Inegalitatea lui Jensen

Inegalitatea Jensen (numită după matematicianul danez Johan Jensen ) este o inegalitate care leagă valoarea unei funcții convexe de valoarea aceleiași funcții calculată în valoarea medie a argumentului său. A fost enunțată și demonstrată de Jensen în 1906 ^[1] . Inegalitatea lui Jensen poate fi introdusă în contexte diferite și cu diferite grade de generalitate, dintre care cele mai relevante sunt prezentate mai jos.

Declarații

Cea mai de bază formă a inegalității lui Jensen poate fi declarată ca media ponderată a unui număr finit de numere reale. Poate fi generalizat în contextul teoriei măsurilor și își găsește cea mai naturală și puternică formă în formalismul teoriei probabilității . În cele ce urmează oferim mai întâi afirmațiile inegalității (începând de la cele mai simple până la cele mai generale) și apoi demonstrațiile acestora.

Reamintim că dacă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o funcție convexă, atunci $-\varphi$ ${\ displaystyle - \ varphi}$ ${\ displaystyle - \ varphi}$ este concav și, prin urmare, inegalitățile similare cu cele raportate mai jos pot fi obținute pentru funcțiile concavă, cu condiția ca direcția inegalităților în sine să fie inversată.

Formă discretă

Este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un întreg pozitiv . Pentru o funcție convexă cu valoare reală $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , și pentru numere reale $x_{1},\,x_{2},\ldots ,\,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2}, \ ldots, \, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2}, \ ldots, \, x_ {n}}$ în domeniul $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , și pentru greutăți pozitive $a_{1},\,a_{2},\ldots ,\,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \ ldots, \, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \ ldots, \, a_ {n}}$ având suma unitară, inegalitatea lui Jensen afirmă:

\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (x_{i})

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ varphi (x_ {i})}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ varphi (x_ {i})}

În special, dacă greutățile $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ toate sunt egale cu ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ :

\varphi \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi (x_{i})

{\ displaystyle \ varphi \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) \ leq {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ varphi (x_ {i})}

{\ displaystyle \ varphi \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) \ leq {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ varphi (x_ {i})}

aceasta este valoarea $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ calculat în medie de $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este mai mic decât media valorilor $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ pe $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ .

Inegalitate în notația teoriei măsurii

În formulele anterioare, este firesc să ne întrebăm dacă este posibil să facem un fel de tranziție la continuum . Răspunsul este da, iar inegalitatea lui Jensen poate fi generalizată după cum urmează.

Este $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(\ Omega, \ mathfrak {F}, \ mu)$ un spațiu de măsurare , astfel încât $\mu (\Omega )=1$ ${\ displaystyle \ mu (\ Omega) = 1}$ $\ mu (\ Omega) = 1$ . De sine $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție integrabilă din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ la valori reale, e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o funcție convexă pe imaginea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , apoi: ^[2]

\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ int _ {\ Omega} g \, d \ mu \ right) \ leq \ int _ {\ Omega} \ varphi \ circ g \, d \ mu.}

\ varphi \ left (\ int _ {\ Omega} g \, d \ mu \ right) \ le \ int_ \ Omega \ varphi \ circ g \, d \ mu.

Inegalitate în notația teoriei probabilității

Același rezultat poate fi afirmat mai natural în contextul teoriei probabilităților . Este $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ un spațiu de probabilitate , $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o variabilă aleatorie cu valoare reală care posedă valoarea așteptată , e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ o funcție convexă astfel încât, de asemenea $\varphi (X)$ ${\ displaystyle \ varphi (X)}$ ${\ displaystyle \ varphi (X)}$ posedă valoarea așteptată. Atunci:

\varphi \left(\mathbb {E} \{X\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)\}.

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbb {E} \ {X \} \ right) \ leq \ mathbb {E} \ {\ varphi (X) \}.}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbb {E} \ {X \} \ right) \ leq \ mathbb {E} \ {\ varphi (X) \}.}

În această notație probabilistică, măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ trebuie înțeles ca o probabilitate $\mathbb {P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ mathbb {P}}$ , integral cu privire la $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ca valoare așteptată $\mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ ${\ mathbb {E}}$ , și funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ca variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Inegalitatea generală în teoria probabilității

Mai general, fie el $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un spațiu vector topologic , ed $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o variabilă aleatorie integrabilă cu valori în $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . În acest context general, înseamnă integrabil pentru fiecare element $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în dualul de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se întâmplă $\mathbb {E} |\langle z,X\rangle |<\infty$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} | \ langle z, X \ rangle | <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} | \ langle z, X \ rangle | <\ infty}$ , și că există un element $\mathbb {E} \{X\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {X \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {X \}}$ în $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât $\langle z,\mathbb {E} \{X\}\rangle =\mathbb {E} \{\langle z,X\rangle \}$ ${\ displaystyle \ langle z, \ mathbb {E} \ {X \} \ rangle = \ mathbb {E} \ {\ langle z, X \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ langle z, \ mathbb {E} \ {X \} \ rangle = \ mathbb {E} \ {\ langle z, X \ rangle \}}$ . Apoi, pentru fiecare funcție convexă măsurabilă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ pe $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , și pentru orice sub -algebră ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ din ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ :

\varphi \left(\mathbb {E} \{X|{\mathfrak {G}}\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)|{\mathfrak {G}}\}.

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbb {E} \ {X | {\ mathfrak {G}} \} \ right) \ leq \ mathbb {E} \ {\ varphi (X) | {\ mathfrak {G} } \}.}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbb {E} \ {X | {\ mathfrak {G}} \} \ right) \ leq \ mathbb {E} \ {\ varphi (X) | {\ mathfrak {G} } \}.}

Aici $\mathbb {E} \{\cdot |{\mathfrak {G}}\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {\ cdot | {\ mathfrak {G}} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {\ cdot | {\ mathfrak {G}} \}}$ indică așteptarea condițională față de algebra σ ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ . Această afirmație mai generală este redusă la cea anterioară atunci când spațiul topologic vector generic $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este înlocuit de axa reală și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ din banala σ-algebră $\{\emptyset ,\Omega \}$ ${\ displaystyle \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ ${\ displaystyle \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ .

Media aritmetică și geometrică

Functia $\log(x)$ ${\ displaystyle \ log (x)}$ $\ log (x)$ este concav, folosind în acest caz inegalitatea Jensen este redusă la inegalitatea mediei aritmetice și a mediei geometrice .

{{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}} \over {n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}

{\ displaystyle {{x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} \ over {n}} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}

{\ displaystyle {{x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} \ over {n}} \ geq {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}

Intr-adevar:

{\mbox{log}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}\right)={\frac {1}{n}}\left({\mbox{log}}\ x_{1}+\cdots +{\mbox{log}}\ x_{n}\right)\leq {\mbox{log}}\left({\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\cdots +x_{n}\right)\right)

{\ displaystyle {\ mbox {log}} \ left ({\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdots x_ {n}}} \ right) = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ mbox {log}} \ x_ {1} + \ cdots + {\ mbox {log}} \ x_ {n} \ right) \ leq {\ mbox {log}} \ left ({\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ right) \ right)}

{\ displaystyle {\ mbox {log}} \ left ({\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdots x_ {n}}} \ right) = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ mbox {log}} \ x_ {1} + \ cdots + {\ mbox {log}} \ x_ {n} \ right) \ leq {\ mbox {log}} \ left ({\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ right) \ right)}

unde inegalitatea supremă coboară din inegalitatea lui Jensen.

Aplicații pentru inegalități specifice

Inegalitatea lui Jensen facilitează demonstrarea multor inegalități elementare. De exemplu, pentru orice pereche de numere reale pozitive $x,y>0$ ${\ displaystyle x, y> 0}$ ${\ displaystyle x, y> 0}$ astfel încât $x+y=1$ ${\ displaystyle x + y = 1}$ ${\ displaystyle x + y = 1}$ inegalitatea este valabilă

\left(x+{1 \over x}\right)^{2}+\left(y+{1 \over y}\right)^{2}\geq {25 \over 2}

{\ displaystyle \ left (x + {1 \ over x} \ right) ^ {2} + \ left (y + {1 \ over y} \ right) ^ {2} \ geq {25 \ over 2}}

{\ displaystyle \ left (x + {1 \ over x} \ right) ^ {2} + \ left (y + {1 \ over y} \ right) ^ {2} \ geq {25 \ over 2}}

Pentru a demonstra acest lucru, observăm că funcția

g(z)=\left(z+{1 \over z}\right)^{2}

{\ displaystyle g (z) = \ left (z + {1 \ over z} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle g (z) = \ left (z + {1 \ over z} \ right) ^ {2}}

este convex pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ pozitiv, deoarece a doua derivată este întotdeauna pozitivă pentru aceste valori ale $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Din inegalitatea lui Jensen rezultă

{{g(x)+g(y)} \over 2}\geq g\left({{x+y} \over 2}\right)=g\left({1 \over 2}\right)={25 \over 4}

{\ displaystyle {{g (x) + g (y)} \ over 2} \ geq g \ left ({{x + y} \ over 2} \ right) = g \ left ({1 \ over 2} \ dreapta) = {25 \ peste 4}}

{\ displaystyle {{g (x) + g (y)} \ over 2} \ geq g \ left ({{x + y} \ over 2} \ right) = g \ left ({1 \ over 2} \ dreapta) = {25 \ peste 4}}

asta este tocmai

{g(x)+g(y)}\geq {25 \over 2}

{\ displaystyle {g (x) + g (y)} \ geq {25 \ peste 2}}

{\ displaystyle {g (x) + g (y)} \ geq {25 \ peste 2}}

Notă

^ Jensen, J. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes .
^ W. Rudin , pagina 61 .

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecții de analiză matematică două, paragrafele 39 și 83 , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 .
Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

Popoviciu inegalitate

linkuri externe

Inegalitatea lui Jensen pe MathWorld , la mathworld.wolfram.com .
Inegalitatea lui Jensen servește drept logo pentru Departamentul de Matematică al Universității din Copenhaga

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Jensen, J. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes .

[2] W. Rudin , pagina 61 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy