Măsura Lebesgue

În matematică , măsura Lebesgue este măsura utilizată de obicei pentru subseturile unui spațiu euclidian de dimensiune n . Este o măsură complet pozitivă care constituie o generalizare a conceptelor elementare de zonă și volum de subseturi ale spațiului euclidian . Seturile cărora este posibil să le atribuiți o măsură Lebesgue se numesc Lebesgue măsurabile sau Lebesgue-măsurabile .

Este o măsură larg utilizată în analiza matematică și are o importanță deosebită în definirea integralei Lebesgue . Dacă se presupune axioma alegerii , nu toate se instalează $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sunt măsurabile prin Lebesgue, iar un exemplu clasic al unui set nemăsurabil este setul Vitali . Comportamentul mulțimilor nemăsurabile dă naștere la rezultate precum paradoxul Banach-Tarski , de asemenea o consecință a axiomei de alegere.

Henri Lebesgue și-a descris măsura în 1901 , urmat în anul următor de descrierea integralei Lebesgue. Ambele au fost publicate ca parte a disertației sale în 1902 .

Definiție

Pentru a defini măsura Lebesgue este necesar să se introducă o anumită clasă de seturi elementare. Sunt:

a=(a_{1},\dots ,a_{k})\qquad b=(b_{1},\dots ,b_{k})

{\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {k}) \ qquad b = (b_ {1}, \ dots, b_ {k})}

a = (a_ {1}, \ dots, a_ {k}) \ qquad b = (b_ {1}, \ dots, b_ {k})

doi vectori în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ cu $a_{i}<b_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i} <b_ {i}}$ $a_ {i} <b_ {i}$ pentru fiecare $i=1,\dots ,k$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, k}$ $i = 1, \ dots, k$ .

Un set ca:

W=\{(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}|\quad a_{i}<x_{i}<b_{i}\quad \forall i=1,\dots ,k\}

{\ displaystyle W = \ {(x_ {1}, \ dots, x_ {k}) \ in \ mathbb {R} ^ {k} | \ quad a_ {i} <x_ {i} <b_ {i} \ quad \ forall i = 1, \ dots, k \}}

W = \ {(x_ {1}, \ dots, x_ {k}) \ in \ mathbb {R} ^ {k} | \ quad a_ {i} <x_ {i} <b_ {i} \ quad \ forall i = 1, \ dots, k \}

si a zis $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -celulă . ^[1]

Volumul unei celule este definit ca numărul:

{\mbox{vol}}(W)=\prod _{i=1}^{k}(b_{i}-a_{i})

{\ displaystyle {\ mbox {vol}} (W) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (b_ {i} -a_ {i})}

{\ mbox {vol}} (W) = \ prod _ {{i = 1}} ^ {{k}} (b_ {i} -a_ {i})

Se arată că există o măsură complet pozitivă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ definit pe o sigma-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ astfel încât: ^[2]

Avem:

{\mbox{vol}}(W)=m(W)\

{\ displaystyle {\ mbox {vol}} (W) = m (W) \}

{\ mbox {vol}} (W) = m (W) \

pentru fiecare

k

{\ displaystyle k}

k

-celulă

W

{\ displaystyle W}

W

.

Un set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ aparține lui ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ dacă și numai dacă pentru fiecare ε există în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ unire la cele mai numărabile dintre seturi deschise și un set $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ intersecție la cele mai numărabile dintre cele închise astfel încât:

B\subset E\subset A\qquad m(A-B)\leq \varepsilon

{\ displaystyle B \ subset E \ subset A \ qquad m (AB) \ leq \ varepsilon}

{\ displaystyle B \ subset E \ subset A \ qquad m (A-B) \ leq \ varepsilon}

De asemenea, rezultă că

m

{\ displaystyle m}

m

este regulat. Se mai spune, mai succint, că

{\mathfrak {F}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}

{\ mathfrak {F}}

conține toate seturile Borel de

\mathbb {R} ^{k}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}

\ mathbb {R} ^ {k}

.

Masura $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este invariant prin traducere, adică:

m(E+x)=m(E)\

{\ displaystyle m (E + x) = m (E) \}

m (E + x) = m (E) \

pentru fiecare set

ȘI

{\ displaystyle E}

ȘI

din

{\mathfrak {F}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}

{\ mathfrak {F}}

și pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

din

\mathbb {R} ^{k}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}

\ mathbb {R} ^ {k}

.

De sine $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură Borel invariantă prin traducere pe $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ și astfel încât:

\mu (K)<\infty

{\ displaystyle \ mu (K) <\ infty}

\ mu (K) <\ infty

pentru fiecare set compact

K.

{\ displaystyle K}

K.

(în acest caz se spune că

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

este Radon sau Radon-regulat ), atunci există o constantă

c

{\ displaystyle c}

c

astfel încât:

\mu (E)=c\cdot m(E)\

{\ displaystyle \ mu (E) = c \ cdot m (E) \}

{\ displaystyle \ mu (E) = c \ cdot m (E) \}

pentru fiecare set al lui Borel

\mathbb {R} ^{k}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}

\ mathbb {R} ^ {k}

.

Elementele din ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ se numesc seturi Lebesgue , măsura $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ se numește măsură Lebesgue în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ . ^[2]

În cazul particular în care $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ , $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ Și $f\in L^{1}(I)$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (I)}$ $f \ în L ^ {1} (I)$ este continuă, apoi integrala Riemann :

\int _{a}^{b}f(x)dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) dx

și integralul Lebesgue :

\int _{I}fd\mu \

{\ displaystyle \ int _ {I} fd \ mu \}

\ int _ {I} fd \ mu \

sunt coincidente. ^[3]

Proprietate

Măsura Lebesgue are următoarele proprietăți:

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un produs cartezian al intervalelor formei $I_{1}\cdot I_{2}\cdot \dots \cdot I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {1} \ cdot I_ {2} \ cdot \ dots \ cdot I_ {n}}$ $I_ {1} \ cdot I_ {2} \ cdot \ dots \ cdot I_ {n}$ , asa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Lebesgue-măsurabil și $m(A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot \dots \cdot |I_{n}|$ ${\ displaystyle m (A) = | I_ {1} | \ cdot | I_ {2} | \ cdot \ dots \ cdot | I_ {n} |}$ $m (A) = | I_ {1} | \ cdot | I_ {2} | \ cdot \ dots \ cdot | I_ {n} |$ , unde este $|I_{i}|$ ${\ displaystyle | I_ {i} |}$ $| I_ {i} |$ indică lungimea intervalului i.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este uniunea disjunctă a unui număr finit sau numărabil de seturi disjunctoare măsurabile prin Lebesgue, atunci $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Lebesgue-măsurabil și $m(A)$ ${\ displaystyle m (A)}$ $dar)$ este egal cu suma (sau seria ) măsurilor seturilor măsurabile implicate.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este măsurabilă prin Lebesgue, atunci la fel este și complementul său.
$m(A)\geq 0$ ${\ displaystyle m (A) \ geq 0}$ $m (A) \ geq 0$ pentru orice set măsurabil Lebesgue $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt Lebesgue-măsurabile și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , asa de $m(A)\leq m(B)$ ${\ displaystyle m (A) \ leq m (B)}$ $m (A) \ leq m (B)$ , ca o consecință a celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct.
Uniunile și intersecțiile numărabile ale multimilor măsurabile Lebesgue sunt măsurabile Lebesgue, ca o consecință a celui de-al doilea și al treilea punct.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset deschis sau închis al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (vezi spațiul metric ), atunci $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este măsurabilă prin Lebesgue.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set măsurabil Lebesgue cu $m(A)=0$ ${\ displaystyle m (A) = 0}$ $m (A) = 0$ , adică un set de măsură zero , apoi orice subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set de măsuri zero.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Lebesgue-măsurabil și $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ apoi traducerea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , definit de $A+x=\{a+x:a\in A\}$ ${\ displaystyle A + x = \ {a + x: a \ în A \}}$ $A + x = \ {a + x: a \ în A \}$ este măsurabil Lebesgue și are aceeași măsură ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Toate afirmațiile de mai sus pot fi rezumate spunând că seturile măsurabile Lebesgue formează o σ-algebră care conține toate produsele de intervale și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este singura traducere-invariant și complete măsură pe această sigma-algebre cu $m([0,1]\cdot [0,1]\cdot \dots \cdot [0,1])=1$ ${\ displaystyle m ([0,1] \ cdot [0,1] \ cdot \ dots \ cdot [0,1]) = 1}$ $m ([0,1] \ cdot [0,1] \ cdot \ dots \ cdot [0,1]) = 1$ . Măsura Lebesgue are, de asemenea, proprietatea de a fi sigma-finită, adică este posibil să acoperim întregul spațiu cu o uniune numărabilă a subseturilor de măsură Lebesgue finită.

Seturi de măsură zero

Un subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este un set de măsuri zero dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ poate fi acoperit cu un set numărabil de produse din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ intervale al căror volum total este la maxim $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Toate seturile care pot fi numărate sunt seturi de măsură zero, la fel și seturile din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ a cărei dimensiune este mai mică decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , de exemplu linii drepte sau cercuri în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ .

Pentru a arăta că un set dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este măsurabilă conform lui Lebesgue, în general încercăm să găsim un set mai „plăcut” $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ care diferă de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ numai pentru un set de măsuri zero (în sensul că diferența simetrică $(A-B)\cup (B-A)$ ${\ displaystyle (AB) \ cup (BA)}$ $(A-B) \ cup (B-A)$ este un set de măsuri zero) și arată astfel că $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pot fi generate folosind uniuni și intersecții numărabile de seturi deschise sau închise.

Construcția măsurii Lebesgue

Construcția modernă a măsurii lui Lebesgue, bazată pe măsuri externe , se datorează lui Carathéodory . Pentru fiecare subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ poate fi definit:

m^{*}(A)=\inf\{\operatorname {vol} (M):M\supseteq A\}

{\ displaystyle m ^ {*} (A) = \ inf \ {\ operatorname {vol} (M): M \ supseteq A \}}

{\ displaystyle m ^ {*} (A) = \ inf \ {\ operatorname {vol} (M): M \ supseteq A \}}

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este uniunea numărabilă a produselor de intervale și $\operatorname {vol} (M)$ ${\ displaystyle \ operatorname {vol} (M)}$ $\ operatorname {vol} (M)$ este suma produselor lungimilor intervalelor implicate. Se poate arăta că $m^{*}$ ${\ displaystyle m ^ {*}}$ $m ^ {*}$ este o măsură externă . Întregul este apoi definit $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ măsurabilă conform Lebesgue dacă:

m^{*}(B)=m^{*}(A\cap B)+m^{*}(B-A)

{\ displaystyle m ^ {*} (B) = m ^ {*} (A \ cap B) + m ^ {*} (BA)}

m ^ {*} (B) = m ^ {*} (A \ cap B) + m ^ {*} (B-A)

pentru toate seturile $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Prin teorema lui Carathéodory, aceste seturi măsurabile Lebesgue formează o σ-algebră, iar măsura Lebesgue este definită de $m(A)=m^{*}(A)$ ${\ displaystyle m (A) = m ^ {*} (A)}$ $m (A) = m ^ {*} (A)$ pentru orice set măsurabil Lebesgue $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Conform teoremei lui Vitali , dacă admitem axioma alegerii, există un subset de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ care nu este măsurabilă prin Lebesgue. În caz contrar, nu există exemple cunoscute de subseturi de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ nu Lebesgue-măsurabilă.

Relația cu alte măsuri

Măsura lui Borel coincide cu măsura lui Lebesgue pe mulțimile pentru care este definită; cu toate acestea, există mult mai multe seturi măsurabile Lebesgue decât seturi măsurabile Borel. Măsura lui Borel este o traducere invariantă, dar nu completă.

Măsura Haar poate fi definită pe orice grup compact local și este o generalizare a măsurii Lebesgue (de fapt $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu adaos este un grup compact local).

Măsura Hausdorff (vezi și dimensiunea Hausdorff ) este o generalizare a măsurii Lebesgue utilă pentru măsurarea seturilor de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ mai mic ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , cum ar fi submanifoldurile , cum ar fi suprafețele sau curbele în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , și ansambluri fractale .

Notă

^ W. Rudin , pagina 49 .
^ ^a ^b W. Rudin , P. 50 .
^ W. Rudin , pagina 52 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
(EN) E. Hewitt, KR Stromberg, Analiza reală și abstractă, Springer (1965)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VV Sazonov, măsură Lebesgue , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Paolo Acquistapace, Teoria măsurii lui Lebesgue ( PDF ), pe dm.unipi.it , 29 noiembrie 2011. Accesat la 25 ianuarie 2012 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 49 .

[def-2] W. Rudin , P. 50 .

[3] W. Rudin , pagina 52 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy