Paradoxul Banach-Tarski

Demonstrat pentru prima dată de Stefan Banach și Alfred Tarski în 1924 , paradoxul lui Banach-Tarski, sau paradoxul Hausdorff-Banach-Tarski, este celebrul rezultat al „dublării sferei” ( „dublarea mingii”) cu care stabiliți că , folosind axioma de alegere , este posibil să luați o sferă într-un spațiu tridimensional, să o împărțiți într-un set finit de piese nemăsurabile și, folosind doar rotații și translații , reasamblați piesele astfel încât să obțineți două sfere ale aceeași rază a originalului.

Descriere

Cu acest rezultat, Banach și Tarski au intenționat să ofere argumente în sprijinul deciziei lor de a nu folosi axioma alegerii și au sperat să îi împingă pe alți matematicieni ai vremii la aceleași concluzii. Contrar dorințelor lor, totuși, majoritatea matematicienilor preferă să utilizeze această axiomă și văd în rezultatul paradoxal al lui Banach și Tarski pur și simplu un rezultat contraintuitiv (și totuși nu în sine contradictoriu).

Paradoxul arată că nu este posibil să se formuleze o noțiune de măsură care, pe de o parte, să fie de acord cu noțiunea clasică de volum (și care, prin urmare, este invariantă în roto-traduceri) și care, pe de altă parte, poate fi aplicată tuturor subseturi ale spațiului.

Cu alte cuvinte: dacă vrem să păstrăm proprietatea invarianței roto-translative a noțiunii clasice de volum, atunci trebuie să renunțăm la pretenția de a măsura fiecare subset de spațiu, adică trebuie să acceptăm faptul că există subseturi de spațiu pentru care noțiunea de volum nu este definită. De fapt, paradoxul se explică tocmai prin faptul că unele dintre piesele în care este împărțită prima sferă se dovedesc a fi seturi la care noțiunea de volum nu poate fi aplicată, în ciuda atât setului de pornire (prima sferă), cât și că de sosire (perechea de sfere) au în schimb un volum bine definit.

Dovada existenței unor mulțimi al căror volum nu poate fi definit fusese deja obținută de Giuseppe Vitali cu celebrul exemplu al mulțimii lui Vitali . Dar în setul Vitali o descompunere se face într-un număr infinit (dar numărabil) de părți, în timp ce în paradoxul Banach-Tarski subdiviziunea este într-un număr finit de părți.

În cele din urmă, este util să observăm că atât construcțiile lui Vitali, cât și construcțiile lui Banach-Tarski se bazează pe axioma de alegere: s-a demonstrat că, dacă această axiomă nu este utilizată, atunci nu este posibil să construim mulțimea lui Vitali și nici să dovedim paradoxul Banach-Tarski.

Setare formală

Să presupunem că G este un grup care acționează pe o mulțime X. În cel mai important caz special, X este un spațiu euclidian n- dimensional, iar G constă din toate izometriile lui X , adică transformările unu-la-unu ale lui X în sine care păstrează distanțele. Două figuri geometrice care pot fi transformate una în cealaltă sunt numite congruente , această terminologie va fi extinsă la acțiunea G generală. Două subseturi A și B ale lui X sunt numite G- echiscomponibile , sau echiscomponibile față de G , dacă A și B pot fi partiționate în același număr finit de piese G- congruente. Este ușor de văzut că acest lucru definește o relație de echivalență $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ dintre toate subseturile lui X. În mod formal, dacă

A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},\quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset {\text{ per ogni }}1\leq i<j\leq k,

{\ displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} A_ {i}, \ quad B = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} B_ {i}, \ quad A_ {i} \ cap A_ {j} = B_ {i} \ cap B_ {j} = \ emptyset {\ text {pentru fiecare}} 1 \ leq i <j \ leq k,}

A = \ bigcup _ {{i = 1}} ^ {k} A_ {i}, \ quad B = \ bigcup _ {{i = 1}} ^ {k} B_ {i}, \ quad A_ {i} \ cap A_ {j} = B_ {i} \ cap B_ {j} = \ emptyset {\ text {pentru fiecare}} 1 \ leq i <j \ leq k,

și există elemente g ₁ , ..., g _k din G astfel încât pentru fiecare i cuprins între 1 și k , g _i ( A _i ) = B _i , atunci vom spune că A și B sunt G -ecomponibile folosind k piese . O mulțime E se numește paradoxală dacă are două subseturi disjuncte A și B astfel încât A $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ E și B. $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ E.

Folosind această terminologie, paradoxul Banach - Tarski poate fi reformulat după cum urmează:

O minge euclidiană tridimensională este echizomponabilă la două copii ale ei.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre paradoxul Banach-Tarski

linkuri externe

Demonstrarea paradoxului (necesită cunoștințe matematice universitare)

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85011446 · GND (DE) 4143975-2 · BNF (FR) cb12285988c (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică