Teorema lui Schwarz

În analiza matematică , teorema lui Schwarz este o teoremă importantă care afirmă că (în ipoteze adecvate) ordinea în care derivatele parțiale sunt efectuate într-o derivată mixtă a unei funcții variabile reale este irelevantă.

Teorema cu două variabile

Este $f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ două variabile funcție , definită pe un set deschis $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ a planului $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ admite derivate secundare mixte continue , adică $f\in C^{2}(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {2} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {2} (\ Omega)}$ , atunci acestea coincid în fiecare punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ equiv {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ equiv {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}}}

Cu alte cuvinte, prin inversarea ordinii de derivare a unei duble derivări parțiale mixte, rezultatul nu se modifică.

În consecință, dacă o funcție $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ are derivate parțiale continue, matricea sa hessiană este simetrică .

Demonstrație

Este $p=(x_{0},y_{0})\in \Omega$ ${\ displaystyle p = (x_ {0}, y_ {0}) \ în \ Omega}$ ${\ displaystyle p = (x_ {0}, y_ {0}) \ în \ Omega}$ . Sunt alese două regale $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , $\delta >0\,$ ${\ displaystyle \ delta> 0 \,}$ ${\ displaystyle \ delta> 0 \,}$ astfel încât $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ varepsilon, x_ {0} + \ varepsilon) \ times (y_ {0} - \ delta, y_ {0} + \ delta) \ subset \ Omega}$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ varepsilon, x_ {0} + \ varepsilon) \ times (y_ {0} - \ delta, y_ {0} + \ delta) \ subset \ Omega}$ . Acest lucru este posibil, deoarece $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o deschidere a $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

Sunt definite două funcții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ după cum urmează:

F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}

{\ displaystyle F \ colon (- \ varepsilon, \ varepsilon) \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle F \ colon (- \ varepsilon, \ varepsilon) \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}

{\ displaystyle G \ colon (- \ delta, \ delta) \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle G \ colon (- \ delta, \ delta) \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

astfel încât:

F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )

{\ displaystyle F (t) = f (x_ {0} + t, y_ {0} + s) -f (x_ {0} + t, y_ {0}) \ qquad \ forall s \ in (- \ delta , \ delta)}

{\ displaystyle F (t) = f (x_ {0} + t, y_ {0} + s) -f (x_ {0} + t, y_ {0}) \ qquad \ forall s \ in (- \ delta , \ delta)}

G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )

{\ displaystyle G (s) = f (x_ {0} + t, y_ {0} + s) -f (x_ {0}, y_ {0} + s) \ qquad \ forall t \ in (- \ varepsilon , \ varepsilon)}

{\ displaystyle G (s) = f (x_ {0} + t, y_ {0} + s) -f (x_ {0}, y_ {0} + s) \ qquad \ forall t \ in (- \ varepsilon , \ varepsilon)}

Este ușor să dovediți asta, reparați-vă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în intervalele respective:

F(t)-F(0)=G(s)-G(0).

{\ displaystyle F (t) -F (0) = G (s) -G (0).}

{\ displaystyle F (t) -F (0) = G (s) -G (0).}

Mai mult, aplicând de două ori teorema Lagrange :

F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})

{\ displaystyle F (t) -F (0) = tF '(\ xi _ {1}) = t \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0} + s) - {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0}) \ right] = ts {\ frac {{\ partial} ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0} + \ sigma _ {1})}

{\ displaystyle F (t) -F (0) = tF '(\ xi _ {1}) = t \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0} + s) - {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0}) \ right] = ts {\ frac {{\ partial} ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0} + \ xi _ {1}, y_ {0} + \ sigma _ {1})}

și în mod similar:

G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),

{\ displaystyle G (s) -G (0) = st {\ frac {{\ partial} ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0} + \ xi _ {2}, y_ {0} + \ sigma _ {2}),}

{\ displaystyle G (s) -G (0) = st {\ frac {{\ partial} ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0} + \ xi _ {2}, y_ {0} + \ sigma _ {2}),}

cu $\xi _{i}\in (0,t)$ ${\ displaystyle \ xi _ {i} \ in (0, t)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i} \ in (0, t)}$ Și $\sigma _{i}\in (0,s)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ in (0, s)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ in (0, s)}$ , unde pentru comoditatea scrisului sunt angajați $t,s>0\,$ ${\ displaystyle t, s> 0 \,}$ ${\ displaystyle t, s> 0 \,}$ .

Încordarea $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ a (și, prin urmare, de asemenea $\xi _{i}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}}$ $\ xi_i$ Și $\sigma _{i}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ ), deoarece derivatele secundare mixte sunt continue, avem ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0}, y_ {0})}$ , aceasta este teza.

Exemplu

Este:

f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {3} x}

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {3} x}

Ambele derivate parțiale prime sunt continue. Se pare că:

f_{x}=2xy^{2}+y^{3}

{\ displaystyle f_ {x} = 2xy ^ {2} + y ^ {3}}

{\ displaystyle f_ {x} = 2xy ^ {2} + y ^ {3}}

f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}

{\ displaystyle f_ {y} = 2yx ^ {2} + 3xy ^ {2}}

{\ displaystyle f_ {y} = 2yx ^ {2} + 3xy ^ {2}}

aceste două funcții pot fi diferențiate și derivatele mixte sunt:

f_{xy}=4xy+3y^{2}

{\ displaystyle f_ {xy} = 4xy + 3y ^ {2}}

{\ displaystyle f_ {xy} = 4xy + 3y ^ {2}}

f_{yx}=4xy+3y^{2}

{\ displaystyle f_ {yx} = 4xy + 3y ^ {2}}

{\ displaystyle f_ {yx} = 4xy + 3y ^ {2}}

Prin urmare $f_{xy}=f_{yx}$ ${\ displaystyle f_ {xy} = f_ {yx}}$ ${\ displaystyle f_ {xy} = f_ {yx}}$ .

Exemplu de funcție cu diferite derivate parțiale mixte

Ipoteza continuității derivatelor parțiale mixte secundare este suficientă . ^[1] Deci, pentru a avea un exemplu de funcție cu diferite derivate parțiale mixte diferite, trebuie să aibă astfel de derivate necontinue ca în exemplul următor (datorită lui Peano ). Având în vedere funcția continuă:

f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} xy {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}} } & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {matrix}} \ corect.}

{\ displaystyle f (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} xy {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}} } & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {matrix}} \ corect.}

Avem prime derivate parțiale continue:

f_{x}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}y{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+xy{\frac {2x(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f_ {x} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} y {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ { 2}}} + xy {\ frac {2x (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x (x ^ {2} -y ^ {2})} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle f_ {x} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} y {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ { 2}}} + xy {\ frac {2x (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x (x ^ {2} -y ^ {2})} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \ end {matrix}} \ right.}

f_{y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}-x{\frac {y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}-xy{\frac {2y(x^{2}+y^{2})-2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f_ {y} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} -x {\ frac {y ^ {2} -x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} - xy {\ frac {2y (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2y (y ^ {2} -x ^ {2})} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0 , 0) \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle f_ {y} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} -x {\ frac {y ^ {2} -x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} - xy {\ frac {2y (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2y (y ^ {2} -x ^ {2})} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} & \ forall (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0 , 0) \ end {matrix}} \ right.}

Dar derivatele secundare mixte nu sunt continue și sunt diferite, de fapt:

f_{xy}(0,0)=\lim _{k\to 0}{\frac {f_{x}(0,k)-f_{x}(0,0)}{k}}=-1

{\ displaystyle f_ {xy} (0,0) = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {f_ {x} (0, k) -f_ {x} (0,0)} {k}} = -1}

{\ displaystyle f_ {xy} (0,0) = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {f_ {x} (0, k) -f_ {x} (0,0)} {k}} = -1}

f_{yx}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f_{y}(h,0)-f_{y}(0,0)}{h}}=+1

{\ displaystyle f_ {yx} (0,0) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f_ {y} (h, 0) -f_ {y} (0,0)} {h}} = + 1}

{\ displaystyle f_ {yx} (0,0) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f_ {y} (h, 0) -f_ {y} (0,0)} {h}} = + 1}

Asa de $f_{yx}\neq \ f_{xy}$ ${\ displaystyle f_ {yx} \ neq \ f_ {xy}}$ ${\ displaystyle f_ {yx} \ neq \ f_ {xy}}$ .

Notă

^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Algebra liniară și formele diferențiale (ediția a 5-a) , P. 732–733.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical analysis two , Liguori, 1996, ISBN 8820726750 .
( EN ) H. Kleinert, Câmpuri multivalorate în materie condensată, electrodinamică și gravitație ( PDF ), World Scientific, 2008, ISBN 978-981-279-170-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Derivat parțial , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Algebra liniară și formele diferențiale (ediția a 5-a) , P. 732–733.

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy