Set polar

În matematică , în special în analiza funcțională , un set polar al unui subset al unui spațiu vectorial este un set în spațiul dual care îndeplinește anumite proprietăți.

Definiție

O pereche duală este definită ca o triplă formată din două spații vectoriale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ pe același teren $\mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb {F}}$ (de numere reale sau complexe ) și dintr-o formă biliniară $\langle ,\rangle :X\times Y\to \mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle: X \ times Y \ to \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle: X \ times Y \ to \ mathbb {F}}$ astfel încât:

$\forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0$ ${\ displaystyle \ forall x \ în X \ setminus \ {0 \} \ quad \ există y \ în Y: \ langle x, y \ rangle \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ forall x \ în X \ setminus \ {0 \} \ quad \ există y \ în Y: \ langle x, y \ rangle \ neq 0}$
$\forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0$ ${\ displaystyle \ forall y \ in Y \ setminus \ {0 \} \ quad \ există x \ în X: \ langle x, y \ rangle \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ forall y \ in Y \ setminus \ {0 \} \ quad \ există x \ în X: \ langle x, y \ rangle \ neq 0}$

Două elemente $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ sunt ortogonale dacă $\langle x,y\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}$ , în timp ce două seturi $M\subseteq X$ ${\ displaystyle M \ subseteq X}$ ${\ displaystyle M \ subseteq X}$ Și $N\subseteq Y$ ${\ displaystyle N \ subseteq Y}$ ${\ displaystyle N \ subseteq Y}$ sunt ortogonale dacă fiecare pereche de elemente din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este format din vectori ortogonali între ei.

Setul polar al unui subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este setul $A^{\circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ definit ca:

A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}

{\ displaystyle A ^ {\ circ}: = \ {y \ în Y: \ sup _ {x \ in A} | \ langle x, y \ rangle | \ leq 1 \}}

{\ displaystyle A ^ {\ circ}: = \ {y \ în Y: \ sup _ {x \ in A} | \ langle x, y \ rangle | \ leq 1 \}}

Setul numit set bipolar al unui subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este polarul în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $A^{\circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ , și notat cu $A^{\circ \circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ}}$ .

Proprietate

$A^{\circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ este absolut convex
De sine $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ asa de $B^{\circ }\subseteq A^{\circ }$ ${\ displaystyle B ^ {\ circ} \ subseteq A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ circ} \ subseteq A ^ {\ circ}}$
$(\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }\qquad \forall \gamma \neq 0$ ${\ displaystyle (\ gamma A) ^ {\ circ} = {\ frac {1} {\ mid \ gamma \ mid}} A ^ {\ circ} \ qquad \ forall \ gamma \ neq 0}$ ${\ displaystyle (\ gamma A) ^ {\ circ} = {\ frac {1} {\ mid \ gamma \ mid}} A ^ {\ circ} \ qquad \ forall \ gamma \ neq 0}$
$(\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }$ ${\ displaystyle (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}) ^ {\ circ} = \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}) ^ {\ circ} = \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} ^ {\ circ}}$
Pentru un cuplu dublu $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ , $A^{\circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ este închis în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ în ceea ce privește topologia slabă * su $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
Bipolarul $A^{\circ \circ }$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ}}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este plicul absolut convex al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică cel mai mic set absolut convex care conține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci este deja absolut convex atunci $A^{\circ \circ }=A$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ circ \ circ} = A}$ .

Bibliografie

( EN ) CD Aliprantis și KC Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , ediția a 3-a, Springer, 2007, p. 215, DOI : 10.1007 / 3-540-29587-9 , ISBN 978-3-540-32696-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

Antonio Marigonda - Note despre seminarul prof. Vladimir V. Goncharov pentru cursul de analiză funcțională ( PDF ), pe profs.sci.univr.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică