Spațiu compact local

În matematică , în special în topologie , un spațiu topologic se numește compact local dacă pentru fiecare dintre punctele sale există un cartier a cărui închidere este un set compact . ^[1]

Compacitatea locală este o proprietate a regularității unui spațiu topologic: spațiile euclidiene sunt compacte local, în timp ce, de exemplu, spațiile Banach cu dimensiuni infinite nu sunt .

În literatură există mai multe definiții ale spațiului compact local , toate echivalente în cazul în care avem de-a face cu spații Hausdorff (care sunt de departe cele mai frecvente utilizate în matematică). În această intrare oferim mai întâi câteva noțiuni generale, valabile pentru spații topologice arbitrare, însă principalele aplicații ale teoriei vor fi date în principal pentru spațiile Hausdorff.

Definiție

Este $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ un spațiu topologic. Se spune că este compact local dacă există vreun punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ admite o bază de cartiere formate din seturi compacte . ^[2] Adică, dacă pentru fiecare deschidere $O\in {\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle O \ in {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ displaystyle O \ in {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ care conține un punct dat $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , există un compact $K\subset O$ ${\ displaystyle K \ subset O}$ ${\ displaystyle K \ subset O}$ conținând la rândul său o deschidere $O^{\prime }$ ${\ displaystyle O ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle O ^ {\ prime}}$ căreia îi aparține $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

În special, fiecare spațiu Hausdorff compact local este un spațiu Tychonoff și un spațiu Baire .

Exemple

Spații compacte local, dar nu neapărat compacte

Subseturile deschise sau închise ale unui spațiu Hausdorff compact local sunt compacte local în topologia subsetului .
Spațiile euclidiene , cum ar fi linia reală , sunt compacte la nivel local.
Soiurile topologice, fiind homeomorf local la spațiile euclidiene, sunt compacte local.
Dualul unui spațiu Banach este compact local, dacă este echipat cu topologia stea slabă , de teorema Banach-Alaoglu .

Spațiile nu sunt compacte local

Un spațiu normat cu dimensiuni infinite dotat cu topologie indusă de normă nu este compact local.
Un exemplu mai simplu, dar mai puțin util este setul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale structurate cu topologia euclidiană a $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .
Planul lui Moore nu este compact local.

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 72
^ W. Rudin , pagina 36 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) John Kelley, Topologie generală , Springer, 1975, ISBN 0-387-90125-6 .
(EN) James Munkres, Topologie, 2, Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2 .
(EN) Stephen Willard, Topologie generală, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 , (ediția Dover).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 72

[2] W. Rudin , pagina 36 .

[1]

[2]