Popoviciu inegalitate

În analiza matematică , inegalitatea Popoviciu este o inegalitate privind funcțiile convexe . Este similar cu inegalitatea lui Jensen și a fost publicat în 1965 de matematicianul român Tiberiu Popoviciu ^[1] .

Afirmație

Fie ƒ o funcție dintr-un interval $I\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$ $I \ subseteq {\ mathbb {R}}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Dacă ƒ este convex , atunci cu trei puncte $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ ,

{\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].

{\ displaystyle {\ frac {f (x) + f (y) + f (z)} {3}} + f \ left ({\ frac {x + y + z} {3}} \ right) \ geq {\ frac {2} {3}} \ left [f \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) + f \ left ({\ frac {y + z} {2}} \ dreapta) + f \ left ({\ frac {z + x} {2}} \ right) \ right].}

{\ displaystyle {\ frac {f (x) + f (y) + f (z)} {3}} + f \ left ({\ frac {x + y + z} {3}} \ right) \ geq {\ frac {2} {3}} \ left [f \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) + f \ left ({\ frac {y + z} {2}} \ dreapta) + f \ left ({\ frac {z + x} {2}} \ right) \ right].}

În schimb, dacă ƒ este continuu , atunci este convex dacă și numai dacă inegalitatea anterioară este valabilă pentru fiecare x , y , z în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Dacă ƒ este strict convexă, inegalitatea este strictă, cu excepția cazului x = y = z . ^[2]

Există generalizări ponderate ale acestei inegalități sau cu orice număr finit de puncte în loc de 3. ^[3] ^[4]

Notă

^ Tiberiu Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes , in Analele științifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secția I a Mat. , vol. 11, 1965, pp. 155-164.
^ Constantin Niculescu, Lars Erik Persson, Funcțiile convexe și aplicațiile lor: o abordare contemporană , Springer Science & Business, 2006, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9 .
^ Darij Grinberg (2008). Generalizări ale inegalității lui Popoviciu . arXiv : 0803.2958v1
^ JE Pečarić, Frank Proschan, Yung Liang Tong, Funcții convexe, ordonări parțiale și aplicații statistice , Academic Press, 1992, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8 .

[1] Tiberiu Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes , in Analele științifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secția I a Mat. , vol. 11, 1965, pp. 155-164.

[2] Constantin Niculescu, Lars Erik Persson, Funcțiile convexe și aplicațiile lor: o abordare contemporană , Springer Science & Business, 2006, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9 .

[3] Darij Grinberg (2008). Generalizări ale inegalității lui Popoviciu . arXiv : 0803.2958v1

[4] JE Pečarić, Frank Proschan, Yung Liang Tong, Funcții convexe, ordonări parțiale și aplicații statistice , Academic Press, 1992, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]