Paradoxul lui Hausdorff

Paradoxul Hausdorff este un paradox aparent în matematică numit după matematicianul omonim Felix Hausdorff , similar cu paradoxul Banach-Tarski , care afirmă următoarele: dată o sferă ${\mathbb {S} ^{2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ (o sferă bidimensională în ${\mathbb {R} ^{3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$ ), dacă un anumit subset contabil este eliminat din acesta, atunci partea rămasă poate fi împărțită în trei subseturi disjuncte ${A,B}$ ${\ displaystyle {A, B}}$ ${\ displaystyle {A, B}}$ Și ${C}$ ${\ displaystyle {C}}$ ${\ displaystyle {C}}$ astfel încât ${A,B,C}$ ${\ displaystyle {A, B, C}}$ ${\ displaystyle {A, B, C}}$ Și ${B\cup C}$ ${\ displaystyle {B \ cup C}}$ ${\ displaystyle {B \ cup C}}$ toate trei sunt congruente . În special, rezultă că pe ${\mathbb {S} ^{2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ -sfera nu este posibil să se definească o măsură aditivă finită (adică una care presupune valori finite) definită pe toate subseturile în așa fel încât măsura seturilor congruente să fie egală (deoarece acest lucru ar implica că măsura ${B\cup C}$ ${\ displaystyle {B \ cup C}}$ ${\ displaystyle {B \ cup C}}$ ambele simultan ${\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$ Și ${\frac {2}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$ a măsurării totale a întregii sfere).

Descriere

Rezultatul a fost publicat pentru prima dată în Matematische Annalen în 1914 și în cartea lui Hausdorff „Grundzüge der Mengenlehre” (Introducere în teoria mulțimilor) în același an. Dovada paradoxului Banach-Tarski folosește ideile lui Hausdroff și ambele se bazează pe utilizarea axiomei de alegere . Acest rezultat arată că nu există o măsură aditivă finit pe o sferă, definibilă pe toate subseturile sale, care este egală pe părțile sale congruente (Hausdorff a dovedit mai întâi cel mai slab rezultat: nu există o măsură aditivă numărabilă definită pe toate subseturile). Structura grupului de rotații ale unei sfere $SO(3)$ ${\ displaystyle SO (3)}$ ${\ displaystyle SO (3)}$ joacă un rol crucial aici, deoarece rezultatul nu se menține pe plan sau pe linie: de fapt, așa cum a fost demonstrat mai târziu de Banach , ^[1] este posibil să se definească o "zonă" pentru toate subseturile delimitate ale planului euclidian (precum și o „lungime” pentru toate subseturile delimitate ale liniei reale) astfel încât subseturile congruente să aibă aceeași „zonă” (sau „lungime”, în cazul liniei). Acest lucru implică faptul că, având în vedere două subseturi deschise ale planului euclidian (sau ale liniei reale), dacă sunt echisponibile , atunci au aceeași zonă (sau lungime).

Tratament formal

Teorema

Există o descompunere a sferei unitare ${\mathbb {S} ^{2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {S} ^ {2}}}$ în spațiul euclidian ${\mathbb {R} ^{3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$ în patru seturi ${A,B,C,D}$ ${\ displaystyle {A, B, C, D}}$ ${\ displaystyle {A, B, C, D}}$ disjunct astfel încât ${A,B,C,B\cup C}$ ${\ displaystyle {A, B, C, B \ cup C}}$ ${\ displaystyle {A, B, C, B \ cup C}}$ sunt congruente e ${D}$ ${\ displaystyle {D}}$ ${\ displaystyle {D}}$ fii contabil.

Sugestii de demonstrație

Un ingredient crucial în dovadă este axioma alegerii, deoarece permite acest lucru ${A,B,C}$ ${\ displaystyle {A, B, C}}$ ${\ displaystyle {A, B, C}}$ nu sunt mulțimi construibile .

Dovada începe luând în considerare mulțimea tuturor și numai punctele cercului unitar $\mathbb {S} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ și o acțiune de grup $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ pe el, constând din toate rotațiile raționale posibile (adică rotațiile unghiurilor care sunt multipli raționali ai $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ). $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este numărabil (mai precis, $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este izomorfă la $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ), in timp ce $\mathbb {S} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ este de nenumărat . Prin urmare, se dovedește că $\mathbb {S} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ este divizibil într-un set nenumărat de orbite ale $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Folosind axioma de alegere, putem alege un singur punct din fiecare orbită, obținând un subset de nenumărat $X\subset \mathbb {S} ^{2}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {S} ^ {2}}$ . Subseturile sunt apoi construite ${A,B,C,D}$ ${\ displaystyle {A, B, C, D}}$ ${\ displaystyle {A, B, C, D}}$ începând de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ folosind acțiuni de rotație de grup $r\in R$ ${\ displaystyle r \ în R}$ $r \ în R$ .

Prin urmare , „paradoxul“ apare atunci când este luat în considerare faptul că se poate alege (prin acțiuni de grup) subgrupuri nemasurabile ale sferei care sunt aparent „o treime“ și „două treimi“ din ea, și folosind congruență geometric ca mijloc de comparație.

Notă

^ Stefan Banach , "Sur le problème de la mesure" , Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes" , Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244-277, 1924.

Bibliografie

Felix Hausdorff, [442 ,% 22view% 22:% 22info% 22} Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen ], în Mathematische Annalen , vol. 75, 1914, pp. 428–434, DOI : 10.1007 / bf01563735 . (articol original în germană)
Felix Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre , Leipzig, 1914. (în germană)
Paradoxul lui Hausdorff - sau două pentru unul ( PDF ), pe sms.math.nus.edu.sg.
Dovada paradoxală a lui Hausdorff , pe proofwiki.org .

Elemente conexe

Paradoxul Banach-Tarski

[1] Stefan Banach , "Sur le problème de la mesure" , Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes" , Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244-277, 1924.

[1]