Teoria potențială

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teoria potențialului are ca obiect matematica echilibrului și, în special, studiul funcțiilor armonice , dat fiind rolul lor fundamental în problemele de echilibru într-un mediu omogen. Terminologia a luat naștere în fizica clasică a secolului al XIX-lea , când se credea că toate forțele fundamentale ale naturii derivă din potențiale care satisfăceau ecuația lui Laplace . Teoria potențialului, în acel context cultural, a fost, prin urmare, studiul funcțiilor care ar putea reprezenta matematic potențiale. Evoluțiile fizicii moderne au dezvăluit modul în care forțele, în natură, acționează diferit: legile care le descriu sunt sisteme neliniare de ecuații parțiale diferențiale , așa cum este cazul cu ecuațiile lui Einstein și ecuațiile Yang-Mills. În teoria cuantică , în timp ce ecuația Laplace rămâne valabil doar ca caz limitativ.

La începutul secolului al XX-lea, unele rezultate ale lui Kurt Otto Friedrichs și Richard Courant au dezvăluit în mod clar existența unei legături profunde între teoria potențialului și unele concepte probabilistice legate de matematica mișcării browniene : de ce această conexiune intimă a fost pe deplin explorată și scoase la lumină a trebuit să aștepte până în a doua jumătate a secolului al XX-lea și studiile multor matematicieni, printre care un rol proeminent l-au avut Shizuo Kakutani , Kiyoshi Itō , Mark Kac , Gilbert A. Hunt Jr , Joseph Leo Doob , Eugene Dynkin , Paul -André Meyer .

Introducere

Deoarece funcțiile armonice sunt întâlnite în mod regulat în probleme de echilibru într-un mediu omogen, teoria potențialului este în esență preocupată de studiul acestor din urmă obiecte matematice. Un exemplu clasic este oferit de echilibrul static al unei membrane elastice fixate într-un mod stabil pe un cadru închis, rigid, fix și de orice formă. În condiții de echilibru, înălțimea membranei în fiecare punct este o funcție a două variabile reale care au proprietatea valorii medii, adică este o funcție armonică. Un alt exemplu este oferit de problema echilibrului termic al unui corp omogen: dacă temperatura a atins echilibrul (adică dacă distribuția sa pe corp, în timp, nu variază în niciun punct), atunci, odată ce o sferă este centrat pe un punct P la temperatura T, temperatura medie pe suprafața sferei trebuie să fie egală cu T: dacă ar fi mai mare, temperatura în P ar crește datorită fluxului de căldură intrat, în timp ce ar scădea în caz invers datorită unui flux de ieșire.

Legături cu matematica mișcării browniene

Cercetările efectuate în anii treizeci ai secolului al XX-lea de Kurt Otto Friedrichs , Richard Courant și Hans Lewy , au sugerat deja existența unei conexiuni nebănuite și profunde cu unele concepte probabilistice, cum ar fi mișcarea browniană , procesul Wiener și procesul Markov .

Ilustrarea măsurării armonice în x a unei porțiuni E a limitei lui Ω , ca probabilitate de evadare, prin „fereastra” E , a unei particule browniene începând din punctul X urmând o traiectorie în interiorul Ω .

Pornind de la această intuiție, enucleația explicită a acestei legături matematice strânse a fost rezultatul unei cuceriri matematice care a fost finalizată în a doua jumătate a secolului al XX-lea, cu cercetarea unui grup de matematicieni, printre care Shizuo Kakutani , Kiyoshi Itō , Mark Kac , Gilbert A. Hunt Jr , Joseph Leo Doob , Eugene Dynkin , Paul-André Meyer , datorită cărora lucrează, începând cu anii 1950, ipoteza că teoria potențialului și-a găsit omologul probabilistic în teoria mișcării browniene a fost evidențiată în mod satisfăcător .

Ca exemplu al acestui nexus, considerați un domeniu deschis Ω pe care funcția scalară u satisface ecuația Laplace și f să fie egal cu f pe limită: fie x un punct Ω : atunci, măsura armonică în x a unui subset borelian E al limitei lui Ω se dovedește a fi exact egală cu probabilitatea ca E să fie lovită pentru prima dată printr-o mișcare browniană pornind de la x și a cărei traiectorie este în întregime în interiorul domeniului Ω (cu alte cuvinte, măsura armonică este egală cu probabilitatea ca o particulă browniană pornind de la x să poată „scăpa” printr-o deschidere realizată în margine și formă egală cu E : vezi figura din dreapta). În mod similar,mulțimile polare ale limitei lui Ω sunt cele care aproape sigur nu vor fi afectate de traiectoria particulei.

Ulterior, adoptarea abordărilor probabilistice în teoria abstractă a potențialului s-a dovedit foarte fructuoasă, permițând nu numai descoperirea de noi rezultate matematice, ci și oferind acces la o cunoaștere mai profundă a unor concepte ale teoriei potențialului. Pe de altă parte, nu a fost un proces unidirecțional: abordarea teoriei potențiale a problemelor probabilistice a deschis calea atât pentru noi descoperiri, cât și pentru o mai bună înțelegere a rezultatelor deja cunoscute ale teoriei probabilităților .

Distincții între diverse teorii

Există totuși o suprapunere considerabilă între teoria potențialului și teoria ecuației Laplace . În măsura în care este posibil să se traseze o linie de graniță între cele două câmpuri, diferența constă mai mult în accentul pus decât pe subiectele de studiu și se bazează pe următoarele distincții: Teoria potențialului se concentrează mai degrabă pe proprietățile funcțiilor armonice decât pe proprietățile ecuației Laplace.

Pentru a da un exemplu, un rezultat al singularităților funcțiilor armonice va fi considerat ca aparținând teoriei potențialului, în timp ce un rezultat al dependenței soluției unei probleme de condițiile la graniță se va spune că aparține teoriei lui Laplace. ecuaţie. Cu toate acestea, o astfel de distincție nu este nici imediată, nici concretă și, în practică, rămâne o suprapunere considerabilă între cele două domenii de studiu, permițând rezultatele și metodele unuia să fie utilizate în celălalt.

Simetrie

Un punct de plecare util și principiul de ordonare în studiul funcțiilor armonice este considerarea simetriilor în ecuația Laplace. Deși aceasta nu este tocmai o simetrie în sensul comun al termenului, putem începe cu observația că ecuația lui Laplace este liniară . Aceasta implică faptul că obiectul fundamental de studiu în teoria potențialului este un spațiu funcțional dotat cu structura spațiului vectorial . Această implicație este deosebit de importantă atunci când se utilizează o abordare funcțională a subiectului.

În ceea ce privește simetria în sensul mai obișnuit al termenului, putem începe de la teorema conform căreia simetriile unei ecuații Laplace n-dimensionale sunt tocmai simetriile conformale ale unui spațiu euclidian n-dimensional. Acest fapt are numeroase implicații: în primul rând, putem lua în considerare funcțiile armonice care se transformă sub reprezentări ireductibile ale grupului conform sau ale subgrupurilor sale (cum ar fi grupul de rotații sau de traduceri). Procedând în acest fel, se obține în mod sistematic soluțiile ecuației Laplace care ies din separarea variabilelor precum soluțiile armonice sferice și seria Fourier . Luând suprapuneri liniare ale acestor soluții particulare, este posibil să se genereze o clasă mare de funcții armonice care, având în vedere topologiile adecvate, constituie un subset dens în spațiul tuturor funcțiilor armonice.

Carcasă bidimensională și în mai mult de două dimensiuni

Din faptul că grupul transformărilor conformale are dimensiune infinită în cazul bidimensional și dimensiune finită în mai mult de două dimensiuni, se poate presupune că teoria potențialului în două dimensiuni este foarte diferită de cea din alte dimensiuni. Așa se întâmplă și, de fapt, dacă ne gândim că fiecare funcție armonică în două dimensiuni este partea reală a unei funcții analitice complexe , înțelegem cum obiectul teoriei potențialului în două dimensiuni este în mod substanțial același cu analiza. complex .

Din acest motiv, atunci când vorbim despre teoria potențială, atenția se concentrează asupra teoremelor care se mențin în trei sau mai multe dimensiuni. În legătură cu aceasta, este surprinzător faptul că multe rezultate și concepte descoperite sau utilizate inițial în analize complexe (cum ar fi Lema Schwarz , teorema Morera , teorema Casorati-Weierstrass , seria Laurent și clasificarea singularității caeliminabile , poli și esențiale ) sunt generalizate în rezultate și concepte referitoare la funcții în orice dimensiune. Având în vedere care teoreme ale analizei complexe sunt cazuri particulare ale rezultatelor teoriei potențialului în orice dimensiuni, se poate avea senzația exactă a ceea ce este specific analizei complexe în două dimensiuni și ceea ce este în schimb pur și simplu consecința în două dimensiuni ale rezultatelor mai mult general.

Comportamentul local

Un subiect important al teoriei este studiul comportamentului local al funcțiilor armonice. Poate că cel mai fundamental rezultat al comportamentului local este teorema regularității ecuației Laplace, care stabilește analiticitatea tuturor funcțiilor armonice.

Există rezultate care descriu structura locală a curbelor de nivel ale funcțiilor armonice: există teorema Bôcher , care caracterizează comportamentul singularităților izolate ale funcțiilor armonice pozitive. După cum sa menționat deja, singularitățile izolate ale funcțiilor armonice pot fi clasificate caeliminabile , poli și esențiale .

Inegalități

O abordare fructuoasă a studiului funcțiilor armonice este luarea în considerare a inegalităților pe care le îndeplinesc, dintre care una dintre cele mai de bază, din care pot fi derivate multe alte inegalități, este principiul maximului , conform căruia o funcție armonică își poate asuma puternic valori extreme (maxime sau minime strânse) numai pe margine. Un alt rezultat important este teorema Liouville , conform căreia singurele funcții armonice mărginite definite pe întreg sunt funcțiile constante. Pe lângă aceste inegalități de bază, există și inegalitatea Harnack , conform căreia funcțiile armonice pozitive, definite pe domenii mărginite, sunt aproximativ constante. O aplicație importantă a acestor inegalități este de a demonstra convergența unei succesiuni de familii de funcții armonice sau subarmonice (a se vedea teorema lui Harnack ).

Spații de funcții armonice

Deoarece ecuația Laplace este liniară, structura algebrică a spațiului vectorial poate fi definită pentru setul de funcții armonice definite pe un domeniu dat. Prin definirea unei norme adecvate sau chiar a unui produs interior adecvat, este posibil să existe seturi de funcții armonice care formează spații Hilbert sau spații Banach . Procedând în acest fel, obținem spații precum spațiul lui Hardy, spațiul lui Bloch și spațiul lui Bergman .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 41696 · LCCN (EN) sh85105671 · BNF (FR) cb119328485 (data) · BNE (ES) XX528702 (data)
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Theory_of_potential&oldid=120645806 ”