Analiza sistemelor dinamice

În teoria sistemelor , analiza sistemelor dinamice sau teoria sistemelor dinamice este studiul comportamentului sistemelor în sine. Deoarece definiția unui sistem dinamic este foarte generală, există mai multe discipline care propun un model matematic al unui sistem dinamic cu referire la contexte particulare.

De exemplu, în mecanica clasică, ecuațiile de mișcare ale lui Newton au fost reformulate de mecanica lagrangiană și mecanica hamiltoniană , în timp ce în ingineria sistemelor dinamice - care pot fi circuite de exemplu - au o ieșire ( ieșire ) și o intrare ( intrare ). Dacă intrările sunt supuse unui semnal de control suplimentar, intrăm în analiza sistemelor de control .

În toate cazurile, analiza sistemelor dinamice se realizează prin stabilirea unui sistem de una sau mai multe ecuații diferențiale pentru care sunt specificate datele inițiale .

Definiție matematică

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o varietate diferențiată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ terminat și

$\Phi =\{\Phi ^{t},\;t\in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle \ Phi = \ {\ Phi ^ {t}, \; t \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ Phi = \ {\ Phi ^ {t}, \; t \ in \ mathbb {R} \}}$

un grup de difeomorfisme ale hărților regulate $\Phi ^{t}:A\to A$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t}: A \ to A}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t}: A \ to A}$ . Apoi cuplul $(A,\Phi )$ ${\ displaystyle (A, \ Phi)}$ ${\ displaystyle (A, \ Phi)}$ se numește sistem dinamic regulat continuu și inversabil (continuu deoarece $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ).

Instrumente matematice

Reprezentarea spațiului de stat

Același subiect în detaliu: spațiul de stare .

În fizica matematică, în special în mecanica rațională și în teoria sistemelor dinamice, o reprezentare în spațiul de stare, cunoscută și sub numele de reprezentare în spațiul de fază, este o descriere a unui sistem dinamic în care se face o referire specială la variabilele de stare ale sistem, care formează un spațiu vectorial în care este reprezentat. Dimensiunea spațiului vectorial menționat mai sus este egală cu dublul numărului de grade de libertate al sistemului; invers, un spațiu vectorial având o dimensiune egală cu numărul de grade de libertate va putea lua în considerare doar starea sistemului într-un singur moment.

Domeniul de frecventa

Același subiect în detaliu: domeniul de frecvență și reprezentarea spectrală a semnalelor .

În matematică, inginerie, fizică, statistică și alte domenii ale științei, analiza domeniului de frecvență al unei funcții de timp (sau semnal) indică descrierea acesteia în termeni de set (spectru) a frecvențelor sale. De exemplu, este o practică larg răspândită în domeniul tehnologiilor audiovizuale și al telecomunicațiilor de a evalua măsura în care un semnal electric sau electromagnetic este inclus în benzile de frecvență de interes deosebit.

Traiectorii în spațiul de fază

Presupunând că deranjează un sistem și se observă traiectoria unei cantități de interes, cazuri de interes deosebit apar atunci când evoluția va tinde să se stabilizeze într-o poziție de echilibru , adică un punct fix în evoluția sistemului.

Echilibrele unui sistem se schimbă cu variația intrărilor și perturbărilor (presupuse a fi constante), de exemplu prin modificarea tensiunii la capetele unui motor, viteza atinsă la starea de echilibru variază. Studiul echilibrelor unui sistem dinamic este de mare interes, de obicei problemele de control pot fi interpretate ca o modificare a punctului de echilibru al unui sistem dat. Un exemplu simplu este dat de echilibrul termic al unui apartament, a cărui temperatură internă este echilibrul impus de condițiile de mediu și interne. Folosirea unui aparat de aer condiționat (sistem de control) prin schimbarea temperaturii în interiorul camerei schimbă doar punctul de echilibru al sistemului.

Stabilitate și puncte de echilibru

Același subiect în detaliu: teoria stabilității .

În matematică , teoria stabilității se referă la stabilitatea în timp a sistemelor dinamice , evaluată în termeni de limitare a ieșirilor (de exemplu, în cazul unei rețele liniare ) sau prin analiza comportamentului orbitelor (soluțiilor) diferențialului ecuație care descrie sistemul, în special în cazul în care acesta se află într-o stare de echilibru .

Studiul stabilității unui sistem dinamic este o problemă larg răspândită în diferite domenii ale științei , cum ar fi ingineria , chimia , fizica , economia sau farmacologia . În special, în cazul sistemelor fizice, sistemul atinge o configurație care nu variază în timp, atunci când coincide cu un minim de energie deținută de sistem ( teorema Lagrange-Dirichlet ).

Teoria bifurcației

Același subiect în detaliu: teoria bifurcației .

Teoria bifurcației este o teorie matematică care se ocupă cu studiul modificărilor calitative sau a structurii topologice a integralelor unui câmp vectorial sau, echivalent, din soluția unei ecuații diferențiale.

Atractorii

Același subiect în detaliu: Atractor .

În matematică, un atractiv este un set către care evoluează un sistem dinamic după un timp suficient de lung. Pentru ca acest set să fie definit ca un atractiv, traiectoriile care ajung să fie suficient de aproape de acesta trebuie să rămână aproape chiar dacă sunt ușor perturbate. Din punct de vedere geometric, un atractor poate fi un punct, o curbă, o varietate (varietate stabilă) sau chiar un ansamblu mai complicat cu o structură fractală și cunoscut sub numele de atractiv straniu. Descrierea atrăgătorilor sistemelor dinamice haotice a fost unul dintre succesele teoriei haosului.

Teoria controlului

Același subiect în detaliu: Verificare automată .

În știința automatizării, controlul automat al unui anumit sistem dinamic (de exemplu un motor, o instalație industrială sau o funcție biologică, cum ar fi bătăile inimii) are ca scop modificarea comportamentului sistemului care urmează să fie controlat (sau „ieșirile” acestuia) prin intermediul manipularea cantităților de intrare adecvate.

Teoria ergodică

Același subiect în detaliu: teoria ergodică .

Teoria ergodică (din grecescul ἔργον érgon, muncă, energie și ὁδός hodós „cale, cale” [1]) se referă în principal la studiul matematic al comportamentului mediu pe termen lung al sistemelor dinamice.

Exemplu

Pentru a introduce analiza unui sistem dinamic ne putem referi la modelul format dintr-un rezervor de apă perforat. În acest model fixăm variabilele și constantele sistemului care a fost creat. Avem:

Secțiunea rezervorului (S) care rămâne constantă în timp
O constantă generală K a lichidului considerat care rezumă: Densitatea lichidului, dimensiunea găurii etc.
Nivelul apei din rezervorul x (t) pe care îl definim ca fiind variabila de stare a sistemului
Debitul de intrare pe care îl definim ca intrarea sistemului u (t)
Debitul de ieșire al apei pe care îl definim ca ieșirea sistemului y (t), care este proporțională cu cantitatea de lichid suprapus (adică nivelul apei pentru secțiunea rezervorului) și cu constanta sistemului. Într-adevăr y (t) = K * x (t)

Știm că, fiind un rezervor un sistem dinamic, starea sa la momentul t este definită atât de variabila de intrare, de variabila de ieșire, cât și de starea anterioară a sistemului x (t-∆t). Prin urmare, putem defini formula generală a sistemelor dinamice (de ordinul întâi: adică cele definite de o singură variabilă de ieșire) pentru care:
∆x / ∆t = A * x (t) + Bu (t)

Dacă vreau să știu nivelul de apă din rezervor în momentul t, mă pot gândi la variabilele de sistem:

Știu că u (t) -Kx (t) corespunde cantității de lichid din rezervor (cantitatea de intrare minus cantitatea de ieșire)
Știu că această valoare este egală cu S * ∆x / ∆t (deoarece această valoare corespunde și schimbării nivelului de lichid din interiorul rezervorului în unitatea de timp), deci

u (t) -Kx (t) = S * ∆x / ∆t
Obțin raportul ∆x / ∆t și obțin

∆x / ∆t = kx (t) / S + u (t) / S care se potrivește perfect cu formula generală a sistemelor de ordinul întâi.

Dacă am dori să analizăm grafic starea sistemului am putea, folosind o foaie de calcul, să determinăm progresul sistemului ca funcție a unui interval de timp ∆t care este ales „empiric” folosind formula ∆t = 0.1 / ASS (A ) adică 0,1 împărțit la valoarea absolută a coeficientului multiplicând starea sistemului în formula generală a sistemului.
Grafic, aș obține o tendință exponențială inițială a sistemului urmată de un BILANȚ al stării sistemului. Tendința sistemelor dinamice este de fapt realizarea unei stări echilibrate care se păstrează în timp.

Soluții numerice

Același subiect în detaliu: Metode de soluție numerică pentru ecuații diferențiale obișnuite .

Soluțiile numerice sunt algoritmi care vă permit să aproximați soluția sistemului de ecuații diferențiale care alcătuiesc modelul matematic al sistemului. Acești algoritmi stau la baza software-ului de simulare precum MATLAB / Simulink și, în general, pot rezolva și probleme care nu admit soluții în formă închisă.

Bibliografie

A. Balestrino, G. Celentano. Teoria sistemelor , Liguori, 1985
A. Giua, C. Seatzu. Analiza sistemelor dinamice , Springer
KM Hangos, J. Bokor, G. Szederkényi. Analiza și controlul sistemelor de procese neliniare , Springer, 2004
Steven Strogatz. Dinamică neliniară și haos , Perseus Books Group, 2001

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Analiza sistemelor dinamice , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal automat de verificări : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu verificări automate