Spațiul de măsurare

În analiza matematică, un spațiu de măsurare (sau spațiul mensural , sau spațiul Lebesgue ) este o structură abstractă utilizată pentru a formaliza conceptul de măsurare , ca generalizare a ideilor elementare de lungime a unei curbe sau a unei suprafețe ^[1] .

Definiție

Un spațiu de măsurare este definit ca un spațiu măsurabil $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ echipat cu o măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pozitiv definit pe σ-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ format din subseturi măsurabile de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[2] Un astfel de spațiu este reprezentat cu un triplu $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ .

Când spațiul măsurabil $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ este un spațiu borelian , uneori spațiul de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ se numește spațiul de măsură borelian . Având în vedere un spațiu de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ , în general notat cu $|\mu |$ ${\ displaystyle | \ mu |}$ $| \ mu |$ schimbarea totală a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ .

De sine $|\mu |(X)<\infty$ ${\ displaystyle | \ mu | (X) <\ infty}$ $| \ mu | (X) <\ infty$ se spune că spațiul de măsurare este finit . Dacă și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi scris ca o uniune numărabilă de seturi:

X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} X_ {i}}

X = \ bigcup _ {{i \ in {\ mathbb {N}}}} X_ {i}

de măsură finită, adică astfel încât $|\mu |(X_{i})<\infty$ ${\ displaystyle | \ mu | (X_ {i}) <\ infty}$ $| \ mu | (X_ {i}) <\ infty$ , atunci spațiul măsurabil se numește σ-finit .

Spațiul probabilității

Un spațiu de probabilitate $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ este un spațiu de o asemenea măsură încât $P(E)\geq 0$ ${\ displaystyle P (E) \ geq 0}$ ${\ displaystyle P (E) \ geq 0}$ pentru fiecare $E\in {\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$ $E \ in \ mathcal {F}$ Și $P(\Omega )=1$ ${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$ $P (\ Omega) = 1$ . În acest context $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se numește măsură de probabilitate . Din definiția însăși, rezultă că un spațiu de probabilitate este întotdeauna un spațiu de măsură finită.

Structura spațiului de probabilitate a fost introdusă de Andrey Nikolaevich Kolmogorov în anii 1930 , ca parte a unei serii de lucrări ale matematicianului rus care a pus bazele întregii teorii a probabilității .

Finalizarea unui spațiu de măsurare

Se spune că un spațiu de măsură este complet dacă fiecare set conținut într-un set nul este măsurabil (având în mod evident în acest caz măsură zero). În general, din punct de vedere practic, este convenabil să folosiți spații complete. ^[3] Cu toate acestea, având în vedere un spațiu de măsurare incomplet, este întotdeauna posibil să îl extindeți la un spațiu complet în sensul următor.

Este $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ un spațiu de măsurare. Există un singur spațiu de măsurare complet $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime}, \ mu ^ {\ prime})}$ $(X, \ mathfrak {F} ^ \ prime, \ mu ^ \ prime)$ , numită finalizare a $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ , pe același set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu următoarele proprietăți:

σ-algebra ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime}}$ $\ mathfrak {F} ^ \ prime$ este mai fin (adică conține) ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ .
masura $\mu ^{\prime }$ ${\ displaystyle \ mu ^ {\ prime}}$ $\ mu ^ \ prime$ restrictionat la ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ coincide cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , adică pentru orice subset măsurabil de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ $E\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}}$ $E \ in \ mathfrak {F}$ se întâmplă $\mu (E)=\mu ^{\prime }(E)$ ${\ displaystyle \ mu (E) = \ mu ^ {\ prime} (E)}$ $\ mu (E) = \ mu ^ \ prime (E)$ .
de sine $(X,{\mathfrak {G}},\nu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {G}}, \ nu)}$ $(X, \ mathfrak {G}, \ nu)$ atunci este un alt spațiu cu acea proprietate ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ este mai fin decât ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime}}$ $\ mathfrak {F} ^ \ prime$ (sau echivalent, ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime}}$ $\ mathfrak {F} ^ \ prime$ este cea mai mică amendă dintre toate σ-algebrele pe care este posibilă realizarea acestei construcții).

Evident, dacă $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ este completă, coincide cu finalizarea sa. În general, este posibil să se construiască în mod explicit completarea unui spațiu incomplet. Aici ilustrăm procedura.

Să luăm în considerare întregul ${\mathfrak {N}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}}}$ $\ mathfrak {N}$ dintre toate seturile conținute în seturi nule (astfel de seturi sunt uneori numite neglijabile ). Este ${\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\bigcup {\mathfrak {F}}\right)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime} = \ sigma \ left ({\ mathfrak {N}} \ bigcup {\ mathfrak {F}} \ right)}$ $\ mathfrak {F} ^ \ prime = \ sigma \ left (\ mathfrak {N} \ bigcup \ mathfrak {F} \ right)$ cea mai mică σ-algebră conținând atât elementele de ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ decât cele din ${\mathfrak {N}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}}}$ $\ mathfrak {N}$ ^[4] . Întrucât unirea și intersecția numărabilă a mulțimilor neglijabile este neglijabilă, se vede cu ușurință că fiecare element $E^{\prime }$ ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$ $E ^ \ prime$ din ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime}}$ $\ mathfrak {F} ^ \ prime$ poate fi obținut dintr-un element $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ din ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ unirea sau scăderea unui întreg neglijabil. Atunci va fi suficient să se extindă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ într-o nouă măsură pe $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime })$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}} ^ {\ prime})}$ $(X, \ mathfrak {F} ^ \ prime)$ pur și simplu prin plasare $\mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (e)$ ${\ displaystyle \ mu ^ {\ prime} (E ^ {\ prime}): = \ mu (e)}$ $\ mu ^ \ prime (E ^ \ prime): = \ mu (e)$ .

Un caz notabil este cel al spațiului de măsură Lebesgue (al doilea exemplu de mai sus), care este completarea spațiului Borel (primul exemplu de mai sus).

Categoria spațiilor de măsurare

Setul de spații de măsurare formează o categorie , în care morfismele sunt date de funcțiile măsurabile care păstrează măsurarea. Mai precis, având în vedere două spații de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ , $(Y,{\mathfrak {G}},\nu )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ nu)}$ $(Y, \ mathfrak {G}, \ nu)$ un morfism este în mod natural asociat cu o funcție $f:X\mapsto Y$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto Y}$ $f: X \ mapsto Y$ astfel încât:

$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {G}})}$ $({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {G}})$ -măsurabil ^[5] .
Pentru fiecare set $F\in {\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathfrak {G}}}$ $F \ in \ mathfrak {G}$ se întâmplă $\mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)$ ${\ displaystyle \ mu \ left (f ^ {- 1} (F) \ right) = \ nu (F)}$ $\ mu \ left (f ^ {- 1} (F) \ right) = \ nu (F)$ .

În special, cele două spații de măsurare vor fi numite izomorfe dacă există o funcție bijectivă $f:X\mapsto Y$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto Y}$ $f: X \ mapsto Y$ măsurabil și cu invers măsurabil, astfel încât pentru fiecare $E\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}}$ $E \ in \ mathfrak {F}$ întâmpla $\mu (E)=\nu (f(E))$ ${\ displaystyle \ mu (E) = \ nu (f (E))}$ $\ mu (E) = \ nu (f (E))$ .

Având în vedere un spațiu măsurabil $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ și două măsuri $\mu ,\nu$ ${\ displaystyle \ mu, \ nu}$ $\ mu, \ nu$ pe el, $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ se spune că este absolut continuu în ceea ce privește $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ dacă fiecare set $E\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}}$ $E \ in \ mathfrak {F}$ care nu are măsură nimic în comparație cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ nu are măsură nimic nici măcar în ceea ce privește $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ : $\mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0$ ${\ displaystyle \ mu (E) = 0 \ Rightarrow \ nu (E) = 0}$ $\ mu (E) = 0 \ Rightarrow \ nu (E) = 0$ Se spune că două măsurători absolut continue între ele sunt echivalente .

Izomorfisme ale spațiilor măsurabile

Din teorema Radon-Nikodym putem deduce apoi următoarea prepoziție: are $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, \ mathfrak {F}, \ mu)$ Și $(X,{\mathfrak {F}},\nu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ nu)}$ $(X, \ mathfrak {F}, \ nu)$ două spații de măsurare σ-finite construite peste același spațiu măsurabil $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ . De sine $\mu ,\,\nu$ ${\ displaystyle \ mu, \, \ nu}$ $\ mu, \, \ nu$ sunt echivalente, atunci cele două spații sunt izomorfe.

Aplicații

Același subiect în detaliu: Teoria măsurării și sistemul dinamic conservator .

Desigur, cea mai naturală aplicație a noțiunii de spațiu de măsurare se găsește în teoria măsurării, deoarece constituie un obiect fundamental al acestei teorii.

De sine $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ este un spațiu măsurabil și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un semigrup , o acțiune măsurabilă a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o familie (indexată de parametrul $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ ) de hărți măsurabile $T_{s}:X\mapsto X$ ${\ displaystyle T_ {s}: X \ mapsto X}$ $T_s: X \ mapsto X$ astfel încât $T_{s}\circ T_{t}=T_{st}$ ${\ displaystyle T_ {s} \ circ T_ {t} = T_ {st}}$ $T_s \ circ T_t = T_ {st}$ pentru fiecare $s,t\in S$ ${\ displaystyle s, t \ in S}$ $s, t \ în S$ . Un sistem dinamic conservator este un cvadruplu $(X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu, S)}$ $(X, \ mathfrak {F}, \ mu, S)$ , unde este $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ este un spațiu de măsurare și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o acțiune măsurabilă a unui semigrup $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , care păstrează măsura: $\mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)$ ${\ displaystyle \ mu \ left (T_ {s} ^ {- 1} (E) \ right) = \ mu (E)}$ $\ mu \ left (T_s ^ {- 1} (E) \ right) = \ mu (E)$ pentru fiecare $E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}, \, s \ in S}$ $Este \ in \ mathfrak {F}, \, s \ in S$ . Teoria sistemelor dinamice conservatoare este - în ciuda generalității sale - foarte bogată. Din acesta, de exemplu, multe dintre proprietățile mecanicii clasice pot fi derivate cu simplitate și generalitate. De fapt, sistemele hamiltoniene se încadrează în clasa sistemelor dinamice conservatoare.

Exemple

Buldoexcavatorul $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$ $(\ mathbb {R}, \ mathfrak {B}, \ mu)$ , unde este $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este linia reală, ${\mathfrak {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ $\ mathfrak {B}$ este σ-algebra boreliană relativă și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este măsura Borel este un spațiu de măsură borelian. Acesta nu este un spațiu finit, deoarece măsura (în acest caz lungimea ) întregii linii reale este infinită. Cu toate acestea, acest spațiu este σ-finit, ca orice interval de tip $[n,n+1]$ ${\ displaystyle [n, n + 1]}$ $[n, n + 1]$ are măsură $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , și $\mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} = \ bigcup _ {n} [n, n + 1]}$ $\ R = \ bigcup_n [n, n + 1]$ .
Buldoexcavatorul $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {L}}, \ lambda)}$ $(\ mathbb {R}, \ mathfrak {L}, \ lambda)$ , unde este ${\mathfrak {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ este σ-algebra lui Lebesgue și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este măsura Lebesgue este un spațiu de măsură neborelian. Acest spațiu de măsurare este, de asemenea, σ-finit, din același motiv prezentat mai sus.
Spațiul discret $\Omega =\{1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ Omega = \ {1, \ ldots, n \}$ , cu convenția pe care orice subset de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este măsurabilă și măsura unui subset este dată de $\mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = {\ frac {| A |} {n}}}$ $\ mathbb P (A) = \ frac {| A |} {n}$ , este un spațiu de probabilitate.
De sine $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un spațiu de măsură finită, atunci se poate obține un spațiu de probabilitate prin introducerea măsurii $\mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (\ Omega)}}}$ $\ mathbb P (A) = \ frac {\ mu (A)} {\ mu (\ Omega)}$ .

Notă

^ Ne referim la teoria elementului măsurii pentru o introducere istorică și calitativă la noțiunile teoriei măsurii. O introducere istorică se găsește și în Boyer, History of Mathematics .
^ W. Rudin , pagina 16 .
^ Unul dintre avantajele lucrului cu spații complete este următorul: seturile de măsură zero, într-un sens, contează pentru puțin. Multe proprietăți matematice interesante legate de spațiile de măsurare sunt verificate aproape peste tot (adică până la un set de măsuri zero). Dacă vrem să dovedim că o proprietate dată este valabilă aproape peste tot , într-un spațiu complet va fi suficient să dovedim că este valabilă cel puțin pentru toate punctele din afara oricărui set de măsuri zero. În schimb, pentru un spațiu incomplet, va trebui să dovedim că setul de puncte pentru care nu este valid, este măsurabil și are măsură zero (această a doua afirmație este, în general, mai dificil de arătat).
^ Vezi secțiunea Principalele rezultate ale intrării σ-algebră pentru a afla mai multe despre noțiunea de σ-algebră generată de o familie de mulțimi.
^ Consultați funcția măsurabilă a articolului pentru orice clarificare cu privire la această notație.

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Carl B. Boyer, History of Mathematics , 2nd edition, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .

Donald L. Cohn, The Measure Theory , Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0 .

Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Ne referim la teoria elementului măsurii pentru o introducere istorică și calitativă la noțiunile teoriei măsurii. O introducere istorică se găsește și în Boyer, History of Mathematics .

[def-2] W. Rudin , pagina 16 .

[3] Unul dintre avantajele lucrului cu spații complete este următorul: seturile de măsură zero, într-un sens, contează pentru puțin. Multe proprietăți matematice interesante legate de spațiile de măsurare sunt verificate aproape peste tot (adică până la un set de măsuri zero). Dacă vrem să dovedim că o proprietate dată este valabilă aproape peste tot , într-un spațiu complet va fi suficient să dovedim că este valabilă cel puțin pentru toate punctele din afara oricărui set de măsuri zero. În schimb, pentru un spațiu incomplet, va trebui să dovedim că setul de puncte pentru care nu este valid, este măsurabil și are măsură zero (această a doua afirmație este, în general, mai dificil de arătat).

[4] Vezi secțiunea Principalele rezultate ale intrării σ-algebră pentru a afla mai multe despre noțiunea de σ-algebră generată de o familie de mulțimi.

[5] Consultați funcția măsurabilă a articolului pentru orice clarificare cu privire la această notație.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]