Acțiune de grup

În algebră , o acțiune de grup este o hartă care vă permite să raportați elementele unui grup cu cele ale altui set . Este astfel posibil să se obțină o corespondență între proprietățile grupului și cele ale mulțimii (care poate fi, în funcție de caz, echipată cu alte structuri, de exemplu structuri algebrice ).

Definiție

Fie G un grup și A un set . Se spune că acțiunea de grup (adică acțiunea G ) este o funcție :

G\times A\longrightarrow A

{\ displaystyle G \ times A \ longrightarrow A}

{\ displaystyle G \ times A \ longrightarrow A}

(g,a)\mapsto g\cdot a,

{\ displaystyle (g, a) \ mapsto g \ cdot a,}

(g, a) \ mapsto g \ cdot a,

unde este $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este definit în așa fel încât să verifice următoarele două condiții:

$1_{G}\cdot a=a\quad \forall a\in A;$ ${\ displaystyle 1_ {G} \ cdot a = a \ quad \ forall a \ în A;}$ ${\ displaystyle 1_ {G} \ cdot a = a \ quad \ forall a \ în A;}$
$g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\quad \forall g,h\in G,\ a\in A.$ ${\ displaystyle g \ cdot (h \ cdot a) = (gh) \ cdot a \ quad \ forall g, h \ in G, \ a \ in A.}$ $g \ cdot (h \ cdot a) = (gh) \ cdot a \ quad \ forall g, h \ in G, \ a \ in A.$ ^[1]

Această din urmă proprietate nu trebuie confundată cu cea asociativă care este definită numai pentru elementele din același set, în timp ce g, h și a aparțin unor seturi diferite.

În literatură, având în vedere o acțiune G asupra unui set A , se mai spune că grupul G acționează asupra lui A sau că A este un set G. ^[2] ^[3]

Orbite

Având în vedere relația de echivalență $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$

x,y\in A,\ x\ \sim \ y\ \ {\rm {se}}\ \exists g\in G\ \ {\rm {t.c.}}\ \ y=g\cdot x

{\ displaystyle x, y \ în A, \ x \ \ sim \ y \ \ {\ rm {se}} \ \ există g \ în G \ \ {\ rm {tc}} \ \ y = g \ cdot x }

{\ displaystyle x, y \ în A, \ x \ \ sim \ y \ \ {\ rm {se}} \ \ există g \ în G \ \ {\ rm {tc}} \ \ y = g \ cdot x }

clasele de echivalență astfel definite se numesc orbite . Orbitele formează o partiție a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Orbita care conține elementul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dat de

O(x)=\{g\cdot x\mid g\in G\}.

{\ displaystyle O (x) = \ {g \ cdot x \ mid g \ în G \}.}

{\ displaystyle O (x) = \ {g \ cdot x \ mid g \ în G \}.}

În cazul unei acțiuni de conjugare , orbitele iau numele claselor de conjugare .

Numărul de orbite

Dacă grupul a terminat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ acționează asupra mulțimii finite $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , pentru lema Burnside (datorită lui Frobenius ) numărul de orbite ale acestei acțiuni este egal cu:

{\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\mbox{fix}}(g)|

{\ displaystyle {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ în G} | {\ mbox {fix}} (g) |}

{\ displaystyle {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ în G} | {\ mbox {fix}} (g) |}

unde este

{\mbox{fix}}(g)=\{a\in A:g\cdot a=a\}

{\ displaystyle {\ mbox {fix}} (g) = \ {a \ în A: g \ cdot a = a \}}

{\ displaystyle {\ mbox {fix}} (g) = \ {a \ în A: g \ cdot a = a \}}

este ansamblul elementelor din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care sunt lăsate fixate de element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Sisteme dinamice

Același subiect în detaliu: Orbita (matematică) .

În analiza sistemelor dinamice , evoluția unui sistem dinamic este formalizată de un omomorfism de grup $\alpha :G\to {\mbox{aut}}(A)$ ${\ displaystyle \ alpha: G \ to {\ mbox {aut}} (A)}$ ${\ displaystyle \ alpha: G \ to {\ mbox {aut}} (A)}$ care induce o acțiune continuă a unui grup topologic G asupra unei algebre A convexe local . În acest caz orbitele sunt traiectoriile realizate de sistem în spațiul de fază .

Stabilizator

Având în vedere un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este definit ca stabilizator al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ subgrupul de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ format din elementele care fixează $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

{\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ în G \ mid g \ cdot x = x \}.}

{\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ în G \ mid g \ cdot x = x \}.}

Stabilizatorul este un subgrup al lui G.

Pentru un grup finit, orbita $O_{x}$ ${\ displaystyle O_ {x}}$ ${\ displaystyle O_ {x}}$ a unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ contează la fel de multe elemente ca indicele stabilizatorului $G_{x}$ ${\ displaystyle G_ {x}}$ ${\ displaystyle G_ {x}}$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Apoi următoarea formulă se aplică pentru calculul ordinii $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ :

|G|=|O_{x}|\cdot |G_{x}|.

{\ displaystyle | G | = | O_ {x} | \ cdot | G_ {x} |.}

{\ displaystyle | G | = | O_ {x} | \ cdot | G_ {x} |.}

O bijecție explicită între clasele laterale

M=\{gG_{x}\}_{x\in X,g\in G}

{\ displaystyle M = \ {gG_ {x} \} _ {x \ în X, g \ în G}}

{\ displaystyle M = \ {gG_ {x} \} _ {x \ în X, g \ în G}}

și orbita $O(x)$ ${\ displaystyle O (x)}$ ${\ displaystyle O (x)}$ este dat de:

O(x)\rightarrow M,

{\ displaystyle O (x) \ rightarrow M,}

{\ displaystyle O (x) \ rightarrow M,}

g\cdot x\mapsto gG_{x}.

{\ displaystyle g \ cdot x \ mapsto gG_ {x}.}

{\ displaystyle g \ cdot x \ mapsto gG_ {x}.}

Acțiuni la stânga și la dreapta

Acțiunea definită se numește mai corect acțiunea din stânga. O acțiune din dreapta poate fi definită în mod similar $A\times G\rightarrow A$ ${\ displaystyle A \ times G \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle A \ times G \ rightarrow A}$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , pentru care sunt valabile rezultate similare cu cele ale acțiunii din stânga. ^[4]

Alte definiții

O acțiune este fidelă dacă fiecare element al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ deplasați cel puțin un punct cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\forall g\in G,g\neq e,\,\exists x\in A:\,g\cdot x\neq x.

{\ displaystyle \ forall g \ în G, g \ neq e, \, \ există x \ în A: \, g \ cdot x \ neq x.}

{\ displaystyle \ forall g \ în G, g \ neq e, \, \ există x \ în A: \, g \ cdot x \ neq x.}

O acțiune este gratuită dacă stabilizatorii sunt toți banali:

\forall g\in G,g\neq e,\forall x\in A:\,g\cdot x\neq x.

{\ displaystyle \ forall g \ in G, g \ neq e, \ forall x \ in A: \, g \ cdot x \ neq x.}

{\ displaystyle \ forall g \ in G, g \ neq e, \ forall x \ in A: \, g \ cdot x \ neq x.}

O acțiune este tranzitivă dacă există o singură orbită:

\forall x,y\in A,\,\exists g\in G:\,y=g\cdot x.

{\ displaystyle \ forall x, y \ în A, \, \ există g \ în G: \, y = g \ cdot x.}

{\ displaystyle \ forall x, y \ în A, \, \ există g \ în G: \, y = g \ cdot x.}

O acțiune este pur și simplu tranzitivă dacă:

\forall x,y\in A,\,\exists !g\in G:\,y=g\cdot x.

{\ displaystyle \ forall x, y \ în A, \, \ există! g \ în G: \, y = g \ cdot x.}

{\ displaystyle \ forall x, y \ în A, \, \ există! g \ în G: \, y = g \ cdot x.}

Un punct fix este un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care este lăsat neschimbat de toate elementele din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , adică orbita sa este redusă doar la element $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ :

g\cdot x=x,\,\forall g\in G.

{\ displaystyle g \ cdot x = x, \, \ forall g \ în G.}

{\ displaystyle g \ cdot x = x, \, \ forall g \ în G.}

Avem definiții analoge pentru acțiuni corecte. Mai mult, rețineți că fiecare acțiune liberă este fidelă, în timp ce dacă G acționează liber și tranzitiv asupra lui A , acțiunea este pur și simplu tranzitivă.

Acțiuni și permutări

De sine $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este o acțiune de grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe setul ne-gol $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ apoi pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ functia $\pi _{g}:X\to X:x\mapsto g\cdot x$ ${\ displaystyle \ pi _ {g}: X \ to X: x \ mapsto g \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ pi _ {g}: X \ to X: x \ mapsto g \ cdot x}$ este o permutare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , de fapt întregul $S:=\{\pi _{g}:g\in G\}$ ${\ displaystyle S: = \ {\ pi _ {g}: g \ în G \}}$ ${\ displaystyle S: = \ {\ pi _ {g}: g \ în G \}}$ formează un subgrup al grupului simetric al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este izomorfă la $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ dacă și numai dacă acțiunea este fidelă.

Exemple

Fiecare grup acționează asupra sa, prin traducere:

G\times G\rightarrow G,

{\ displaystyle G \ times G \ rightarrow G,}

{\ displaystyle G \ times G \ rightarrow G,}

(g,x)\mapsto g\cdot x.

{\ displaystyle (g, x) \ mapsto g \ cdot x.}

{\ displaystyle (g, x) \ mapsto g \ cdot x.}

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial de dimensiune finită $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Luați în considerare grupul de funcții liniare inversabile $\mathrm {GL} _{n}(V)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V)}$ . Atunci

\mathrm {GL} _{n}(V)\times V\rightarrow V,

{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V) \ times V \ rightarrow V,}

{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V) \ times V \ rightarrow V,}

(f,v)\mapsto f\cdot v:=f(v),

{\ displaystyle (f, v) \ mapsto f \ cdot v: = f (v),}

{\ displaystyle (f, v) \ mapsto f \ cdot v: = f (v),}

este o acțiune a $\mathrm {GL} _{n}(V)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (V)}$ pe $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$

Acțiuni asupra spațiilor topologice

Să presupunem că acum $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un spațiu topologic . Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ spațiul orbitelor dotat cu topologia coeficientului și ambele $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ proiecția naturală

p:A\to X\,\!.

{\ displaystyle p: A \ to X \, \!.}

{\ displaystyle p: A \ to X \, \!.}

Prin definiția topologiei coeficientului, harta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o funcție continuă .

Acțiuni și acoperiri

Un caz foarte studiat în topologie este cel în care harta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o acoperire . Pentru ca acest lucru să se întâmple, sunt necesare câteva presupuneri despre acțiune.

Acțiunea este numită corect discontinuă dacă pentru fiecare pereche de subseturi compacte $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ intersecția

gH\cap K\,\!

{\ displaystyle gH \ cap K \, \!}

{\ displaystyle gH \ cap K \, \!}

nu este gol doar pentru un număr finit de elemente $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un spațiu Hausdorff compact local , următoarele condiții sunt echivalente.

$G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ acționează într-un mod liber și corect discontinuu.
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de Hausdorff și fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are un mediu deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât

gU\cap U=\emptyset

{\ displaystyle gU \ cap U = \ emptyset}

{\ displaystyle gU \ cap U = \ emptyset}

pentru fiecare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de Hausdorff și proiecția $p:A\to X$ ${\ displaystyle p: A \ to X}$ ${\ displaystyle p: A \ to X}$ este o acoperire.

Exemple

Grupul ${\mathbb {Z} }_{2}\equiv {\mathbb {Z} }/{2\mathbb {Z} }=\{0,1\}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} _ {2} \ equiv {\ mathbb {Z}} / {2 \ mathbb {Z}} = \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} _ {2} \ equiv {\ mathbb {Z}} / {2 \ mathbb {Z}} = \ {0,1 \}}$ acționează asupra sferei $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ : harta antipodală este asociată cu elementul „1”. Acțiunea este gratuită și întreruptă în mod corespunzător. Spațiul cotient este spațiul proiectiv real $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {n}}$ .

Notă

^ Bosch, S. , p. 218.
^ Sernesi, E. , p. 81 .
^ Kosniowski, C. , p. 39 .
^ Manetti, M. , pp. 217-219 .

Bibliografie

Siegfried Bosch, Algebra , Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-06440-0 .
Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Elemente conexe

Acțiunea căsătoriei

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85057471

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bosch, S. , p. 218.

[2] Sernesi, E. , p. 81 .

[3] Kosniowski, C. , p. 39 .

[4] Manetti, M. , pp. 217-219 .

[1]

[2]

[3]

[4]