Teorema lui Taylor

Teorema lui Taylor , în analiza matematică , este o teoremă care furnizează o succesiune de aproximări ale unei funcții diferențiabile în jurul unui punct dat prin intermediul polinoamelor Taylor, ai căror coeficienți depind doar de derivatele funcției la punctul respectiv.

Polinoamele sunt printre cele mai simple funcții de utilizat; multe funcții pot fi aproximate cu polinoame, astfel încât această aproximare este „destul de” precisă. Teorema lui Taylor explică în ce sens o astfel de aproximare poate fi obținută folosind polinomul Taylor . În special, formula lui Taylor cu restul lui Lagrange poate fi considerată o extensie a teoremei lui Lagrange : de fapt la o funcție diferențiată într-un interval $(a,x)\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle (a, x) \ subset \ mathbb {R}}$ $(a, x) \ subset {\ mathbb {R}}$ , și extensibil cu continuitate până la extreme, teorema Lagrange poate fi aplicată:

{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=f^{\prime }(\xi ),

{\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (a)} {xa}} = f ^ {\ prime} (\ xi),}

{\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}} = f ^ {\ prime} (\ xi),}

unde este $\xi \in (a,x)$ ${\ displaystyle \ xi \ in (a, x)}$ $\ xi \ in (a, x)$ . Din aceasta obținem:

f(x)=f(a)+f^{\prime }(\xi )(x-a),

{\ displaystyle f (x) = f (a) + f ^ {\ prime} (\ xi) (xa),}

{\ displaystyle f (x) = f (a) + f ^ {\ prime} (\ xi) (x-a),}

care este un caz special al formulei lui Taylor cu restul lui Lagrange.

Formula lui Taylor pentru funcțiile unei variabile

Să luăm în considerare un interval $(a,b)\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle (a, b) \ subset \ mathbb {R}}$ $(a, b) \ subset {\ mathbb R}$ și un punct $x_{0}\in (a,b)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_0 \ in (a, b)$ . Este $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon (a, b) \ to \ mathbb {R}$ derivabil $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n - 1$ ori în interval $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , cu $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ , și să presupunem că derivatul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea $f^{(n)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)}}$ $f ^ {(n)}$ există la punctul respectiv $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Apoi, definiți polinomul de grad al lui Taylor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca

\operatorname {T} _{n}(f,x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+{{f^{\prime \prime }(x_{0})} \over {2!}}(x-x_{0})^{2}+\ldots +{{f^{(n)}(x_{0})} \over {n!}}(x-x_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}(x-x_{0})^{k}

{\ displaystyle \ operatorname {T} _ {n} (f, x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + {{f ^ {\ prime \ prime} (x_ {0})} \ over {2!}} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ ldots + {{f ^ {(n)} (x_ {0 })} \ over {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{f ^ {(k)} (x_ {0}) } \ peste k!} (x-x_ {0}) ^ {k}}

{\ displaystyle \ operatorname {T} _ {n} (f, x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + {{f ^ {\ prime \ prime} (x_ {0})} \ over {2!}} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ ldots + {{f ^ {(n)} (x_ {0 })} \ over {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{f ^ {(k)} (x_ {0}) } \ peste k!} (x-x_ {0}) ^ {k}}

avem asta

f(x)=\operatorname {T} _{n}(f,x)+R_{n}(x),

{\ displaystyle f (x) = \ operatorname {T} _ {n} (f, x) + R_ {n} (x),}

f (x) = \ operatorname {T} _n (f, x) + R_n (x),

Unde $R_{n}(x)$ ${\ displaystyle R_ {n} (x)}$ $R_n (x)$ este un infinitesimal de ordin superior decât $(x-x_{0})^{n}$ ${\ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {n}}$ $(x-x_0) ^ n$ acesta este:

\lim _{x\to x_{0}}{R_{n}(x) \over (x-x_{0})^{n}}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {R_ {n} (x) \ over (x-x_ {0}) ^ {n}} = 0.}

\ lim_ {x \ to x_0} {R_n (x) \ over (x-x_0) ^ n} = 0.

Restul $R_{n}(x)$ ${\ displaystyle R_ {n} (x)}$ $R_n (x)$ poate fi exprimat sub diferite forme, care pot fi mai mult sau mai puțin utile în funcție de nevoie.

Restul Peano

Restul sub formă de Peano este notat pur și simplu cu notația lui mic :

R_{n}(x)=\operatorname {o} \left((x-x_{0})^{n}\right).

{\ displaystyle R_ {n} (x) = \ operatorname {o} \ left ((x-x_ {0}) ^ {n} \ right).}

{\ displaystyle R_ {n} (x) = \ operatorname {o} \ left ((x-x_ {0}) ^ {n} \ right).}

În cazul particular $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , Formula lui Taylor cu restul lui Peano devine:

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\operatorname {o} (x-x_{0}).

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ operatorname {o} (x-x_ {0}) .}

f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ operatorname o (x-x_ {0}).

Exprimă o aproximare a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , derivabil la punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , prin intermediul polinomului Taylor

\operatorname {T} _{1}(f,x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

{\ displaystyle \ operatorname {T} _ {1} (f, x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}).}

\ operatorname T_ {1} (f, x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}).

Graficul $\operatorname {T} _{1}(f,x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {T} _ {1} (f, x)}$ $\ operatorname T_ {1} (f, x)$ este linia tangentă la graficul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la punctul de coordonate $(x_{0},\,f(x_{0}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \, f (x_ {0}))}$ $(x_ {0}, \, f (x_ {0}))$ . Aproximarea menționată mai sus este, în general, mai bună decât cea care se poate obține pornind doar de la continuitate , care poate fi exprimată ca

f(x)=f(x_{0})+\operatorname {o} (1).

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + \ operatorname {o} (1).}

f (x) = f (x_ {0}) + \ operatorname o (1).

Formula lui Taylor cu restul lui Peano este deosebit de utilă în calcularea limitelor funcțiilor.

Demonstrație

Este $f\colon [x_{0},b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [x_ {0}, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon [x_ {0}, b) \ to \ mathbb {R}$ derivabil $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , vrem să arătăm asta

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}\,h^{k}+o(h^{n})\qquad \forall x=x_{0}+h\in (x_{0},b),

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{f ^ {(k)} (x_ {0})} \ over k!} \, h ^ {k} + o (h ^ {n}) \ qquad \ forall x = x_ {0} + h \ in (x_ {0}, b),}

f (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {{f ^ {{(k)}} (x_ {0})} \ peste k!} \, h ^ {k} + o (h ^ {n}) \ qquad \ forall x = x_ {0} + h \ in (x_ {0}, b),

Deci avem asta

o(h^{n})=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}\,h^{k}

{\ displaystyle o (h ^ {n}) = f (x) - \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{f ^ {(k)} (x_ {0})} \ peste k!} \, h ^ {k}}

o (h ^ {n}) = f (x) - \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {{f ^ {{(k)}} (x_ {0})} \ peste k! } \, h ^ {k}

și prin definiția lui o-small (unde folosim convenția $f^{(0)}(x_{0})=f(x_{0})$ ${\ displaystyle f ^ {(0)} (x_ {0}) = f (x_ {0})}$ $f ^ {(0)} (x_0) = f (x_0)$ pentru „derivata de ordin zero” a lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ). Acest lucru este echivalent cu

\lim _{h\to 0}{{1} \over {h^{n}}}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){{h^{n}} \over {n!}}\right]=0.\qquad (1)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{1} \ over {h ^ {n}}} \ left [f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ { \ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0}) {{h ^ {n}} \ over {n!}} \ right] = 0. \ qquad (1)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{1} \ over {h ^ {n}}} \ left [f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ { \ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0}) {{h ^ {n}} \ over {n!}} \ right] = 0. \ qquad (1)}

O dovedim prin inducție . Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ relația este ușor verificabilă; de fapt dacă există $f^{\prime }(x_{0})$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0})}$ relația coincide cu condiția diferențierii pentru o funcție a unei variabile, adică:

\lim _{h\to 0}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h} \over {h}}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ {\ prime} (x_ {0}) h} \ over {h }} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ {\ prime} (x_ {0}) h} \ over {h }} = 0.}

Să presupunem că este adevărat pentru $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ și să dovedim pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Raportul care apare în $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ apare în forma nedeterminată ${{0} \over {0}}$ ${\ displaystyle {{0} \ over {0}}}$ ${{0} \ over {0}}$ pentru $h\to 0$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ ; observăm, de asemenea, că atât numitorul, cât și prima sa derivată $nh^{n-1}$ ${\ displaystyle nh ^ {n-1}}$ $n h ^ {n - 1}$ , pentru $h>0$ ${\ displaystyle h> 0}$ $h> 0$ nu iau niciodată o valoare nulă. Ipotezele pentru aplicarea teoremei lui L'Hôpital sunt, așadar, îndeplinite, iar apoi limita în $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ vine să coincidă cu:

\lim _{h\to 0}{{f^{\prime }(x_{0}+h)-f^{\prime }(x_{0})-f^{\prime \prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){{h^{n-1}} \over {(n-1)!}}} \over {nh^{n-1}}},\qquad (2)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{f ^ {\ prime} (x_ {0} + h) -f ^ {\ prime} (x_ {0}) - f ^ {\ prime \ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0}) {{h ^ {n-1}} \ over {(n-1)!}}} \ over {nh ^ {n-1}}}, \ qquad (2)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {{f ^ {\ prime} (x_ {0} + h) -f ^ {\ prime} (x_ {0}) - f ^ {\ prime \ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0}) {{h ^ {n-1}} \ over {(n-1)!}}} \ over {nh ^ {n-1}}}, \ qquad (2)}

dacă ultima limită există. În ipoteza noastră funcția $g(x)=f^{\prime }(x)$ ${\ displaystyle g (x) = f ^ {\ prime} (x)}$ $g (x) = f ^ {\ prime} (x)$ , care este definit într-un vecinătate corectă a $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ este diferențiat $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ ori în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și, prin urmare, observând că

f^{(k)}(x_{0})=g^{(k-1)}(x_{0}),\quad k=1,\dots ,n,

{\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) = g ^ {(k-1)} (x_ {0}), \ quad k = 1, \ dots, n,}

{\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) = g ^ {(k-1)} (x_ {0}), \ quad k = 1, \ dots, n,}

pentru ipoteza inductivă aplicată funcției $g(x),$ ${\ displaystyle g (x),}$ ${\ displaystyle g (x),}$ rezultă că limita din $(2)$ ${\ displaystyle (2)}$ $(2)$ este zero, adică (dată fiind egalitatea limitelor de regula lui de l'Hôpital):

f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){\frac {h^{n}}{n!}}=\operatorname {o} (h^{n}),

{\ displaystyle f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ {\ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0} ) {\ frac {h ^ {n}} {n!}} = \ operatorname {o} (h ^ {n}),}

{\ displaystyle f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - f ^ {\ prime} (x_ {0}) h- \ dots -f ^ {(n)} (x_ {0} ) {\ frac {h ^ {n}} {n!}} = \ operatorname {o} (h ^ {n}),}

ceea ce demonstrează pasul inductiv și, împreună cu acesta, teza. QED

Restul Lagrange

Restul sub formă de Lagrange afirmă că dacă funcția este diferențiată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ (se cere ca acesta să fie derivabil cel puțin $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ ori într-un cartier de acest tip $[x_{0},x)$ ${\ displaystyle [x_ {0}, x)}$ $[x_0, x)$ , plus o altă dată în $(x_{0},x)$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x)}$ $(x_0, x)$ pentru unii $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) există $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ între $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1},

{\ displaystyle R_ {n} (x) = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {(n + 1)!}} (x-x_ {0}) ^ {n + 1},}

R_n (x) = \ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {(n + 1)!} (X-x_0) ^ {n + 1},

Această formulă ne permite să interpretăm teorema lui Taylor ca o generalizare a teoremei lui Lagrange .

Demonstrație

Teorema este dovedită prin inducție .

Baza inductivă este făcută pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ :

R_{0}=f(x)-T_{1}(f,x)=f(x)-f(x_{0})-f'(\zeta )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)-f(x_{0})=f'(\zeta )(x-x_{0})

{\ displaystyle R_ {0} = f (x) -T_ {1} (f, x) = f (x) -f (x_ {0}) - f '(\ zeta) (x-x_ {0}) \ Rightarrow f (x) -f (x_ {0}) = f '(\ zeta) (x-x_ {0})}

{\ displaystyle R_ {0} = f (x) -T_ {1} (f, x) = f (x) -f (x_ {0}) - f '(\ zeta) (x-x_ {0}) \ Rightarrow f (x) -f (x_ {0}) = f '(\ zeta) (x-x_ {0})}

adevărat pentru teorema lui Lagrange .

Pasul inductiv se face luând în considerare teorema adevărată pentru $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ și demonstrând-o, cu aceasta, pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Prin plasare

F(c)=f(c)-T_{n}(f,c)=f(c)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(c-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(c-x_{0})^{n}\right),

{\ displaystyle F (c) = f (c) -T_ {n} (f, c) = f (c) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (c- x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (c-x_ {0}) ^ {n} \ right),}

{\ displaystyle F (c) = f (c) -T_ {n} (f, c) = f (c) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (c- x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (c-x_ {0}) ^ {n} \ right),}

Și

G(c)=(c-x_{0})^{n+1},

{\ displaystyle G (c) = (c-x_ {0}) ^ {n + 1},}

{\ displaystyle G (c) = (c-x_ {0}) ^ {n + 1},}

cu $x<c<x_{0},$ ${\ displaystyle x <c <x_ {0},}$ ${\ displaystyle x <c <x_ {0},}$ atunci există $x_{1}\in (x,x_{0})$ ${\ displaystyle x_ {1} \ in (x, x_ {0})}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ in (x, x_ {0})}$ astfel încât $F'(x_{1})(G(x)-G(x_{0}))=G'(x_{1})(F(x)-F(x_{0}))$ ${\ displaystyle F '(x_ {1}) (G (x) -G (x_ {0})) = G' (x_ {1}) (F (x) -F (x_ {0}))}$ ${\ displaystyle F '(x_ {1}) (G (x) -G (x_ {0})) = G' (x_ {1}) (F (x) -F (x_ {0}))}$ de teorema lui Cauchy .

De cand

G'(x_{1})=(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n},

{\ displaystyle G '(x_ {1}) = (n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n},}

{\ displaystyle G '(x_ {1}) = (n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n},}

asa de

F'(x_{1})=f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)

{\ displaystyle F '(x_ {1}) = f' (x_ {1}) - \ left (f '(x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ { 0})} {(n-1)!}} (X_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right)}

{\ displaystyle F '(x_ {1}) = f' (x_ {1}) - \ left (f '(x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ { 0})} {(n-1)!}} (X_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right)}

G(x_{0})=(x_{0}-x_{0})^{n+1}=0,

{\ displaystyle G (x_ {0}) = (x_ {0} -x_ {0}) ^ {n + 1} = 0,}

{\ displaystyle G (x_ {0}) = (x_ {0} -x_ {0}) ^ {n + 1} = 0,}

F(x_{0})=f(x_{0})-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n)!}}(x_{0}-x_{0})^{n}\right)=0.

{\ displaystyle F (x_ {0}) = f (x_ {0}) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x_ {0} -x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {(n)!}} (x_ {0} -x_ {0}) ^ {n} \ right) = 0.}

{\ displaystyle F (x_ {0}) = f (x_ {0}) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x_ {0} -x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {(n)!}} (x_ {0} -x_ {0}) ^ {n} \ right) = 0.}

Înlocuind în formula obținută din teorema lui Cauchy:

\left(f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)\right)(x-x_{0})^{n+1}=(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}\left(f(x)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)\right).

{\ displaystyle \ left (f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {( n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) \ right) (x-x_ {0}) ^ {n + 1} = (n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n} \ left (f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right) \ right).}

{\ displaystyle \ left (f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {( n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) \ right) (x-x_ {0}) ^ {n + 1} = (n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n} \ left (f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right) \ right).}

Mutând factorii care înmulțesc evoluțiile Taylor, obținem:

{\frac {\left(f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)\right)}{(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}}}={\frac {f(x)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)}{(x-x_{0})^{n+1}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ left (f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0})) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0 })} {(n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) \ right)} {(n + 1) (x_ {1} -x_ { 0}) ^ {n}}} = {\ frac {f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right)} {(x-x_ {0}) ^ { n +1}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ left (f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0})) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0 })} {(n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) \ right)} {(n + 1) (x_ {1} -x_ { 0}) ^ {n}}} = {\ frac {f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right)} {(x-x_ {0}) ^ { n +1}}}.}

Aplicarea ipotezei inductive asupra $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ , adică $f'(x_{1})=T_{n-1}(f',x_{1})+R_{n-1}(x_{1})$ ${\ displaystyle f '(x_ {1}) = T_ {n-1} (f', x_ {1}) + R_ {n-1} (x_ {1})}$ ${\ displaystyle f '(x_ {1}) = T_ {n-1} (f', x_ {1}) + R_ {n-1} (x_ {1})}$ , explicând:

f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n-1+1)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n)!}}(x_{1}-x_{0})^{n},

{\ displaystyle f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n-1 + 1)} (x_ {0})} { (n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n )!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n},}

{\ displaystyle f '(x_ {1}) - \ left (f' (x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n-1 + 1)} (x_ {0})} { (n-1)!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n-1} \ right) = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n )!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n},}

cu $\zeta \in (x_{0},x)$ ${\ displaystyle \ zeta \ in (x_ {0}, x)}$ ${\ displaystyle \ zeta \ in (x_ {0}, x)}$

apoi înlocuind:

f(x)-\left(f(x_{0})+f(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)={\frac {1}{(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}}}\cdot {\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{n!}}(x_{1}-x_{0})^{n}\cdot (x-x_{0})^{n+1}={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}

{\ displaystyle f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} ( x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {(n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n}}} \ cdot {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {n!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n} \ cdot (x -x_ {0}) ^ {n + 1} = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n + 1)!}} (x-x_ {0}) ^ { n + 1}}

{\ displaystyle f (x) - \ left (f (x_ {0}) + f (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n)} ( x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {(n + 1) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n}}} \ cdot {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {n!}} (x_ {1} -x_ {0}) ^ {n} \ cdot (x -x_ {0}) ^ {n + 1} = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n + 1)!}} (x-x_ {0}) ^ { n + 1}}

dar termenul de prim membru este adecvat $R_{n}=f(x)-T_{n}(f,x)$ ${\ displaystyle R_ {n} = f (x) -T_ {n} (f, x)}$ ${\ displaystyle R_ {n} = f (x) -T_ {n} (f, x)}$ , apoi simplificând al doilea membru obținem:

R_{n}={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}

{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n + 1)!}} (x-x_ {0}) ^ {n + 1}}

{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ zeta)} {(n + 1)!}} (x-x_ {0}) ^ {n + 1}}

cu

\zeta \in (x_{0},x)

{\ displaystyle \ zeta \ in (x_ {0}, x)}

{\ displaystyle \ zeta \ in (x_ {0}, x)}

. QED

Restul lui Cauchy

Restul sub forma lui Cauchy susține că există $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-x_{0}).

{\ displaystyle R_ {n} (x) = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {n!}} (x- \ xi) ^ {n} (x-x_ {0 }).}

R_n (x) = \ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {n!} (X- \ xi) ^ n (x-x_0).

Acest formular poate fi generalizat după cum urmează: dacă $G(t)$ ${\ displaystyle G (t)}$ $G (t)$ este o funcție continuă activată $[a,x]$ ${\ displaystyle [a, x]}$ $[a, x]$ și diferențiat pe $(a,x)$ ${\ displaystyle (a, x)}$ $(a, x)$ cu derivată nu zero, atunci există $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}\cdot {\frac {G(x)-G(a)}{G^{\prime }(\xi )}},

{\ displaystyle R_ {n} (x) = {\ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {n!}} (x- \ xi) ^ {n} \ cdot {\ frac { G (x) -G (a)} {G ^ {\ prime} (\ xi)}},}

R_n (x) = \ frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {n!} (X- \ xi) ^ n \ cdot \ frac {G (x) -G (a)} { G ^ {\ prime} (\ xi)},

generalizând astfel teorema lui Cauchy .

Odihnă integral

Restul în formă integrală , care spre deosebire de cele anterioare este valabil chiar dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ își asumă valori complexe , afirmă că dacă $f^{(n)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)}}$ $f ^ {(n)}$ este absolut continuu în $[a,x]$ ${\ displaystyle [a, x]}$ $[a, x]$ , asa de

R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\operatorname {d} t}.

{\ displaystyle R_ {n} (x) = \ int _ {a} ^ {x} {{\ frac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!}} (xt) ^ {n } \, \ operatorname {d} t}.}

R_ {n} (x) = \ int _ {a} ^ {x} {{\ frac {f ^ {{(n + 1)}} (t)} {n!}} (Xt) ^ {n} \, \ operatorname dt}.

Această formă arată teorema lui Taylor ca o generalizare a teoremei fundamentale a calculului .

Formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile

Pentru funcțiile mai multor variabile, scrierea completă devine mai grea și folosește multiindici . Este $f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ elegant $C^{k}(\Omega ),$ ${\ displaystyle C ^ {k} (\ Omega),}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (\ Omega),}$ unde este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un întreg deschis. Apoi într-un cartier al $\mathbf {a} \in \Omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ in \ Omega}$ :

{\begin{aligned}&f(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {\operatorname {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}R_{\alpha }(\mathbf {x} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha },\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }R_{\alpha }(\mathbf {x} )=0.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & f (\ mathbf {x}) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} {\ frac {\ operatorname {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf { a})} {\ alpha!}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha} + \ sum _ {| \ alpha | = k} R _ {\ alpha} (\ mathbf { x}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}, \\ & \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {a}} R _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) = 0. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & f (\ mathbf {x}) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} {\ frac {\ operatorname {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf { a})} {\ alpha!}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha} + \ sum _ {| \ alpha | = k} R _ {\ alpha} (\ mathbf { x}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}, \\ & \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {a}} R _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) = 0. \ End {align}}}

Formula lui Taylor în două variabile de ordinul 1

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție de clasă $C^{1}(\Omega ),$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ Omega),}$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ Omega),}$ cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ deschis de $\mathbb {R} ^{2}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ Vrem să calculăm polinomul Taylor în $(x_{0},y_{0})\in \Omega ,$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în \ Omega,}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în \ Omega,}$ asa de:

f(x_{0}+h,y_{0}+k)=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+R(h,k),

{\ displaystyle f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + R (h, k),}

{\ displaystyle f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + R (h, k),}

unde este $h=x-x_{0}$ ${\ displaystyle h = x-x_ {0}}$ $h = x - x_0$ Și $k=y-y_{0}$ ${\ displaystyle k = y-y_ {0}}$ $k = y - y_0$ Și $R(h,k)=o(\lVert (h,k)\rVert )$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert)}$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert)}$ indică restul.

Ca și în cazul funcțiilor unei variabile, dacă derivatele secundare sunt delimitate de un număr $M.,$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle M,}$ atunci noi avem:

|R(h,k)|\leq M(h^{2}+k^{2}).

{\ displaystyle | R (h, k) | \ leq M (h ^ {2} + k ^ {2}).}

{\ displaystyle | R (h, k) | \ leq M (h ^ {2} + k ^ {2}).}

Din care urmează și expresia diferențialului exact

df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot dy

{\ displaystyle df = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ cdot dx + {\ frac {\ partial f} { \ partial y}} \ cdot dy}

{\ displaystyle df = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ cdot dx + {\ frac {\ partial f} { \ partial y}} \ cdot dy}

Formula lui Taylor în două variabile de ordinul 2

{\begin{aligned}f(x_{0}+h,y_{0}+k)&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+\\&+{\frac {1}{2!}}\left[f_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})hk+f_{yy}(x_{0},y_{0})k^{2}\right]+\\&+R(h,k),\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) & = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + \\ & + {\ frac {1} {2!}} \ left [f_ {xx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} + 2f_ {xy} (x_ {0}, y_ {0}) hk + f_ {yy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {2} \ right] + \\ & + R (h, k), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) & = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + \\ & + {\ frac {1} {2!}} \ left [f_ {xx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} + 2f_ {xy} (x_ {0}, y_ {0}) hk + f_ {yy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {2} \ right] + \\ & + R (h, k), \ end {align}}}

unde este $R(h,k)=o(\lVert (h,k)\rVert ^{2}).$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert ^ {2}).}$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert ^ {2}).}$

Formula lui Taylor în două variabile de ordinul 3

{\begin{aligned}f(x_{0}+h,y_{0}+k)&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+\\&+{\frac {1}{2!}}\left[f_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})hk+f_{yy}(x_{0},y_{0})k^{2}\right]+\\&+{\frac {1}{3!}}\left[f_{xxx}(x_{0},y_{0})h^{3}+3f_{xxy}(x_{0},y_{0})h^{2}k+3f_{xyy}(x_{0},y_{0})hk^{2}+f_{yyy}(x_{0},y_{0})k^{3}\right]+\\&+R(h,k),\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) & = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + \\ & + {\ frac {1} {2!}} \ left [f_ {xx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} + 2f_ {xy} (x_ {0}, y_ {0}) hk + f_ {yy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {2} \ right] + \\ & + {\ frac {1} {3!}} \ Left [f_ {xxx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {3} + 3f_ {xxy } (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} k + 3f_ {xyy} (x_ {0}, y_ {0}) hk ^ {2} + f_ {yyy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {3} \ right] + \\ & + R (h, k), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x_ {0} + h, y_ {0} + k) & = f (x_ {0}, y_ {0}) + f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot h + f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ cdot k + \\ & + {\ frac {1} {2!}} \ left [f_ {xx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} + 2f_ {xy} (x_ {0}, y_ {0}) hk + f_ {yy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {2} \ right] + \\ & + {\ frac {1} {3!}} \ Left [f_ {xxx} (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {3} + 3f_ {xxy } (x_ {0}, y_ {0}) h ^ {2} k + 3f_ {xyy} (x_ {0}, y_ {0}) hk ^ {2} + f_ {yyy} (x_ {0}, y_ {0}) k ^ {3} \ right] + \\ & + R (h, k), \ end {align}}}

unde este $R(h,k)=o(\lVert (h,k)\rVert ^{3}).$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert ^ {3}).}$ ${\ displaystyle R (h, k) = o (\ lVert (h, k) \ rVert ^ {3}).}$

Formula lui Taylor în două variabile de ordinul n

Ordinea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th se poate obține din următoarea sumă:

{\frac {1}{n!}}\sum _{l=0}^{n}{n \choose l}{\frac {\partial ^{n}f(x_{0},y_{0})}{\partial x^{n-l}\partial y^{l}}}h^{n-l}k^{l}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {l = 0} ^ {n} {n \ alege l} {\ frac {\ partial ^ {n} f (x_ {0}, y_ {0})} {\ partial x ^ {nl} \ partial y ^ {l}}} h ^ {nl} k ^ {l}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {l = 0} ^ {n} {n \ alege l} {\ frac {\ partial ^ {n} f (x_ {0}, y_ {0})} {\ partial x ^ {nl} \ partial y ^ {l}}} h ^ {nl} k ^ {l}.}

Bibliografie

( EN ) Tom M. Apostol , Calculus , John Wiley & Sons , 1967, ISBN 0-471-00005-1 .

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4184549-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy