Lemniscata din Bernoulli

Urmă lăsată de punct

P_{0}(x_{0},y_{0})=\left\{{\begin{matrix}x_{0}={\frac {2t+4t^{3}}{1+4t^{4}}}\\y_{0}={\frac {2t-4t^{3}}{1+4t^{4}}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0}) = \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {0} = {\ frac {2t + 4t ^ {3}} {1 + 4t ^ {4}}} \\ y_ {0} = {\ frac {2t-4t ^ {3}} {1 + 4t ^ {4}}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0}) = \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {0} = {\ frac {2t + 4t ^ {3}} {1 + 4t ^ {4}}} \\ y_ {0} = {\ frac {2t-4t ^ {3}} {1 + 4t ^ {4}}} \ end {matrix}} \ right.}

cu variație regulată a parametrului t. Coordonatele acestui punct, ca t în variază

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

, sunt o posibilă reprezentare parametrică a lemniscatului lui Bernoulli

Diverse modalități de construcție a lemniscatului. Animații realizate în MSWLogo ^[1]

În matematică , ^[2] lemniscatul Bernoulli este o curbă algebrică în formă de opt mincinos: are un biflecnod în origine și două puncte nodale duble în punctele ciclice; este descris în coordonatele carteziene sub forma:

(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2})}

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2})

Graficul acestei ecuații produce o curbă similară cu simbolul infinitului $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , care la rândul său se numește lemniscat . ^[3] Reprezentarea Unicode a lui ∞ este ( ∞ ).

Lemniscatul a fost descris pentru prima dată în 1694 de Jakob Bernoulli , ca o modificare a elipsei , care este locusul punctelor pentru care suma distanțelor de la două puncte fixe numite focare este constantă. Un lemniscat, pe de altă parte, este locusul punctelor pentru care produsul acestor distanțe este constant. Bernoulli a numit-o lemniscus , care este echivalentul latin al unui arc suspendat .

Lemniscatul fusese deja tratat de Giovanni Cassini în studiul său din 1680 asupra ovalului lui Cassini , din care lemniscatul constituie un caz particular. Giovanni Fagnano dei Toschi a studiat în 1750 principalele sale proprietăți.

Lungime

Lungimea lemniscatului Bernoulli ale cărei două puncte cele mai îndepărtate de centru sunt situate pe punctele -1 și +1 ale abscisei este de aproximativ 2.622 lungime. Această măreție, descoperită de Carl Gauss , este indicată cu simbolul $\varpi$ ${\ displaystyle \ varpi}$ $\ varpi$ . Relația dintre $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Și $\varpi$ ${\ displaystyle \ varpi}$ $\ varpi$ este egal cu media aritmetico-geometrică cuprinsă între 1 și ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ . Demonstrarea acestei identități a dus la progrese în tehnicile de calcul a integralelor eliptice .

Alte ecuații

Lemniscatul lui Bernoulli poate fi descris și prin ecuații polare

r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta

{\ displaystyle r ^ {2} = 2a ^ {2} \ cos 2 \ theta}

{\ displaystyle r ^ {2} = 2a ^ {2} \ cos 2 \ theta}

sau din ecuația bipolară

rr'={\frac {a^{2}}{2}}

{\ displaystyle rr '= {\ frac {a ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle rr '= {\ frac {a ^ {2}} {2}}}

.

Notă

^ Giorgio Pietrocola, Curbe istorice , Lemniscata di Bernoulli , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .
^ Alexandru V. Gnedin, sita Bernoulli , în Bernoulli , vol. 10, nr. 1, 2004-02, pp. 79–96, DOI : 10.3150 / bj / 1077544604 . Adus pe 27 octombrie 2020 .
^ Cuvântul „lemniscate” este un neologism (c. 1781) inspirat din lemniscusul latin , care înseamnă „panglică suspendată” ( Dicționarul online al lui Merriam-Webster ).

Bibliografie

( EN ) Lemniscate of Bernoulli , in The MacTutor History of Mathematics archive , School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Adus 16-07-2008 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre lemniscatul lui Bernoulli

linkuri externe

( EN ) Lemniscata di Bernoulli , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( FR ) Pagina despre lemniscatul lui Bernoulli , pe mathcurve.com .
Lemniscata di Bernoulli ca plic de circumferințe , pe webalice.it . Adus pe 2 ianuarie 2011 (arhivat din original la 9 aprilie 2016) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 36777

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Giorgio Pietrocola, Curbe istorice , Lemniscata di Bernoulli , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .

[2] Alexandru V. Gnedin, sita Bernoulli , în Bernoulli , vol. 10, nr. 1, 2004-02, pp. 79–96, DOI : 10.3150 / bj / 1077544604 . Adus pe 27 octombrie 2020 .

[3] Cuvântul „lemniscate” este un neologism (c. 1781) inspirat din lemniscusul latin , care înseamnă „panglică suspendată” ( Dicționarul online al lui Merriam-Webster ).

[1]

[2]

[3]