Plic (matematică)

Lemiscatul lui Bernoulli obținut prin învăluirea circumferințelor. Animație realizată în MSWLogo ^[1]

În matematică , anvelopa unei familii sau a unui set de curbe plane este curba tangentă fiecărui membru al familiei în cel puțin un punct.

Cea mai simplă expresie analitică a unui plic de curbe în plan $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ este dat de perechea de ecuații

F(x,y,t)=0\qquad \qquad (1)

{\ displaystyle F (x, y, t) = 0 \ qquad \ qquad (1)}

F (x, y, t) = 0 \ qquad \ qquad (1)

{\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0\qquad \qquad (2)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F (x, y, t)} {\ partial t}} = 0 \ qquad \ qquad (2)}

{\ frac {\ partial F (x, y, t)} {\ partial t}} = 0 \ qquad \ qquad (2)

unde familia este definită implicit de (1); (2), în termeni informali, identifică punctele în care F (x, y, t) rămâne „constant”. Evident, trebuie să fie posibil să se facă derivata parțială în raport cu t a fiecărei curbe a familiei.

Pentru o familie de curbe în plan definite prin ecuații parametrice $(x(t,p),y(t,p))$ ${\ displaystyle (x (t, p), y (t, p))}$ $(x (t, p), y (t, p))$ , plicul se obține din ecuație

{\partial x \over \partial t}{\partial y \over \partial p}={\partial y \over \partial t}{\partial x \over \partial p}

{\ displaystyle {\ partial x \ over \ partial t} {\ partial y \ over \ partial p} = {\ partial y \ over \ partial t} {\ partial x \ over \ partial p}}

{\ partial x \ over \ partial t} {\ partial y \ over \ partial p} = {\ partial y \ over \ partial t} {\ partial x \ over \ partial p}

unde, pe măsură ce parametrul p variază, se obțin diferitele curbe ale familiei.

Exemplu

Animație care arată plicul unei familii de linii înclinate negativ

Luați în considerare planul cartezian, cadranul I și, în acesta, liniile care trec prin punctele (0, k - t ) și ( t , 0), unde k este o constantă și familia de linii este generată prin variația parametrului t . Ecuația generică a acestor linii este y = - (k - t) x / t + k - t , adică sub formă implicită:

F(x,y,t)=t^{2}+t(y-x-k)+kx=0

{\ displaystyle F (x, y, t) = t ^ {2} + t (yxk) + kx = 0}

F (x, y, t) = t ^ {2} + t (y-x-k) + kx = 0

Echivalând derivata față de t la zero avem:

{\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=2t+y-x-k=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F (x, y, t)} {\ partial t}} = 2t + yxk = 0}

{\ frac {\ partial F (x, y, t)} {\ partial t}} = 2t + y-x-k = 0

de la care:

t={\frac {-y+x+k}{2}}

{\ displaystyle t = {\ frac {-y + x + k} {2}}}

t = {\ frac {-y + x + k} {2}}

Înlocuind t în definiția lui F (x, y, t) obținem:

x^{2}-2xy+y^{2}-2kx-2ky+k^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {2} -2xy + y ^ {2} -2kx-2ky + k ^ {2} = 0}

x ^ {2} -2xy + y ^ {2} -2kx-2ky + k ^ {2} = 0

care este ecuația curbei plicului.

Notă

^ Giorgio Pietrocola, Curbe istorice , Lemniscata di Bernoulli , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre plic

linkuri externe

( EN ) Plic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Giorgio Pietrocola, Curbe istorice , Lemniscata di Bernoulli , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .

[1]