Centralizator

În algebră , și mai specific în teoria grupurilor, ne referim la centralizarea (sau „centralizarea”) unui anumit element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ aparținând unui grup $(G,*)$ ${\ displaystyle (G, *)}$ $(G, *)$ întregul:

Z(g):=\{h\in G\mid h*g=g*h\}

{\ displaystyle Z (g): = \ {h \ în G \ mid h * g = g * h \}}

{\ displaystyle Z (g): = \ {h \ în G \ mid h * g = g * h \}}

Cu alte cuvinte, $Z(g)$ ${\ displaystyle Z (g)}$ ${\ displaystyle Z (g)}$ este ansamblul elementelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care comută cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Acest set este de obicei notat cu $Z(g)$ ${\ displaystyle Z (g)}$ ${\ displaystyle Z (g)}$ , în conformitate cu convenția de a folosi litera $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ (fără parametru) pentru a indica centrul unui grup (convenție care la rândul său derivă din Zentrum german, centru).

Proprietățile centralizatorului

Centralizatorul oricărui element al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subgrup, iar verificarea acestui fapt este simplă: sunt $h_{1}$ ${\ displaystyle h_ {1}}$ $h_ {1}$ Și $h_{2}$ ${\ displaystyle h_ {2}}$ $h_ {2}$ două elemente aparținând $Z(g)$ ${\ displaystyle Z (g)}$ ${\ displaystyle Z (g)}$ . Atunci:

(h_{1}*h_{2})*g=h_{1}*(h_{2}*g)=h_{1}*(g*h_{2})=(h_{1}*g)*h_{2}=g*(h_{1}*h_{2})\Rightarrow h_{1}*h_{2}\in Z(g)

{\ displaystyle (h_ {1} * h_ {2}) * g = h_ {1} * (h_ {2} * g) = h_ {1} * (g * h_ {2}) = (h_ {1} * g) * h_ {2} = g * (h_ {1} * h_ {2}) \ Rightarrow h_ {1} * h_ {2} \ în Z (g)}

{\ displaystyle (h_ {1} * h_ {2}) * g = h_ {1} * (h_ {2} * g) = h_ {1} * (g * h_ {2}) = (h_ {1} * g) * h_ {2} = g * (h_ {1} * h_ {2}) \ Rightarrow h_ {1} * h_ {2} \ în Z (g)}

De asemenea, dacă în mod absurd a existat un element $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ astfel încât $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ comutați cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ dar inversul său nu, am avea:

g*e=g*h*h^{-1}=h*g*h^{-1}\not =h*h^{-1}*g=g

{\ displaystyle g * e = g * h * h ^ {- 1} = h * g * h ^ {- 1} \ not = h * h ^ {- 1} * g = g}

{\ displaystyle g * e = g * h * h ^ {- 1} = h * g * h ^ {- 1} \ not = h * h ^ {- 1} * g = g}

, unde este

Și

{\ displaystyle e}

Și

este identitatea grupului și, prin urmare

g*e\not =g

{\ displaystyle g * e \ not = g}

{\ displaystyle g * e \ not = g}

este absurd.

În cele din urmă, identitatea comută cu fiecare element al grupului, prin urmare $\forall g\in G,e\in Z(g)$ ${\ displaystyle \ forall g \ in G, e \ in Z (g)}$ ${\ displaystyle \ forall g \ in G, e \ in Z (g)}$ .

Se spune că centralizatorul unui element este banal dacă coincide cu grupul în sine. Centralizatorii sunt în mod evident banali în grupurile abeliene și, în general, centralizatorul unui element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este banal dacă și numai dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ aparține centrului grupului.

Normalizator

Un concept înrudit este cel al normalizatorului , indicat cu N _G ( S ) sau pur și simplu cu N ( S ), a cărui definiție este obținută din cea a „centralizatorului”, înlocuind însă elementul unic g cu un subset S al lui G (nu neapărat un subgrup al lui G ).

Definiție

Normalizatorul lui S în G este deci setul N _G ( S ) = { x ∈ G : xS = Sx }. De asemenea, în acest caz, după cum se poate demonstra în mod trivial , N ( S ) este un subgrup al lui G. Este și mai banal să menționăm că definiția acestei definiții o presupune pe cea a „centralizatorului” (este suficient să înlocuiți g cu singletul $\{g\}$ ${\ displaystyle \ {g \}}$ ${\ displaystyle \ {g \}}$ ).

Normalizatorul își datorează numele faptului că, dacă subsetul S este, de asemenea, un subgrup al lui G , atunci N ( S ) este cel mai mare subgrup al lui G care are S ca subgrup normal . Normalizatorul nu trebuie confundat cu închiderea versus căsătoria .

Subgrup de auto-normalizare

Un subgrup H al lui G se numește subgrup auto-normalizator al lui G dacă N _G ( H ) = H.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică