Locul rădăcinilor

În analiza complexă a locusului rădăcinii este locusul rădăcinilor unei funcții complexe descrise în variază de la parametrul său real , reprezentat pe planul Gaussian .

În 1948, Evans l-a angajat pentru prima dată pentru a determina stabilitatea internă a unui sistem liniar staționar dinamic în feedback pentru a varia câștigul buclei pentru funcția de transfer a inelului $L(s)$ ${\ displaystyle L (s)}$ $L (s)$ : În acest caz, aplicația este alcătuită din ramuri, indicând traiectoriile pe care angajații execută rădăcinile din pozițiile zerourilor și polilor funcției inel. Acest lucru este deosebit de util, deoarece variabilele de stare incontrolabile (datorită zgomotului de frecvență scăzută, derivării termice, incertitudinii asupra parametrilor și așa mai departe), de regulă, acționează în principal asupra acestui lucru și nu asupra poziției singularităților, care sunt de obicei cunoscute . Utilizarea sa principală este dedicată acestei funcții, de asemenea, în scopul sintezei pentru a stabili modificările necesare unui controler pentru a atinge unele caracteristici minime, cum ar fi viteza de răspuns. Prima observație care trebuie făcută se referă la poziția „inițială” (cu k → 0) a rădăcinilor. Dacă este decupat din împrejurimi un domeniu arbitrar de mic al polilor cu buclă deschisă, pe care îi vom numi surse, pentru k aproape de zero, vom

L(s)\approx k\cdot G(s)=k\cdot {\frac {N(s)}{D(s)}},\quad {\text{per }}k\to 0.

{\ displaystyle L (s) \ approx k \ cdot G (s) = k \ cdot {\ frac {N (s)} {D (s)}}, \ quad {\ text {per}} k \ to 0 .}

{\ displaystyle L (s) \ approx k \ cdot G (s) = k \ cdot {\ frac {N (s)} {D (s)}}, \ quad {\ text {per}} k \ to 0 .}

Prin urmare, rădăcinile sunt localizate inițial aproape de sursele p (prin convenție, rădăcina unui polinom nu trebuie numărată de un număr de ori egal cu multiplicitatea sa). N (s) și D (s) definesc, respectiv, numărătorul și numitorul lui G (s). Trebuie remarcat faptul că numărul rădăcinilor, mai mic decât anulările dintre kN (s) și P _k (s) = D (s) + kN (s), este exact egal cu gradul de P _k (s); într-un sistem strict propriu (această presupunere va fi menținută în restul articolului), această cantitate egalează ordinea lui D (s), care este doar p, pentru orice k. Mai mult, o anulare implică existența unei pulsații complexe s ₀ astfel încât să merite

k\cdot N(s_{0})=D(s_{0})+k\cdot N(s_{0})=0

{\ displaystyle k \ cdot N (s_ {0}) = D (s_ {0}) + k \ cdot N (s_ {0}) = 0}

k \ cdot N (s_ {0}) = D (s_ {0}) + k \ cdot N (s_ {0}) = 0

evident, nu există rădăcini ale genului pentru k nu zero. În cele din urmă, putem concluziona că într-un sistem strict propriu, se păstrează numărul rădăcinilor: coincide întotdeauna cu numărul surselor, p. Trebuie remarcat faptul că pentru k diferit de zero, polii cu buclă deschisă nu sunt cu siguranță rădăcini ale lui P _k (s); prin urmare o rădăcină nu stazionerà niciodată pe un izvor, dar variația lui k, se va deplasa descriind, așa cum am menționat deja, o curbă continuă.

În fiecare punct al locului, valoarea absolută a lui k coincide cu relația dintre produttoria valorilor absolute ale polilor și produttoria valorilor absolute ale zerourilor:

|k|={\frac {\prod _{i=1}^{d}|p_{i}|}{\prod _{i=1}^{n}|z_{i}|}}.

{\ displaystyle | k | = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {d} | p_ {i} |} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} | z_ {i} |} }.}

{\ displaystyle | k | = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {d} | p_ {i} |} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} | z_ {i} |} }.}

Proprietate

Localizarea rădăcinilor lui L (s) k este identificată instantaneu prin polinomul P _k zerouri (s), adică prin condiția G (s) = - k ^-1. Acestea din urmă se traduce într - o condiție pe modulul, complet neinteresante având în vedere că orice pulsații complexă s verifică constrângerea pentru unele k (cu alte cuvinte, având în vedere o anumită s, de la starea de pe modulul nu este posibil să precizeze dacă locusul rădăcinile o traversează sau nu), și într-o stare pe fază, din care este posibil să se extragă toate informațiile necesare. Dacă presupunem pentru simplitate că polinoamele N (s) și D (s) sunt în formă canonică, devine

\sum _{k=1}^{z}\arg(s-z_{k})-\sum _{k=1}^{p}\arg(s-p_{k})=\pi \cdot \Theta (k),

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {z} \ arg (s-z_ {k}) - \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ arg (s-p_ {k}) = \ pi \ cdot \ Theta (k),}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {z} \ arg (s-z_ {k}) - \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ arg (s-p_ {k}) = \ pi \ cdot \ Theta (k),}

unde Θ (k) este pasul Heaviside și z _k, p _k reprezintă polii și zerourile în buclă deschisă, pe care le vom numi singularități izolate; trebuie remarcat faptul că (ss ₀₎ reprezintă vectorul fixat la ₀ s și care indică s. Diagrama pentru valorile k pozitive se numește loc direct, pentru locul negativ k invers. A fi într-unul din cele două locuri schimbă radical aspectul diagramei. Se aplică următoarele considerații:

locul direct și locul invers nu au puncte în comun;
punctele axei reale care au în dreapta un număr impar (par sau zero) de singularități reale izolate aparțin locusului direct (invers).

Exemplu al locusului rădăcinii efectuat cu MATLAB ; crucile reprezintă polii, cercurile zerourile. În locul invers (ZARL), cei doi poli complecși conjugați călătoresc de-a lungul traiectoriilor speculare și apoi se ciocnesc pe axa reală; după coliziune, unul dintre ei merge spre zero finit, celălalt spre infinit

Primul este evident, al doilea este ușor de realizat prin utilizarea condiției pe fază.

Inițial (adică cu k → 0), polii buclei închise coincid din toate punctele de vedere cu acei bucla deschisă, deoarece funcția de transfer a sistemului alimentat înapoi este egală cu kG (s). Prin urmare, dintr-o sursă "va curge" sau "converge" traiectorii, fiecare asociată cu o rădăcină, în număr egal cu h multiplicitatea acelei singularități; precis, în el sunt unite ramuri ale h și h ramuri directe ale locului invers. Ne putem gândi la un pol în formă de inel care să deschidă o astfel de dispersie centrală dacă k este interpretat ca un timp. O altă proprietate a locusului rădăcinii este simetria față de axa reală: de fapt, fiind polinomul P _k (s) cu coeficienți reali, pentru fiecare din zero-ul său corespunde un conjugat zero. Ca o consecință a acestui fapt, se poate spune că o rădăcină situată, la un anumit k , pe axa reală, va continua să fie reală până când „lovește” sau împotriva unei alte rădăcini care vine din direcția opusă sau împotriva mai multor rădăcini .

Locuri multiple

Un site multiplu nu este altceva decât o rădăcină multiplă a lui P _k (s), pentru unii k. Presupunem, doar pentru a stabili idei, că suntem în locul direct (dar considerații similare se aplică în ordine inversă) și că rădăcina are multiplicitate h. Apoi va fi punctul de întâlnire sau punctul de împrăștiere al rădăcinilor h : traiectorii h vor intra în loc, deoarece mulți îl vor părăsi (cu excepția cazului în care acel punct este un punct terminal al unei anumite traiectorii, adică un zero în buclă deschisă; vezi mai jos) . În împrejurimile sale, aceste ramuri formează o stea: folosind starea de fază, se deduce cu ușurință că împarte planul în porțiuni de echiangol 2h și că brațele sale sunt alternativ intrate și ieșite. Analogia cu fenomenul fizic al coliziunii este evidentă.

Chiar și poli-inelul deschis (multiplicitate cel puțin egală cu două) pot fi considerați ca locuri multiple: descrieți pur și simplu evenimente de împrăștiere care sunt necesare pentru k aproape de zero. Considerațiile sunt identice cu cele făcute mai sus.

Invarianța centrului de greutate

Amplasarea centrului de greutate B (k) este media pozițiilor punctelor către $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ atribuit, împărțit la numărul lor, și pentru simetria locului aparține axei reale: este o cantitate similară cu centrul de masă al unui sistem corpuri punctate identice. Dacă gradul relativ al numitorului $m\geq 2$ ${\ displaystyle m \ geq 2}$ $m \ geq 2$ , centrul de greutate este un punct $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ independent de $k,$ ${\ displaystyle k,}$ ${\ displaystyle k,}$ care poate fi calculat ca:

B=\left({\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}p_{i},0\right)

{\ displaystyle B = \ left ({\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} p_ {i}, 0 \ right)}

{\ displaystyle B = \ left ({\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} p_ {i}, 0 \ right)}

la fel ca într-un bloc mecanic de sistem (care nu este supus forțelor). Pentru a demonstra acest fapt, este suficient să rețineți că B (k) este determinat în mod unic de cei doi termeni ai gradului maxim de P _k (s), dat fiind că suma rădăcinilor sale este egală cu raportul, schimbat în semn, al aceste.

Puncte finale

Pentru k alături de infinit pozitiv sau negativ, polii cu buclă închisă p care variază pentru a anula G (s) sau care tind spre z zeruri cu buclă deschisă sau spre zerouri la infinit, numite și asimptote, G (s). Acestea nu sunt altele decât direcțiile de-a lungul cărora această funcție tinde să se anuleze și sunt determinate numai de termenii gradului maxim de N (s) și D (s), dat fiind că restul sunt irelevante pentru infinit. Din aceasta deducem două situații posibile:

un zero la infinit, care coincide cu axa reală;
două sau mai multe zerouri la infinit, care împart planul în două sau mai multe părți echiangulare. Invarianța centrului de greutate necesită ca, deoarece k tinde spre infinit (pozitiv sau negativ), rădăcinile se deplasează de-a lungul drepte având acele direcții și convergând în X.

Polii cu buclă închisă vor tinde spre zero, finit sau infinit, atât în loc direct, cât și în loc invers. Și acestea pot fi interpretate ca centre de împrăștiere: acestea sunt coliziuni care apar la nesfârșit. De exemplu, dacă într-un punct terminat zero converg, în locul direct, ramurile h (h este multiplicitatea zero), cu atât mai multe „ies” în locul invers dacă ne imaginăm în mod ideal o tranziție instantanee de la infinit pozitiv la negativ; în mod obișnuit, ramurile de 2 ore formează o stea obișnuită formată din brațe de intrare și ieșire alternative. Un argument similar se aplică zerourilor la infinit: în corespondență cu trecerea de la locul direct la cel invers, rădăcina se va „rematerializa” pur și simplu la capătul opus al direcției corespunzătoare (ca și cum ar fi parcurs instantaneu un semicerc cu rază infinită) , și apoi continuați asimptotic de-a lungul acestuia.

Procedura de urmărire

Lasa-i sa fie $n, d, m$ ${\ displaystyle n, d, m}$ ${\ displaystyle n, d, m}$ respectiv gradul de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ Și $D.,$ ${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle D,}$ și diferența lor $m=d-n$ ${\ displaystyle m = dn}$ $m = d-n$ . Regulile pentru trasarea locurilor sunt prezentate mai jos, în ordinea aplicării practice.

Plecare

Ramurile încep de la poli, adică tind spre poli pentru $k\rightarrow 0$ ${\ displaystyle k \ rightarrow 0}$ $k \ rightarrow 0$ .

Axa reală

Întreaga axă reală face parte din locul total, cu excepția polilor.
Toate punctele din stânga unui număr impar de multiplicități (de rădăcini: zerouri sau poli) fac parte din locusul direct.

Prin urmare, începând de la dreapta, intervalul de la rădăcina maximă la infinit nu aparține locului direct, ci aparține celui invers, iar fiecare interval anterior (în stânga) are un apartament inversat față de următorul numai dacă rădăcina care le separă are o multiplicitate ciudată.

Ramuri convergente

În fiecare zero vine un număr de ramuri corespunzătoare multiplicității sale pentru $k\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ $k \ rightarrow \ infty$ .

Intersecții reale

Punctele de intersecție cu axa reală (numite puncte de ramificare) sunt întotdeauna obținute din sistem:

\left\{{\begin{matrix}N[1+L(s)]=0\\{\frac {\partial }{\partial s}}\,N[1+L(s)]=0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} N [1 + L (s)] = 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial s}} \, N [1 + L (s)] = 0 \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} N [1 + L (s)] = 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial s}} \, N [1 + L (s)] = 0 \ end {matrix}} \ right.

Astfel găsim perechile de $s^{*}$ ${\ displaystyle s ^ {*}}$ ${\ displaystyle s ^ {*}}$ Și $k^{*}$ ${\ displaystyle k ^ {*}}$ ${\ displaystyle k ^ {*}}$ care corespund pe loc punctelor $(s^{*},0),$ ${\ displaystyle (s ^ {*}, 0),}$ ${\ displaystyle (s ^ {*}, 0),}$ cu $k=k^{*}.$ ${\ displaystyle k = k ^ {*}.}$ ${\ displaystyle k = k ^ {*}.}$

Simetrie reală

Fiecare loc este simetric în raport cu axa reală.

Revenirea inițială

Într-o rădăcină (dacă reală, evident, cu multiplicitate $h_{i}>1$ ${\ displaystyle h_ {i}> 1}$ $h_ {i}> 1$ , în caz contrar, acest pas a fost deja realizat având în vedere axa reală) ramurile au tangente care împart unghiul rotund în părți egale, începând din locul îndreptat de:

{\frac {1}{h}}_{i}\left(\pi +\sum _{j=1}^{n}\phi (z_{j})-\sum _{j=1}^{d}\phi (p_{j})\right),\quad {\text{polo}};

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ pi + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {polo}};}

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ pi + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {polo}};}

{\frac {1}{h}}_{i}\left(\pi -\sum _{j=1}^{n}\phi (z_{j})+\sum _{j=1}^{d}\phi (p_{j})\right),\quad {\text{zero}}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ pi - \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) + \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {zero}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ pi - \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) + \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {zero}}.}

În loc invers de la:

{\frac {1}{h}}_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}\phi (z_{j})-\sum _{j=1}^{d}\phi (p_{j})\right),\quad {\text{polo}};

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {polo}};}

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {polo}};}

{\frac {1}{h}}_{i}\left(-\sum _{j=1}^{n}\phi (z_{j})+\sum _{j=1}^{d}\phi (p_{j})\right),\quad {\text{zero}}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (- \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) + \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {zero}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {h}} _ {i} \ left (- \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ phi (z_ {j}) + \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ phi (p_ {j}) \ right), \ quad {\ text {zero}}.}

Asimptote

Fiecare ramură rămasă divergă cu o asimptotă care trece printr-un punct A care aparține axei reale și este comun tuturor asimptotelor:

A:\left({\frac {1}{m}}\left[-\sum _{i=1}^{n}z_{i}+\sum _{i=1}^{d}p_{i}\right],0\right).

{\ displaystyle A: \ left ({\ frac {1} {m}} \ left [- \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {d } p_ {i} \ right], 0 \ right).}

{\ displaystyle A: \ left ({\ frac {1} {m}} \ left [- \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {d } p_ {i} \ right], 0 \ right).}

Asimptotele împart unghiul rotunjit în $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ unghiuri egale, în locul direct începând de la ${\frac {\pi }{m}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {m}}}$ ${\ frac \ pi m}$ , și în revers de la

Intersecții imaginare

Acestea sunt rădăcinile ecuației caracteristice:

N[1+L(k)]=0

{\ displaystyle N [1 + L (k)] = 0}

N [1 + L (k)] = 0

că anulează penultimul rând al matricei Routh și inserează valoarea lui $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ecuație auxiliară obținută, și anume aceea care conține doar monomii de grad egal în $s,$ ${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle s,}$ pentru a găsi valorile $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ corespondenți.

Verificare generală

În fiecare loc sunt prezenți $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ramuri, dintre care $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ajunge în zerouri și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ la asimptote. Intersecțiile dintre ramurile aceluiași loc care nu se află pe axa reală nu sunt posibile, iar zerourile sunt singurele intersecții dintre ramurile locului direct și cele ale locului invers.

Locuri locale

În multe cazuri este util să poți urmări locurile locale, adică ignorând contribuția singularităților în buclă deschisă situate la o distanță mare de regiunea de interes. Dacă aceasta este situată într-un vecinătate de zero, singura singularitate la distanță care interferează într-un fel sunt cele care sunt pur reale situate la dreapta, adică rădăcinile pozitive : ele dau fiecărei o contribuție fixă egală cu π. Prin urmare, efectul lor este relevant numai atunci când există un număr impar, și anume acela de a inversa locul direct cu inversul (dar fără a păstra punctuația: asta s-ar întâmpla în mod normal în corespondența unui anumit k nu este necesar în general, deoarece rezultatul acestui fapt, în -k). În afară de aceasta, singularitățile îndepărtate pot fi ignorate.

Bibliografie

Katsuhiko Ogata. Inginerie modernă de control. Prentice Hall, 2002.
Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni. Bazele controalelor automate. McGraw-Hill Companies, iunie 2008. ISBN 9788838664342 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere către locația rădăcină

Portal de verificări automate

Portalul de matematică