Set Vitali

În matematică , setul Vitali , numit după matematicianul italian Giuseppe Vitali , oferă un exemplu de subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ care nu este măsurabilă prin nicio măsură care este pozitivă, invariantă de traducere și sigma-finită (în special nu este măsurabilă în raport cu măsura Lebesgue ). Axioma de alegere este indispensabilă pentru construcția setului Vitali.

Construcția se desfășoară după cum urmează:

Este definit pe numerele reale ale intervalului $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ următoarea relație de echivalență : spunem că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este echivalent cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ dacă diferența lor este un număr rațional .
Se consideră ansamblul tuturor claselor de echivalență induse de relația tocmai definită. Acestea trebuie să fie o infinitate nenumărată , deoarece dacă ar fi o infinitate numărabilă am avea acel set $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ ea însăși ar fi numărabilă (ca o uniune numărabilă de seturi numărabile).
Prin axioma de alegere există un set care conține exact un reprezentant al fiecărei clase, să-l numim $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : este setul lui Vitali.

Demonstrarea nemăsurabilității întregului $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$

Setul Vitali are următoarele proprietăți:

Dacă îl traduceți printr-o cantitate egală cu orice număr rațional strict pozitiv, acesta va ocupa puncte complet diferite de cele pe care le ocupa inițial. Mai formal, întregul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și tradus $V+q$ ${\ displaystyle V + q}$ $V + q$ sunt disjuncte pentru orice $q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$ $q \ in {\ mathbb Q} \ setminus \ {0 \}$ . Asta pentru că dacă ar fi absurd $V\cap T_{q}(V)\neq \emptyset$ ${\ displaystyle V \ cap T_ {q} (V) \ neq \ emptyset}$ $V \ cap T _ {{q}} (V) \ neq \ emptyset$ , unde este $T_{q}(V)=V+q$ ${\ displaystyle T_ {q} (V) = V + q}$ $T _ {{q}} (V) = V + q$ cu $q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$ $q \ in {\ mathbb {Q}} \ setminus \ {0 \}$ , ar exista $x,y\in V$ ${\ displaystyle x, y \ în V}$ $x, y \ în V$ distinct și, prin urmare, cu $(y-x)\notin \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (yx) \ notin \ mathbb {Q}}$ $(y-x) \ notin {\ mathbb {Q}}$ fiind reprezentanți ai diferitelor clase de echivalență, astfel încât $y=T_{q}(x)$ ${\ displaystyle y = T_ {q} (x)}$ $y = T _ {{q}} (x)$ . Dar apoi, $y=x+q$ ${\ displaystyle y = x + q}$ $y = x + q$ , adică $(y-x)=q\in \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (yx) = q \ in \ mathbb {Q}}$ $(y-x) = q \ in {\ mathbb {Q}}$ , ceea ce este absurd după ce am observat că $(y-x)\notin \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (yx) \ notin \ mathbb {Q}}$ $(y-x) \ notin {\ mathbb {Q}}$ pentru fiecare $x,y\in V$ ${\ displaystyle x, y \ în V}$ $x, y \ în V$ distinct.
Având în vedere orice punct $x\in [0,1]$ ${\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x \ in [0,1]$ , aceasta va aparține unor traduceri $V+q$ ${\ displaystyle V + q}$ $V + q$ cu $q\in \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {Q}}$ $q \ in {\ mathbb Q}$ : intr-adevar $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ va aparține oricăreia dintre clasele de echivalență definite mai sus și având în vedere că în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ există un reprezentant al fiecărei clase, apoi în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ există un punct care este îndepărtat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ o cantitate egală cu un număr rațional.

Din proprietățile enunțate derivă nemăsurabilitatea lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în cazul în care măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ verificați următoarele proprietăți:

pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ invarianța apare pentru traduceri , adică $\mu (x+A)=\mu (A)$ ${\ displaystyle \ mu (x + A) = \ mu (A)}$ $\ mu (x + A) = \ mu (A)$ .
pozitivitate: $\mu (\mathbb {R} )\neq 0$ ${\ displaystyle \ mu (\ mathbb {R}) \ neq 0}$ $\ mu ({\ mathbb R}) \ neq 0$
apare $\mu ([a,b])<\infty$ ${\ displaystyle \ mu ([a, b]) <\ infty}$ $\ mu ([a, b]) <\ infty$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Datorită invarianței pentru traduceri, pentru a menține această condiție este suficient să presupunem că $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură sigma-finită .

Pentru a demonstra nemăsurabilitatea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se presupune că valoarea lui este definită $\mu (V)$ ${\ displaystyle \ mu (V)}$ $\ mu (V)$ și există o contradicție cu ipotezele. Luați în considerare setul obținut prin alăturarea tuturor traducerilor posibile ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a numerelor raționale între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Pentru a face acest lucru, luați mai întâi o enumerare $q_{1},q_{2},q_{3},\dots$ ${\ displaystyle q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}, \ dots}$ $q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}, \ dots$ a raționalelor din $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ , și definiți întregul:

U=(V+q_{1})\cup (V+q_{2})\cup \dots \cup (V+q_{n})\cup \dots

{\ displaystyle U = (V + q_ {1}) \ cup (V + q_ {2}) \ cup \ dots \ cup (V + q_ {n}) \ cup \ dots}

U = (V + q_ {1}) \ cup (V + q_ {2}) \ cup \ dots \ cup (V + q_ {n}) \ cup \ dots

Este notat ca $\mu (U)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (U) <\ infty}$ $\ mu (U) <\ infty$ deoarece $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un set limitat ( $U\subset [-1,2]$ ${\ displaystyle U \ subset [-1,2]}$ $U \ subset [-1,2]$ și de aceea provine din a treia proprietate a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ). Atâta timp cât $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o uniune disjunctă de seturi, pentru proprietățile măsurilor pe care le avem:

\mu (U)=\mu (V+q_{1})+\mu (V+q_{2})+\dots +\mu (V+q_{n})+\dots

{\ displaystyle \ mu (U) = \ mu (V + q_ {1}) + \ mu (V + q_ {2}) + \ dots + \ mu (V + q_ {n}) + \ dots}

\ mu (U) = \ mu (V + q_ {1}) + \ mu (V + q_ {2}) + \ dots + \ mu (V + q_ {n}) + \ dots

și prin invarianța $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pentru traduceri:

\mu (U)=\mu (V)+\mu (V)+\dots +\mu (V)+\dots

{\ displaystyle \ mu (U) = \ mu (V) + \ mu (V) + \ dots + \ mu (V) + \ dots}

\ mu (U) = \ mu (V) + \ mu (V) + \ dots + \ mu (V) + \ dots

dar întrucât cantitatea din stânga egalității este finită, relația tocmai scrisă implică asta $\mu (V)=0$ ${\ displaystyle \ mu (V) = 0}$ $\ mu (V) = 0$ și, prin urmare, de asemenea $\mu (U)=0$ ${\ displaystyle \ mu (U) = 0}$ $\ mu (U) = 0$ . S-a remarcat însă mai devreme că fiecare $x\in [0,1]$ ${\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x \ in [0,1]$ este situat într-unul din $V+q_{n}$ ${\ displaystyle V + q_ {n}}$ $V + q_ {n}$ , asa de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ trebuie să includă întreaga gamă $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Dar apoi, din proprietățile măsurilor, avem $\mu ([0,1])\leq \mu (U)$ ${\ displaystyle \ mu ([0,1]) \ leq \ mu (U)}$ $\ mu ([0,1]) \ leq \ mu (U)$ și s-a văzut că acesta din urmă este, prin urmare, nul $\mu ([0,1])=0$ ${\ displaystyle \ mu ([0,1]) = 0}$ $\ mu ([0,1]) = 0$ iar pentru invarianța pentru traduceri trebuie să avem și noi $\mu (\mathbb {R} )=0$ ${\ displaystyle \ mu (\ mathbb {R}) = 0}$ $\ mu ({\ mathbb R}) = 0$ , care contrazice ipotezele privind $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Bibliografie

Horst Herrlich, Axiom of Choice , Springer, 2006, p. 120 .
Giuseppe Vitali , Despre problema măsurării grupurilor de puncte ale unei linii drepte , în Bologna, Tip. Gamberini și Parmeggiani , 1905.

Elemente conexe

Paradoxul Banach-Tarski

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Set Vitali

Demonstrarea nemăsurabilității întregului V. {\ displaystyle V}

Bibliografie

Elemente conexe

Demonstrarea nemăsurabilității întregului $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$