Teorema Banach-Alaoglu

În matematică , teorema Banach-Alaoglu sau teorema Banach-Alaoglu-Bourbaki este un rezultat bine cunoscut în domeniul „ analizei funcționale care afirmă că, având în vedere un spațiu Banach separabil , fiecare succesiune limitată în dualitatea sa admite o subsecvență slab convergentă * . Dacă este notat cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ spațiul Banach în cauză, teorema caracterizează convergența slabă asupra dualului $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ , netestat pe toate elementele bidualului $X^{**}$ ${\ displaystyle X ^ {**}}$ ${\ displaystyle X ^ {**}}$ dar numai pe cele ale $\tau (X)$ ${\ displaystyle \ tau (X)}$ ${\ displaystyle \ tau (X)}$ , unde este $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este harta canonică.

Acesta poartă numele lui Stefan Banach , Leonidas Alaoglu și Nicolas Bourbaki .

Teorema Bourbaki-Alaoglu generalizează teorema în cazul topologiilor duale .

Teorema

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu reglementat ; spațiul său dual $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ este un alt exemplu de spațiu normat (cu norma operatorului ). Teorema Banach-Alaoglu afirmă că sfera unitară s-a închis $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ este compact în ceea ce privește topologia slabă * .

Acesta este un motiv pentru care există topologii diferite pe același spațiu: sfera unitară în topologia normei este compactă dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional (a se vedea lema lui Riesz ).

Un caz special este versiunea teoremei care utilizează compactitatea pentru secvențe: sfera închisă a unui spațiu normat separabil este secvențial compactă în topologia slabă *. De fapt, topologia slabă * pe sfera unitară închisă a dualului unui spațiu separabil este metrizabilă și, prin urmare, compactitatea și compactitatea secvențială sunt echivalente. Mai exact, fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu normat separabil e $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sfera unitară închisă $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . De cand $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este separat, fie $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ un subgrup dens numărabil al acestuia. Apoi putem defini o valoare:

\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}\qquad x,y\in B

{\ displaystyle \ rho (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \, 2 ^ {- n} \, {\ frac {\ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |} {1+ \ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |}} \ qquad x, y \ in B}

{\ displaystyle \ rho (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \, 2 ^ {- n} \, {\ frac {\ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |} {1+ \ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |}} \ qquad x, y \ in B}

unde este $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ indică asocierea duală între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . Cu un argument diagonal similar cu cel folosit pentru a demonstra teorema Ascoli-Arzelà se arată că $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu această metrică este compact secvențial.

Versiunea „secvențe” a teoremei este utilizată în contextul PDE pentru a construi soluții de probleme variaționale : de exemplu, o metodă adesea utilizată pentru a minimiza o funcționalitate $F:X^{*}\to {\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle F: X ^ {*} \ to {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle F: X ^ {*} \ to {\ mathbb {R}}}$ definit pe dualul unui spațiu vector normat separabil $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de a construi o succesiune $x_{1},x_{2},\ldots \in X^{*}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ în X ^ {*}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ în X ^ {*}}$ care se apropie de capătul inferior al valorilor asumate de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , și utilizați teorema pentru a extrage o subsecvență convergentă în topologia slabă * la limită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , care presupune un „minimizator”.

De sine $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ este spațiul măsurătorilor de radon pe linia reală (astfel încât $X=C_{0}({\mathbb {R} })$ ${\ displaystyle X = C_ {0} ({\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle X = C_ {0} ({\ mathbb {R}})}$ este spațiul funcțiilor continue care dispar la infinit pentru teorema reprezentării lui Riesz ) teorema din versiunea secvenței este echivalentă cu teorema lui Helly .

Demonstrație

Pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , sunt:

D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\}\qquad D=\Pi _{x\in X}D_{x}

{\ displaystyle D_ {x} = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left | z \ right | \ leq \ | x \ | \} \ qquad D = \ Pi _ {x \ in X} D_ { X}}

{\ displaystyle D_ {x} = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left | z \ right | \ leq \ | x \ | \} \ qquad D = \ Pi _ {x \ in X} D_ { X}}

Din moment ce fiecare $D_{x}$ ${\ displaystyle D_ {x}}$ $D_ {x}$ este un subset compact al planului complex, $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este compact și în topologia produsă de teorema lui Tychonoff . Sfera unității închise poate fi identificată în mod natural $B_{1}(X^{*})$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ în $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ ca subset de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ :

f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D

{\ displaystyle f \ in B_ {1} \ left (X ^ {*} \ right) \ mapsto (f (x)) _ {x \ in X} \ in D}

{\ displaystyle f \ in B_ {1} \ left (X ^ {*} \ right) \ mapsto (f (x)) _ {x \ in X} \ in D}

Este o hartă injectivă și continuă, din care inversul (definit pe imagine) este, de asemenea, continuu, cu $B_{1}(X^{*})$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ care are topologia slabă * e $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ topologia produsului. Dacă aveți o rețea :

(f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}

{\ displaystyle (f _ {\ alpha} (x)) _ {x \ in X} \ rightarrow (\ lambda _ {x}) _ {x \ in X}}

{\ displaystyle (f _ {\ alpha} (x)) _ {x \ in X} \ rightarrow (\ lambda _ {x}) _ {x \ in X}}

în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , apoi funcționalul definit de:

g(x)=\lambda _{x}

{\ displaystyle g (x) = \ lambda _ {x}}

{\ displaystyle g (x) = \ lambda _ {x}}

este in $B_{1}(X^{*})$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ ${\ displaystyle B_ {1} (X ^ {*})}$ . Fiind imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ închis, teorema este dovedită.

Urmări

Într-un spațiu cu dimensiuni finite, mulțumită teoremei Bolzano-Weierstrass , printr-o secvență mărginită este întotdeauna posibil să se extragă o convergență de subsecvență . Această proprietate a secvențelor mărginite este utilă pentru a demonstra unele teoreme fundamentale în analiza matematică . Din păcate, această teoremă nu mai este adevărată dacă spațiul are o dimensiune infinită. De exemplu, succesiunea versorilor în spațiu $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ este limitat, dar nu admite subsecvențe convergente. Datorită teoremei Banach-Alaoglu-Bourbaki, secvența admite cel puțin o subsecvență convergentă slab *.

Generalizare

Teorema Bourbaki-Alaoglu este o generalizare care se datorează lui Nicolas Bourbaki pentru topologiile duale . Având un spațiu convex local separabil $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ având dual continuu $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ , întregul polar $U^{0}$ ${\ displaystyle U ^ {0}}$ ${\ displaystyle U ^ {0}}$ din fiecare în jur $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact în topologie slabă $\sigma (X',X)$ ${\ displaystyle \ sigma (X ', X)}$ ${\ displaystyle \ sigma (X ', X)}$ pe $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ .

Bibliografie

( EN ) Haïm Brezis, Analiza funcțională , Napoli, Liguori, 2006.
( EN ) John B. Conway, A course in functional analysis , 2nd, Berlin, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 . Capitolul 5, secțiunea 3.
( EN ) W. Rudin,Analiza funcțională , 2nd, Boston, MA, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8 . Secțiunea 3.15, p. 68.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică