Lema lui Schwarz

În matematică și în special în analiza complexă , lema lui Schwarz descrie o proprietate a funcțiilor holomorfe . Lema, numită după Hermann Amandus Schwarz , este un rezultat minor, folosit pentru dovada altor teoreme mai importante, cum ar fi teorema hărții Riemann . Este unul dintre cele mai simple rezultate care caracterizează „rigiditatea” funcțiilor holomorfe, care nu găsește analogii în comportamentul funcțiilor reale.

Afirmație

Este $\displaystyle D=\{z:|z|<1\}$ ${\ displaystyle \ displaystyle D = \ {z: | z | <1 \}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle D = \ {z: | z | <1 \}}$ discul unitar deschis în planul complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ și fie $f\colon D\to {\overline {D}}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to {\ overline {D}}}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to {\ overline {D}}}$ o funcție holomorfă care fixează originea, și anume $\displaystyle f(0)=0$ ${\ displaystyle \ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle f (0) = 0}$ . Apoi, se țin următoarele relații:

$|f(z)|\leq |z|\,\forall z\in D;$ ${\ displaystyle | f (z) | \ leq | z | \, \ forall z \ în D;}$ ${\ displaystyle | f (z) | \ leq | z | \, \ forall z \ în D;}$
$|f'(0)|\leq 1.$ ${\ displaystyle | f '(0) | \ leq 1.}$ ${\ displaystyle | f '(0) | \ leq 1.}$

De asemenea, dacă există $z_{0}\in D-\{0\}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D - \ {0 \}}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D - \ {0 \}}$ astfel încât

|f(z_{0})|=|z_{0}|,

{\ displaystyle | f (z_ {0}) | = | z_ {0} |,}

{\ displaystyle | f (z_ {0}) | = | z_ {0} |,}

sau

\displaystyle |f'(0)|=1,

{\ displaystyle \ displaystyle | f '(0) | = 1,}

{\ displaystyle \ displaystyle | f '(0) | = 1,}

asa de $f\$ ${\ displaystyle f \}$ $f \$ este o rotație în planul complex :

f(z)=az\quad (|a|=1).

{\ displaystyle f (z) = az \ quad (| a | = 1).}

{\ displaystyle f (z) = az \ quad (| a | = 1).}

Demonstrație

Dovada exploatează în esență teorema modulului maxim , aplicându-l funcției

g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\text{se }}z\neq 0,\\f'(0)&{\text{se }}z=0,\end{cases}}

{\ displaystyle g (z) = {\ begin {cases} {\ frac {f (z)} {z}} & {\ text {se}} z \ neq 0, \\ f '(0) & {\ text {se}} z = 0, \ end {cases}}}

{\ displaystyle g (z) = {\ begin {cases} {\ frac {f (z)} {z}} & {\ text {se}} z \ neq 0, \\ f '(0) & {\ text {se}} z = 0, \ end {cases}}}

ceea ce se dovedește a fi analitic pe discul unității. Luând în considerare un disc închis arbitrar în interiorul discului deschis

D_{r}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r<1\},

{\ displaystyle D_ {r} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq r <1 \},}

{\ displaystyle D_ {r} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq r <1 \},}

și aplicând teorema modulului maxim pe care o avem pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în interiorul $\displaystyle D_{r}$ ${\ displaystyle \ displaystyle D_ {r}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle D_ {r}}$ Și $z_{r}$ ${\ displaystyle z_ {r}}$ ${\ displaystyle z_ {r}}$ la frontieră este valabil

|g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.

{\ displaystyle | g (z) | \ leq | g (z_ {r}) | = {\ frac {| f (z_ {r}) |} {| z_ {r} |}} \ leq {\ frac { 1} {r}}.}

{\ displaystyle | g (z) | \ leq | g (z_ {r}) | = {\ frac {| f (z_ {r}) |} {| z_ {r} |}} \ leq {\ frac { 1} {r}}.}

Acest lucru trebuie să fie valabil pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ aproape arbitrar de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , se pare $|g(z)|\leq 1,$ ${\ displaystyle | g (z) | \ leq 1,}$ ${\ displaystyle | g (z) | \ leq 1,}$ care este prima parte a tezei.

Dacă ar merita atunci $|f(z)|=|z|$ ${\ displaystyle | f (z) | = | z |}$ ${\ displaystyle | f (z) | = | z |}$ sau $|f'(z)|=1$ ${\ displaystyle | f '(z) | = 1}$ ${\ displaystyle | f '(z) | = 1}$ intr-un loc $z_{0}\in D,$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D,}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D,}$ apoi $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ ar presupune maxim în interiorul discului, adică ar fi o constantă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ de modul $|a|=1$ ${\ displaystyle | a | = 1}$ ${\ displaystyle | a | = 1}$ . Prin urmare $g(z)=a$ ${\ displaystyle g (z) = a}$ ${\ displaystyle g (z) = a}$ acesta este $f(z)=az$ ${\ displaystyle f (z) = az}$ ${\ displaystyle f (z) = az}$ asta este teza.

Extensii ale teoremei

Teorema Schwarz- Pick afirmă că, dată fiind o funcție holomorfă $f\colon D\to D$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to D}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to D}$ , relațiile următoare se mențin (cu $z_{1},z_{2},z\in D$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z \ în D}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z \ în D}$ ):

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}};$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq {\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | 1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ right |} };}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq {\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | 1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ right |} };}$
${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left | f '(z) \ right |} {1- \ left | f (z) \ right | ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {1- \ stânga | z \ dreapta | ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left | f '(z) \ right |} {1- \ left | f (z) \ right | ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {1- \ stânga | z \ dreapta | ^ {2}}}.}$

Folosind metrica Poincaré , definită de funcția:

d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left({\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}\right),

{\ displaystyle d (z_ {1}, z_ {2}) = \ tanh ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | 1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ right |}} \ right),}

{\ displaystyle d (z_ {1}, z_ {2}) = \ tanh ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | 1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ right |}} \ right),}

functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se dovedește a fi o funcție contractivă , deoarece scurtează distanțele dintre punctele planului ( teorema Schwarz - Ahlfors - Pick ).

Dacă egalitatea este valabilă pentru una dintre expresiile precedente, atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un automorfism analitic, exprimat printr-o transformare Möbius .

Teorema lui Schwarz poate fi considerată și ca un caz special al teoremei lui de Branges .

Bibliografie

( EN ) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces . New York, Springer-Verlag , 2002 ISBN 3-540-43299-X
( EN ) S. Dineen, Lema Schwarz . Oxford University Press , 1989 ISBN 0-19-853571-6

Elemente conexe

Funcția contractivă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy