Clasa de căsătorie

În matematică și mai ales în teoria grupurilor, elementele unui grup pot fi împărțite în clase de conjugare ; elementele aceleiași clase de conjugare împărtășesc multe proprietăți, iar studiul lor în cazul grupurilor non-abeliene poate ajuta la înțelegerea structurii lor. Dimpotrivă, în cazul grupurilor abeliene , fiecare clasă de căsătorie este alcătuită dintr-un singur element al grupului.

Definiție

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup. Două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se spune că sunt conjugate dacă există un al treilea element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât $gag^{-1}=b$ ${\ displaystyle gag ^ {- 1} = b}$ $gag ^ {{- 1}} = b$ . Se arată că relația de căsătorie este o relație de echivalență și, prin urmare, există o partiție a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în clase de echivalență numite clase de căsătorie:

Cl(a)=\{gag^{-1}:g\in G\}

{\ displaystyle Cl (a) = \ {gag ^ {- 1}: g \ in G \}}

Cl (a) = \ {gag ^ {{- 1}}: g \ in G \}

Proprietate

Unitatea aparține întotdeauna propriei clase de căsătorie, în special: $Cl(e)=\{e\}$ ${\ displaystyle Cl (e) = \ {e \}}$ $Cl (e) = \ {e \}$ .
De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este abelian, $Cl(a)=\{a\}$ ${\ displaystyle Cl (a) = \ {a \}}$ $Cl (a) = \ {a \}$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .
Dacă două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ aparțin aceleiași clase matrimoniale, apoi împărtășesc aceeași ordine .
Un element al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ aparține centrului $Z(G)$ ${\ displaystyle Z (G)}$ $Z (G)$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ dacă și numai dacă clasa sa de conjugare este formată numai de elementul însuși.
Dacă două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt conjugate, la fel și puterile lor de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , acesta este $a^{k}$ ${\ displaystyle a ^ {k}}$ $a ^ {k}$ Și $b^{k}$ ${\ displaystyle b ^ {k}}$ $b ^ {k}$ .

Conjugarea ca acțiune a grupurilor

Acțiunea conjugală poate fi definită ca acțiunea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ in sinea lui:

g\cdot x=gxg^{-1}.

{\ displaystyle g \ cdot x = gxg ^ {- 1}.}

{\ displaystyle g \ cdot x = gxg ^ {- 1}.}

Orbitele acțiunii de conjugare nu sunt altele decât clasele de conjugare, în timp ce stabilizatorul fiecărui element este centralizatorul său (sau centralizatorul).

O formulă importantă care leagă conceptul de centralizator (sau centralizator) al unui element cu clasa de conjugare a acestuia este:

$|G\circ x|=|\{gxg^{-1}\in G|g\in G\}|=[G:C_{G}(x)],$ ${\ displaystyle | G \ circ x | = | \ {gxg ^ {- 1} \ in G | g \ in G \} | = [G: C_ {G} (x)],}$ ${\ displaystyle | G \ circ x | = | \ {gxg ^ {- 1} \ in G | g \ in G \} | = [G: C_ {G} (x)],}$ ^[1]

Cu $G\circ x$ ${\ displaystyle G \ circ x}$ ${\ displaystyle G \ circ x}$ clasa conjugală a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ si cu $[G:C_{G}(x)]$ ${\ displaystyle [G: C_ {G} (x)]}$ ${\ displaystyle [G: C_ {G} (x)]}$ indicele în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de centralizare a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

În același mod putem defini acțiunea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe familia subgrupurilor sau subgrupurilor de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ :

g\cdot S=gSg^{-1}=\{gxg^{-1}:x\in S\}.

{\ displaystyle g \ cdot S = gSg ^ {- 1} = \ {gxg ^ {- 1}: x \ in S \}.}

{\ displaystyle g \ cdot S = gSg ^ {- 1} = \ {gxg ^ {- 1}: x \ in S \}.}

Notă

^ Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra , 2nd ed., Dover ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891 ,OCLC 294885194 . Adus la 8 noiembrie 2018 .

Bibliografie

Michael Artin , Algebra , Bollati Boringhieri , 1997, ISBN 88-339-5586-9 .
Israel Nathan Herstein , Algebra , Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre clasa de căsătorie

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra , 2nd ed., Dover ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891 ,OCLC 294885194 . Adus la 8 noiembrie 2018 .

[1]