Set incomensurabil
Această pagină oferă o discuție non-tehnică a acestui concept. Pentru o discuție tehnică, a se vedea măsura (matematica) și diferitele construcții ale mulțimilor nemăsurabile: setul Vitali , paradoxul Hausdorff , paradoxul Banach-Tarski .
În matematică , un set care nu se poate măsura este un set a cărui structură este atât de complicată încât nu permite să facă lumină asupra semnificației reale a noțiunilor de lungime , zonă sau volum .
Primul indiciu că ar putea exista o problemă la definirea lungimii pentru un set arbitrar vine din teorema lui Vitali , care afirmă în esență că puteți lua un interval de lungime 1, îl puteți împărți în bucăți, puteți muta piesele și puteți obține un interval de lungime 2 (uneori acest rezultat se numește paradoxul lui Hausdorff ). Cu toate acestea, numărul de piese trebuie să fie infinit. Așadar, ați putea interpreta rezultatul spunând că lungimea corectă a fiecăreia dintre aceste piese este 0, dar atunci când le adăugați împreună puteți obține 1 sau 2. O astfel de definiție a lungimii se numește o măsură finit aditivă .
Pe măsură ce numărul dimensiunilor crește, imaginea se înrăutățește. Paradoxul Banach-Tarski afirmă că puteți lua o sferă de rază 1, o puteți împărți într-un număr finit de părți (puteți merge la cinci, dintre care una este formată dintr-un singur punct), puteți muta și roti diferitele părți obținerea a două sfere de rază 1. Evident că această construcție nu are niciun sens în lumea fizică. În 1989, AK Dewdney a publicat o scrisoare a prietenului său Arlo Lipof în coloana de divertisment pe calculator a revistei Scientific American , descriind o operațiune clandestină „într-o țară sud-americană” de duplicare a sferelor de aur folosind paradoxul Banach.Tarski. Bineînțeles că era coloana din aprilie .
Înțelesul practic al paradoxului Banach-Tarski este că nu este posibil să se definească volumul în trei dimensiuni decât dacă sunt acceptate una sau mai multe dintre următoarele ipoteze:
- Volumul unui ansamblu se poate modifica dacă este rotit
- Volumul unirii a două seturi disjuncte poate fi diferit de suma volumelor lor
- Unele seturi pot fi etichetate ca „nu se pot măsura” și trebuie să verificați dacă un set este „măsurabil” înainte de a vorbi despre volumul său
- Regulile matematicii trebuie schimbate pentru a preveni construcțiile anterioare.
Se pare că prețul de plătit pentru concesiunea numărul 3 este surprinzător de mic. Familia de seturi măsurabile este foarte bogată și aproape toate seturile care pot fi întâlnite în diferitele ramuri ale matematicii sunt măsurabile. Mai mult decât atât, nu este posibil să se construiască un set care nu poate fi măsurat, ci doar să demonstreze indirect existența acestuia, în timp ce invers este adesea ușor să se demonstreze că un set dat este măsurabil. Deci, aceasta este alternativa preferată pentru majoritatea matematicienilor. Ca bonus, o serie infinită de seturi disjuncte îndeplinește și formula sumă, o proprietate pe care matematicienii o numesc σ-aditivitate .
Pe de altă parte, prețul pentru concesiunea 4 este, de asemenea, mai mic decât s-ar putea aștepta. Se pare că o axiomă specifică poate fi considerată vinovată. Este faimoasa axiomă de alegere . Se vede că eliminarea acestei axiome din matematică se schimbă doar în zone mici și ușor de identificat, iar cea mai mare parte a matematicii rămâne neafectată. Vedeți axioma de alegere pentru o discuție completă. Aceasta este a doua alternativă în ordinea preferințelor.
În cele din urmă, ideea de a elimina σ-aditivitatea într-o dimensiune pentru a obține o definiție a lungimii pentru toate seturile nu se dovedește foarte utilă. O scurtă discuție a motivelor poate fi găsită în măsură (matematică) .
Bibliografie
- ( EN ) AK Dewdney, Un fabricant de materii oferă materii pentru gândire , Recreeri computerizate, Sci. Am. Aprilie 1989, 116-119.
- Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .
