Principiul Dirichlet

În matematică , principiul Dirichlet , numit după Peter Gustav Lejeune Dirichlet , găsește aplicații în teoria potențialului .

Se afirmă că dacă funcția $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ ${\ displaystyle u (x)}$ este o soluție a ecuației Poisson :

\Delta u+f=0

{\ displaystyle \ Delta u + f = 0}

{\ displaystyle \ Delta u + f = 0}

într-un domeniu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu condiție de graniță $u=g$ ${\ displaystyle u = g}$ ${\ displaystyle u = g}$ pe $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ partial \ Omega$ , asa de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ poate fi obținut ca valoare care minimizează energia Dirichlet :

E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle E [v (x)] = \ int _ {\ Omega} \ left ({\ frac {1} {2}} | \ nabla v | ^ {2} -vf \ right) \, \ mathrm { d} x}

{\ displaystyle E [v (x)] = \ int _ {\ Omega} \ left ({\ frac {1} {2}} | \ nabla v | ^ {2} -vf \ right) \, \ mathrm { d} x}

printre toate funcțiile dublu diferențiabile $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ astfel pentru care $v=g$ ${\ displaystyle v = g}$ ${\ displaystyle v = g}$ pe $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ partial \ Omega$ . Aceasta este cu condiția să existe cel puțin o funcție care face ca integrala lui Dirichlet să fie delimitată inferior.

Că o astfel de valoare mai mică există întotdeauna a fost luată de la bun sfârșit de Riemann (care a inventat termenul „principiul Dirichlet”) și de alții, până când Weierstraß a dat un exemplu de funcție care se apropie cât de mult doriți de extremul inferior, fără a ajunge vreodată la ea . Mai târziu, însă, David Hilbert , în 1900 , a dat o demonstrație riguroasă a existenței, în orice caz, a unei extreme inferioare, justificând presupunerea lui Riemann.

Bibliografie

(EN) Courant, R. (1950), Principiul lui Dirichlet, cartografierea conformă și suprafețele minime, de apendicele M. Schiffer, Interscience
( EN ) Lawrence C. Evans (1998), Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Principiul lui Dirichlet , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică