Teorema modulului maxim

În matematică , teorema modulului maxim este rezultatul unei analize complexe .

Se afirmă că dacă o funcție $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este analitic într-un domeniu ( deschis și conectat ) $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , asa de $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ admite un maxim în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ dacă și numai dacă $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este o funcție constantă.

În special, dacă $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este o funcție analitică neconstantă într-un domeniu delimitat $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și continuați pe margine $\partial D$ ${\ displaystyle \ partial D}$ ${\ displaystyle \ partial D}$ apoi valoarea maximă a $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ la închiderea $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ (care există prin teorema lui Weierstrass ) este atins $\partial D$ ${\ displaystyle \ partial D}$ ${\ displaystyle \ partial D}$ .

Același rezultat este valabil pentru minim, dar numai dacă funcția nu are zerouri în domeniu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ .

Demonstrație

să presupunem că $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ $| f (z) |$ admite un maxim $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ intr-un loc $z_{0}\in D$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ în D}$ . Fiind $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ deschis, rezultă că există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât cercul $R_{\delta }$ ${\ displaystyle R _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle R _ {\ delta}}$ de centru $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ și raza $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este cuprins în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ .

Din formula integrală Cauchy rezultă că

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{R_{\delta }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\ dz

{\ displaystyle f (z_ {0}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {R _ {\ delta}} {\ frac {f (z)} {z-z_ {0 }}} \ dz}

{\ displaystyle f (z_ {0}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {R _ {\ delta}} {\ frac {f (z)} {z-z_ {0 }}} \ dz}

și, prin urmare, prin inegalitatea lui Darboux

M=|f(z_{0})|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|}}\ |dz|\leq M',

{\ displaystyle M = | f (z_ {0}) | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {| f (z) |} {| z- z_ {0} |}} \ | dz | \ leq M ',}

{\ displaystyle M = | f (z_ {0}) | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {| f (z) |} {| z- z_ {0} |}} \ | dz | \ leq M ',}

unde este $M'=\max _{z\in R_{\delta }}|f(z)|$ ${\ displaystyle M '= \ max _ {z \ în R _ {\ delta}} | f (z) |}$ ${\ displaystyle M '= \ max _ {z \ în R _ {\ delta}} | f (z) |}$ iar egalitatea este valabilă dacă și numai dacă $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este constantă (cu $|f(z)|=M$ ${\ displaystyle | f (z) | = M}$ ${\ displaystyle | f (z) | = M}$ ) pe $R_{\delta }$ ${\ displaystyle R _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle R _ {\ delta}}$ și deci asupra tuturor $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ pentru extindere analitică . Apoi teorema urmează observând că $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este maximul de $|f(z)|$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ ${\ displaystyle | f (z) |}$ și de aceea trebuie neapărat să aibă $M=M'$ ${\ displaystyle M = M '}$ ${\ displaystyle M = M '}$ .

Bibliografie

( EN ) EC Titchmarsh, Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (Vezi capitolul 5.)
( EN ) Krantz, SG „Principiul modulului maxim” și „Teorema modulului maxim al limitei”. §5.4.1 și 5.4.2 din Manualul variabilelor complexe . Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76-77, 1999.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, Principiul modulului maxim , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Principiul modulului maxim , în MathWorld Wolfram Research.
Principiul modulului maxim de John H. Mathews , pe math.fullerton.edu . Adus la 27 februarie 2014 (arhivat din original la 9 decembrie 2006) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică