-321
- Tibor Radó (1930), Despre problema platoului , Analele matematicii, vol. 31, nr. 3. 457–469
- Jenny Harrison (2012), Soap Film Solutions to Plateau's Problem , Journal of Geometric Analysis (Springer Online First)
Elemente conexe
linkuri externe
- ( EN ) Plateau Problem , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
